4.4相似三角形的判定(第2课时)同步练习(含答案)

1第2课时利用两边及一角的关系判定三角形相似关键问答①如果已知两边成比例且夹角相等，那么这两个三角形相似吗？如果已知两边成比例且有一组对应角相等，那么这两个三角形相似吗？1．①能判定△ABC∽△DEF的条件是()A.ABDE＝ACDFB.ABDE＝ACDF，∠A＝∠FC.ABDE＝ACDF，∠B＝∠ED.ABDE＝ACDF，∠A＝∠D2．如图4－4－11，在三角形纸片ABC中，AB＝9，AC＝6，BC＝12，沿虚线剪下的阴影部分的三角形与△ABC相似的是()图4－4－11命题点1利用两边成比例且夹角相等证明两三角形相似[热度：93%]3．2017·景德镇模拟如图4－4－12，在四边形ABCD中，如果∠ADC＝∠BAC，那么下列条件中不能判定△ADC和△BAC相似的是()图4－4－12A．∠DAC＝∠ABCB．CA是∠BCD的平分线2C．AC2＝BC·CDD.ADAB＝DCAC4．②如图4－4－13，点A，B，C，D，E，F，G，H，K都是8×7的方格纸中的格点，为使△DEM∽△ABC，则点M应是F，G，H，K四点中的()图4－4－13A．点FB．点GC．点HD．点K方法点拨②判定相似三角形的基本思路：条件中若有一对等角，可再找一对等角或证明夹这对等角的两组边对应成比例．5．③2017·兴庆模拟如图4－4－14，在等边三角形ABC中，D为AC的中点，AEEB＝13，则和△AED(不包含△AED)相似的三角形有()图4－4－14A．1个B．2个C．3个D．4个易错警示③考虑问题要全面，不要漏解．6．④如图4－4－15，已知P是边长为5的正方形ABCD内一点，且PB＝3，BF⊥BP于点B，若在射线BF上找一点M，使得以点B，M，C为顶点的三角形与△ABP相似，则BM的值为()3图4－4－15A．3B.253C．3或253D．3或5易错警示④对应边是否已经确定？7．⑤如图4－4－16，在△ABC中，AB＝9，AC＝6，点E在边AB上且AE＝3，点F在边AC上，连接EF，若△AEF与△ABC相似，则AF＝________．图4－4－16解题突破⑤要使△AEF与△ABC相似，由于本题没有说明对应关系，故采用分类讨论法．有两种可能：△AEF∽△ABC；△AEF∽△ACB.8．⑥已知：如图4－4－17，E是四边形ABCD的对角线BD上的一点，且∠BAC＝∠BDC＝∠DAE.图4－4－17求证：(1)△ABE∽△ACD；(2)BC·AD＝DE·AC.4方法点拨⑥由两角分别相等判定两个三角形相似是判定三角形相似的所有方法中最常见的方法，关键是找准对应角，公共角、对顶角、同(等)角的余角(或补角)一般是对应角，解题时应注意挖掘题且中的隐含条件．命题点2相似三角形的判定的应用[热度：87%]9．如图4－4－18，M，N为山两侧的两个村庄，为了两村交通方便，根据国家的惠民政策，政府决定打一直线涵洞．工程人员为了计算工程量，必须计算M，N两点之间的直线距离，选择测量点A，B，C，点B，C分别在AM，AN上，现测得AM＝1千米，AN＝1.8千米，AB＝54米、BC＝45米、AC＝30米，求M，N两点之间的直线距离．图4－4－18510．⑦如图4－4－19，在△ABC中，AB＝AC，P，D分别是BC，AC边上的点，且∠APD＝∠B.(1)求证：AC·CD＝CP·BP；(2)若AB＝10，BC＝12，当PD∥AB时，求BP的长．图4－4－19方法点拨⑦证明比例式或等积式的基本方法是证明三角形相似，然后列出比例式，有时需要进行适当的变形．11.⑧已知：如图4－4－20，在△ABC中，AB＝AC，D，E分别是边AC，AB的中点，DF⊥AC，DF与CE相交于点F，AF的延长线与BD相交于点G.(1)求证：AD2＝DG·BD；(2)连接CG，求证：∠ECB＝∠DCG.6图4－4－20方法点拨⑧证明比例式或等积式的基本方法是证明比例式或等积式中的四条线段所在的两个三角形相似．如果不易直接证明，那么可通过等线段转换或等比转换之后再证明．12．⑨如图4－4－21，在△OAB和△OCD中，∠A90°，OB＝kOD(k1)，∠AOB＝∠COD，∠OAB与∠OCD互补．试探索线段AB与CD之间的数量关系，并证明你的结论．图4－4－21解题突破⑨已知一对相等的角和一组对应边的比，我们应如何构造相似三角形？713．⑩已知：如图4－4－22，在矩形ABCD中，AB＝3cm，BC＝6cm.某一时刻，动点M从A点出发沿AB方向以1cm/s的速度向B点匀速运动，同时，动点N从D点出发沿DA方向以2cm/s的速度向A点匀速运动．(1)经过多长时间，△AMN的面积等于矩形ABCD面积的19？(2)是否存在某一时刻t，使以A，M，N为顶点的三角形与△ACD相似？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由．图4－4－22解题突破⑩(1)可设运动时间为xs，根据运动速度表示出所涉及线段的长度，由面积关系列方程求解；(2)先假设存在，利用相似三角形中的比例线段列出方程，若方程有解且解符合题意即可说明存在，反之则不存在．8详解详析【关键问答】①如果已知两边成比例且夹角相等，那么这两个三角形相似；如果已知两边成比例且有一组对应角相等，那么这两个三角形不一定相似．1．D2.B3．C[解析]在△ADC和△BAC中，∠ADC＝∠BAC，如果△ADC∽△BAC，需满足的条件有：①∠DAC＝∠ABC或CA是∠BCD的平分线；②ADAB＝DCAC.故选C.4．C[解析]设小方格的边长均为1.根据题意知△DEM∽△ABC，AB＝4，AC＝6，DE＝2，∴DE∶AB＝DM∶AC，∴DM＝3，∴点M就是点H.故选C.5．C[解析]∵△ABC是等边三角形，∴AB＝AC＝BC.又∵D是AC的中点，∴BD⊥AC，∠ABD＝30°，AD∶AC＝1∶2.∵AEEB＝13，∴AE∶AB＝1∶4，∴AE∶AD＝1∶2＝AD∶AB.又∵∠A＝∠A，∴△AED∽△ADB，∴∠AED＝∠ADB＝90°.∵∠A＝∠C＝60°，CD∶BC＝AE∶AD＝1∶2，∴△AED∽△CDB.∵∠AED＝∠DEB＝90°，∠ADE＝∠DBE＝30°，∴△AED∽△DEB.故选C.6．C[解析]∵四边形ABCD是正方形，∴∠ABC＝90°，AB＝BC＝5.又∵∠PBF＝90°，∴∠ABP＝∠CBF＝90°－∠CBP.①若△ABP∽△MBC，则ABPB＝BMBC，9即53＝BM5，解得BM＝253；②若△ABP∽△CBM，则ABPB＝BCBM，即53＝5BM，解得BM＝3.故选C.7．2或4.58．证明：(1)∵∠BAC＝∠DAE，∴∠BAE＝∠CAD.∵∠BAC＝∠BDC，∠AOB＝∠COD，∴∠ABE＝∠ACD，∴△ABE∽△ACD.(2)∵△ABE∽△ACD，∴ABAC＝AEAD，即ABAE＝ACAD.又∵∠BAC＝∠DAE，∴△ABC∽△AED，∴BCDE＝ACAD，∴BC·AD＝DE·AC.9．解：在△ABC与△ANM中，∵∠A＝∠A，ACAB＝3054＝59，AMAN＝11.8＝59，∴ACAB＝AMAN，即ACAM＝ABAM，∴△ABC∽△ANM，∴ACBC＝AMMN，即3045＝1MN，解得MN＝1.5(千米)．∴M，N两点之间的直线距离是1.5千米．10．解：(1)证明：∵AB＝AC，∴∠B＝∠C.∵∠APD＝∠B，∴∠APD＝∠B＝∠C.10∵∠APC＝∠BAP＋∠B，∠APC＝∠APD＋∠DPC，∴∠BAP＝∠DPC，∴△ABP∽△PCD，∴BPCD＝ABCP，∴AB·CD＝CP·BP.∵AB＝AC，∴AC·CD＝CP·BP.(2)∵PD∥AB，∴∠APD＝∠BAP.∵∠APD＝∠C，∴∠BAP＝∠C.∵∠B＝∠B，∴△BAP∽△BCA，∴BABC＝BPBA.∵AB＝10，BC＝12，∴1012＝BP10，∴BP＝253.11．证明：(1)∵AB＝AC，D，E分别是边AC，AB的中点，∴AD＝AE.又∵∠BAD＝∠CAE，∴△BAD≌△CAE，∴∠ABD＝∠ACE.∵DF⊥AC，AD＝CD，∴AF＝CF，∴∠GAD＝∠ACE，∴∠GAD＝∠ABD.又∵∠GDA＝∠ADB，∴△GDA∽△ADB，∴ADBD＝DGAD，∴AD2＝DG·BD.(2)∵ADBD＝DGAD，AD＝CD，∴CDBD＝DGCD.又∵∠CDG＝∠BDC，∴△DCG∽△DBC，∴∠DCG＝∠DBC.∵AB＝AC，∴∠ABC＝∠ACB，∴∠ABD＝∠GCB.∵∠ABD＝∠ACE，∴∠ACE＝∠GCB，11∴∠ECB＝∠DCG.12．解：AB＝kCD.证明：如图，在OA上取一点E，使OE＝kOC，连接EB.∵OB＝kOD，∴OBOD＝OEOC＝k.又∵∠AOB＝∠COD，∴△OEB∽△OCD，∴EBCD＝OBOD＝k，即EB＝kCD，∠OEB＝∠OCD.∵∠OAB＋∠OCD＝180°，∴∠OAB＋∠OEB＝180°.又∵∠AEB＋∠OEB＝180°，∴∠OAB＝∠AEB，∴EB＝AB，∴AB＝kCD.13．解：(1)设经过xs后，△AMN的面积等于矩形ABCD面积的19，则有12(6－2x)x＝19×3×6，即x2－3x＋2＝0，解得x1＝1，x2＝2，经检验，可知x1＝1，x2＝2符合题意，∴经过1s或2s后，△AMN的面积等于矩形ABCD面积的19.(2)假设存在某一时刻t，以A，M，N为顶点的三角形与△ACD相似．由矩形的定义可得∠CDA＝∠MAN＝90°，12∴AMAN＝DCDA或AMAN＝DADC，即t6－2t＝36①或t6－2t＝63②，解方程①，得t＝32，解方程②，得t＝125.经检验，t＝32和t＝125都符合题意，∴当t的值为32或125时，以A，M，N为顶点的三角形与△ACD相似．