2016届高考数学(理)二轮复习专题课件：第2讲 离散型随机变量的分布列、数学(理)期望、方差(全国

第2讲离散型随机变量的分布列、数学期望、方差专题十一概率、统计专题十一概率、统计2016考向导航历届高考考什么？三年真题统计2015201420131.离散型随机变量的期望与方差卷Ⅱ，T192.二项分布及应用卷Ⅰ，T4卷Ⅰ，T183.超几何分布及应用4.正态分布及应用卷Ⅰ，T182016会怎样考？随机变量的分布列是高考的重点、三个重要分布是常考问题，独立性检验是实际性问题的体现，是高考热点专题十一概率、统计1．活用公式与结论(1)离散型随机变量的分布列的两个性质①pi≥0(i＝1，2，…，n)；②p1＋p2＋…＋pn＝1.(2)数学期望公式E(X)＝x1p1＋x2p2＋…＋xnpn.(3)数学期望的性质①E(aX＋b)＝aE(X)＋b；②若X～B(n，p)，则E(X)＝np；③若X服从两点分布，则E(X)＝p.(4)方差公式D(X)＝[x1－E(X)]2·p1＋[x2－E(X)]2·p2＋…＋[xn－E(X)]2·pn，标准差D（X）.(5)方差的性质①D(aX＋b)＝a2D(X)；②若X～B(n，p)，则D(X)＝np(1－p)；③若X服从两点分布，则D(X)＝p(1－p)．2．辨明易错易混点(1)求离散型随机变量的分布列，注意运用分布列的性质检验所求概率值是否正确．(2)注意辨别独立重复试验的基本特征①在每次试验中，试验结果只有发生与不发生两种情况；②在每次试验中，事件发生的概率相同．考点一互斥事件、对立事件、相互独立事件、条件概率(经典考题)某一部件由三个电子元件按下图方式连接而成，元件1或元件2正常工作，且元件3正常工作，则部件正常工作．设三个电子元件的使用寿命(单位：小时)均服从正态分布N(1000，502)，且各个元件能否正常工作相互独立，那么该部件的使用寿命超过1000小时的概率为_________．38[解析]设元件1，2，3的使用寿命超过1000小时的事件分别记为A，B，C，显然P(A)＝P(B)＝P(C)＝12，∴该部件的使用寿命超过1000小时的事件为(AB＋AB＋AB)C，∴该部件的使用寿命超过1000小时的概率P＝12×12＋12×12＋12×12×12＝38.[名师点评](1)互斥事件与相互独立事件的特点①互斥事件⇔A∩B为不可能事件，即在任何一次试验中事件A与事件B不会同时发生，P(A∪B)＝P(A)＋P(B)．②相互独立事件，事件A与事件B的发生性互不影响，A、B同时发生记为事件AB，P(AB)＝P(A)P(B)．(2)注意一个试验中，分清事件的多种关系，才能正确列出概率运算式子．某个部件由三个电子元件按下图方式连接而成，元件1与元件2同时工作或元件3工作，则该部件正常工作，设三个电子元件的使用寿命(单位：小时)均服从正态分布N(1000，502)，且各个部件能否正常相互独立，那么该部件的使用寿命超过1000小时的概率为________．58解析：元件1与元件2同时工作且使用寿命超过1000小时的概率为P1＝12×12＝14，元件3工作且使用寿命超过1000小时的概率P2＝12，则所求的概率为P＝P1P2＋P1P2＋P1P2＝14×12＋34×12＋14×12＝58或者P＝1－P1P2＝1－34×12＝58.1．从1，2，3，4，5五个数中任取2个不同的数，事件A“取到的2个数之和为偶数”，事件B“取到的2个数均为偶数”，则P(B|A)＝()A.18B.14C.25D．12B解析：P(A)＝C23＋C22C25＝25，P(AB)＝C22C25＝110，P(B|A)＝P（AB）P（A）＝14.2.如图，用K、A1、A2三类不同的元件连接成一个系统．当K正常工作且A1、A2至少有一个正常工作时，系统正常工作．已知K、A1、A2正常工作的概率依次为0.9、0.8、0.8，则系统正常工作的概率为()A．0.960B．0.864C．0.720D．0.576B解析：选B.法一：由题意知K，A1，A2正常工作的概率分别为P(K)＝0.9，P(A1)＝0.8，P(A2)＝0.8，∵K，A1，A2相互独立，∴A1，A2至少有一个正常工作的概率为P(A1A2)＋P(A1A2)＋P(A1A2)＝(1－0.8)×0.8＋0.8×(1－0.8)＋0.8×0.8＝0.96.∴系统正常工作的概率为P(K)[P(A1A2)＋P(A1A2)＋P(A1A2)]＝0.9×0.96＝0.864.法二：A1，A2至少有一个正常工作的概率为1－P(A1A2)＝1－(1－0.8)(1－0.8)＝0.96，∴系统正常工作的概率为P(K)[]1－P（A1A2）＝0.9×0.96＝0.864.3．一批产品需要进行质量检验，检验方案是：先从这批产品中任取4件作检验，这4件产品中优质品的件数记为n.如果n＝3，再从这批产品中任取4件检验，若都为优质品，则这批产品通过检验；如果n＝4，再从这批产品中任取1件作检验，若为优质品，则这批产品通过检验；其他情况下，这批产品都不能通过检验．假设这批产品的优质品率为50%，即取出的每件产品是优质品的概率都为12，且各件产品是否为优质品相互独立．(1)求这批产品通过检验的概率；(2)已知每件产品的检验费用为100元，且抽取的每件产品都需要检验，对这批产品作质量检验所需的费用记为X(单位：元)，求X的分布列及数学期望．解：(1)设第一次取出的4件产品中恰有3件优质品为事件A1，第一次取出的4件产品全是优质品为事件A2，第二次取出的4件产品都是优质品为事件B1，第二次取出的1件产品是优质品为事件B2，这批产品通过检验为事件A，依题意有A＝(A1B1)∪(A2B2)，且A1B1与A2B2互斥，所以P(A)＝P(A1B1)＋P(A2B2)＝P(A1)P(B1|A1)＋P(A2)·P(B2|A2)＝416×116＋116×12＝364.(2)X可能的取值为400，500800，并且P(X＝400)＝1－416－116＝1116，P(X＝500)＝116，P(X＝800)＝14，所以X的分布列为X400500800P111611614E(X)＝400×1116＋500×116＋800×14＝506.25.考点二离散型随机变量的期望与方差现有甲、乙两个靶．某射手向甲靶射击一次，命中的概率为34，命中得1分，没有命中得0分；向乙靶射击两次，每次命中的概率为23，每命中一次得2分，没有命中得0分．该射手每次射击的结果相互独立．假设该射手完成以上三次射击．(1)求该射手恰好命中一次的概率；(2)求该射手的总得分X的分布列及数学期望E(X)．[解](1)记：“该射手恰好命中一次”为事件A，“该射手射击甲靶命中”为事件B，“该射手第一次射击乙靶命中”为事件C，“该射手第二次射击乙靶命中”为事件D.由题意知P(B)＝34，P(C)＝P(D)＝23，由于A＝BCD＋BCD＋BCD，根据事件的独立性和互斥性得P(A)＝P(BCD＋BCD＋BCD)＝P(BC＋P(BCD)＋P(BCD)＝P(B)P(C)P(D)＋P(B)P(C)P(D)＋P(B)P(C)P(D)＝34×1－23×1－23＋1－34×23×1－23＋1－34×1－23×23＝736.(2)根据题意知X的所有可能取值为0，1，2，3，4，5.根据事件的独立性和互斥性得P(X＝0)＝P(BCD)＝[1－P(B)][1－P(C)][1－P(D)]＝1－34×1－23×1－23＝136，P(X＝1)＝P(BCD)＝P(B)P(C)P(D)＝34×1－23×1－23＝112，P(X＝2)＝P(BCD＋BCD)＝P(BCD)＋P(BCD)＝1－34×23×1－23＋1－34×1－23×23＝19，P(X＝3)＝P(BCD＋BCD)＝P(BCD)＋P(BCD)＝34×23×1－23＋34×1－23×23＝13，P(X＝4)＝P(BCD)＝1－34×23×23＝19，P(X＝5)＝P(BCD)＝34×23×23＝13.故X的分布列为X012345P13611219131913所以E(X)＝0×136＋1×112＋2×19＋3×13＋4×19＋5×13＝4112.[名师点评]求解离散型随机变量的分布列问题(1)分清事件关系，正确利用概率公式；(2)分清随机变量的取值，注重变量取值与事件和概率的对应；(3)注意检查分布列的正确性．1．在某次考试中，从甲、乙两个班各抽取10名学生的数学成绩进行统计分析，两个班成绩的茎叶图如图所示，成绩不小于90分的为及格．(1)求从甲班10名学生和乙班10名学生中各抽取一个，求有人及格的条件下乙班同学不及格的概率；(2)从甲班10人中抽取一人，乙班10人中抽取2人，3人中及格人数记为X，求X的分布列和数学期望．解：(1)事件“从甲班10名学生和乙班10名学生中各抽取一人，已知有人及格”记为A；事件“从甲班10名学生和乙班10名学生中各抽取一人，乙班同学不及格”记为B，则P(B|A)＝P（A·B）P（A）＝410×510410×510＋610×510＋410×510＝27.(2)X的取值为0，1，2，3，X的分布列为X0123P21519451645445数学期望E(X)＝75.2．某公司准备将1000万元资金投入到市环保工程建设中，现有甲、乙两个建设项目选择．若投资甲项目一年后可获得的利润ξ1(万元)的概率分布列如下表所示：ξ1110120170Pm0.4n且ξ1的期望E(ξ1)＝120；若投资乙项目一年后可获得的利润ξ2(万元)与该项目建设材料的成本有关，在生产的过程中，公司将根据成本情况决定是否在第二和第三季度进行产品的价格调整，两次调整相互独立且调整的概率分别为p(0＜p＜1)和1－p.若乙项目产品价格一年内调整次数X(次)与ξ2的关系如下表所示：X012ξ241.2117.6204.0(1)求m，n的值；(2)求ξ2的分布列；(3)若E(ξ1)＜E(ξ2)，则选择投资乙项目，求此时p的取值范围．解：(1)由题意得m＋0.4＋n＝1110m＋120×0.4＋170n＝120，解得m＝0.5，n＝0.1.(2)ξ2的可能取值为41.2，117.6，204，P(ξ2＝41.2)＝(1－p)[1－(1－p)]＝p(1－p)，P(ξ2＝117.6)＝p[1－(1－p)]＋(1－p)(1－p)＝p2＋(1－p)2，P(ξ2＝204)＝p(1－p)，所以ξ2的分布列为：ξ241.2117.6204Pp(1－p)p2＋(1－p)2p(1－p)(3)由(2)可得：E(ξ2)＝41.2p(1－p)＋117.6[p2＋(1－p)2]＋204p(1－p)＝－10p2＋10p＋117.6，由E(ξ1)＜E(ξ2)，得120＜－10p2＋10p＋117.6，解得0.4＜p＜0.6，即当选择投资乙项目时，p的取值范围是(0.4，0.6)．考点三二项分布及应用(2015·高考全国卷Ⅰ，5分)投篮测试中，每人投3次，至少投中2次才能通过测试．已知某同学每次投篮投中的概率为0.6，且各次投篮是否投中相互独立，则该同学通过测试的概率为()A．0.648B．0.432C．0.36D．0.312A[解析]3次投篮投中2次的概率为P(k＝2)＝C23×0.62×(1－0.6)，投中3次的概率为P(k＝3)＝0.63，所以通过测试的概率为P(k＝2)＋P(k＝3)＝C23×0.62×(1－0.6)＋0.63＝0.648.故选A.[名师点评]求解二项分布问题的策略(1)特征：“在相同条件下”的独立重复实验；(2)在n次独立重复试验中，事件A发生的概率为p，则事件A发生k次的概率为P(X＝k)＝Cknpk(1－p)n－k，(k＝0，1，2，…)；(3)X～B(n，p)，则EX＝np，DX＝np(1－p)．某班将要举行篮球投篮比赛，比赛规则是：每位选手可以选择在A区投篮2次或选择在B区投篮3次．在A区每进一球得2分，不进球得0分；在B区