威海市中考满分作文-分部积分和广义积分详解

返回第3章一元函数积分学3.1不定积分3.2定积分3.4定积分的应用3.3广义积分()fxdx返回3.2定积分3.2.1两个实例3.2.2定积分的概念3.2.3定积分的性质3.2.4微积分基本定理3.2.5定积分换元积分法和分部积分法返回3.微积分基本公式1.积分上限函数xadttfx)()(2.积分上限函数的导数)()(xfx)()()(aFbFdxxfba3.2.4微积分基本定理牛顿－莱布尼茨公式()()()()bbaafxdxFxFbFa注意：连续的条件返回当t在区间],[上变化时，)(tx的值在],[ba上变化，且a)(、b)(，则dtttfdxxfba)()]([)(1.定积分换元积分法应用换元公式时应注意:换元后只要把新变量t的上、下限分别代入)(t然后相减就行了.（2）（1）用)(tx把变量x换成新变量t时，积分限也相应的改变.#3.2.5定积分换元积分法和分部积分法换元公式返回设函数)(xu、)(xv在,ab上具有连续导数，则.推导,vuvuuv()bbbaaauvdxuvdxuvdxbbbaaauvvduudv.bababavduuvudv2.分部积分公式bababavduuvudv定积分的分部积分公式返回例1计算.arcsin210xdx解令,arcsinxu,dxdv,xv210arcsinxdx210arcsinxx621)1(112120221xdx1212201x.1231221021xxdx120arcsinxdx210arcsinxx返回例2计算解.2cos140xxdx,cos22cos12xx402cos1xxdx402cos2xxdxxdxtan240401tan2xxxdxtan2140401lnsec82x.42ln8sintancos1coscoslncoslnsecxxdxdxxdxxxCxC返回例3药物从患者尿液中排出,一种典型的排泄速率函数是kttetr)(解0()TDrtdtdtteTkt0001TTktktteedtk201TktktTeekk2211TkekkkT#求在时间间隔［0，T］内,排出药物的量D.其中k是大于0的常数.如何求在时间间隔［0，+］内,排出药物的量D？返回3.3.1无穷区间上的广义积分3.3.2有限区间上无界函数的广义积分3.3广义积分3.3.3Г函数（略）返回3.3.1无穷区间上的广义积分adxxf)(),[abalim()abbfxdx),[a定义3-4设函数f(x)在区间上连续，取如果极限存在，则称此极限为函数f(x)在无穷区间上的广义积分，记作.()lim()baabfxdxfxdx当极限存在时，称广义积分收敛；当极限不存在时，称广义积分发散.返回3.3.1无穷区间上的广义积分类似地，设f(x)在区间上连续，取如果极限存在，则称此极限为函数f(x)在无穷区间上的广义积分，记作],(bablim()abafxdx],(bbdxxf)(()lim()bbaafxdxfxdx当极限存在时，称广义积分收敛；当极限不存在时，称广义积分发散.返回定义3-5设函数)(xf在区间),(上连续,如果广义积分0)(dxxf和0)(dxxf都收敛，则称上述两广义积分之和为函数)(xf在无穷区间),(上的广义积分，记作dxxf)(.dxxf)(0)(dxxf0)(dxxf00()lim()lim()baabfxdxfxdxfxdx()lim()baabfxdxfxdx极限存在称广义积分收敛；否则称广义积分发散.返回例1计算广义积分.12xdx解21xdx021dxx021xdx0211limaadxxbbdxx0211lim0limarctanaax0limarctanbbxaaarctanlimbbarctanlim.22返回例2证明广义积分11dxxp当1p时收敛，当1p时发散.证,1)1(p11dxxp11dxx1lnx,,1)2(p11dxxp111pxp1,111,ppp因此当1p时广义积分收敛，其值为11p；当1p时广义积分发散.#记号返回定义3-6设函数)(xf在区间],(ba上连续，而在点a的右邻域内无界．取0，如果极限0lim()bafxdx存在，则称此极限为函数)(xf在区间],(ba上的广义积分，记作badxxf)(.badxxf)(0lim()bafxdx3.3.2有限区间上无界函数的广义积分当极限存在时，称广义积分收敛；当极限不存在时，称广义积分发散.返回类似地，设函数)(xf在区间),[ba上连续，而在点b的左邻域内无界.取0，如果极限0lim()bafxdx存在，则称此极限为函数)(xf在区间),[ba上的广义积分，记作0()lim()bbaafxdxfxdx.当极限存在时，称广义积分收敛；当极限不存在时，称广义积分发散.返回定义3-7设函数)(xf在区间],[ba上除点c(acb)外连续，而在点c的邻域内无界.如果两个广义积分cadxxf)(和bcdxxf)(都收敛，则定义否则，就称广义积分badxxf)(发散.()()()bcbaacfxdxfxdxfxdx121200lim()lim()cbacfxdxfxdx定义中C为瑕点，以上积分称为瑕积分.返回例3计算广义积分解).0(022axadxa221lim,xaaxax为被积函数的间断点.axadx022axadx0220limaax00arcsinlim0arcsinlim0aa.2返回例4计算广义积分解.212xdx021dxx故原广义积分发散.,1lim20xx02101limdxx00111limlim1x0为被积函数的瑕点.返回例5证明广义积分101dxxq当1q时收敛，当1q时发散.证,1)1(q101dxx,,1)2(q101dxxq1101qxq简记为1,111,qqq因此当1q时广义积分收敛，其值为q11；当1q时广义积分发散.101qdxx1100001limlimlndxxx100limlnlim0lnx返回例6计算广义积分解.)1(3032xdxx=1瑕点3032)1(xdx2233130111(1)(1)dxdxxx1032)1(xdx11300lim3(1)x33132)1(xdx,2333032)1(xdx).21(3331301lim3(1)x#定积分的应用返回定积分的分部积分公式.bababavduuvudv小结（注意与不定积分分部积分法的区别）返回(1)无穷限的广义积分()lim()baabfxdxfxdx()lim()bbaafxdxfxdx广义积分00()lim()lim()baabfxdxfxdxfxdx当极限存在时，称广义积分收敛；当极限不存在时，称广义积分发散.返回(2)无界函数的广义积分121200()lim()lim()bcbaacfxdxfxdxfxdx0()lim()bbaafxdxfxdx0()lim()bbaafxdxfxdx#当极限存在时，称广义积分收敛；当极限不存在时，称广义积分发散.返回作业P11511（23）～(28)1617预习3.4定积分的应用