17.1勾股定理的证明(比较全的证明方法)

北京欢迎您！2002年北京国际数学家大会会标同学们！三角形的知识之前我们已学习了不少。直角三角形是一种特殊的三角形，从今天开始，我们尝试着研究直角三角形三边之间的关系。17．1勾股定理（一）1，掌握直角三角形三边之间的关系（即勾股定理的内容）。2，通过探究，了解勾股定理的证明过程，并掌握1----2种证明方法。学习目标为了实现本节的学习目标，请同学们按照以下要求来自学。认真看课本P22—P24，注意：1、结合P22思考前的故事及“黄色书签”,你在知识的认知上应该养成怎样的品质？2、结合P22思考和图形17.1-2，你认为老毕先生发现了什么？跨越两千多年的时空，看你和老毕是否有心灵的默契？之后用P22下面三行小字验证你的发现。3、用数形结合与面积法思想，借助P22探究与网格再验证其它直角三角形三边是否有同样的性质4、准确记忆P23命题1﹙勾股定理﹚，分清题设与结论。﹙猜想﹚5、利用P23“赵爽弦图”和面积法证明勾股定理6、务必明确勾股定理的两个关于：关于直角三角形与关于该种图形边的关系自学时间10分钟之后比谁能做对检测题。不会的可小声讨论或举手问老师。自研共探：看一看相传两千五百年前，一次毕达哥拉斯去朋友家作客，发现朋友家用砖铺成的地面反映直角三角形三边的某种数量关系，同学们，我们也来观察下面的图案，看看你能发现什么？a2+b2=c2直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方acb勾股弦勾股定理(毕达哥拉斯定理)a2=c2-b2b2=c2-a2勾股定理的证明325242两千多年来，人们对勾股定理的证明颇感兴趣，因为这个定理太贴近人们的生活实际，以至于古往今来，下至平民百姓，上至帝王总统都愿意探讨和研究它的证明．因此不断出现关于勾股定理的新证法．1．传说中毕达哥拉斯的证法2．赵爽弦图的证法4．美国第20任总统茄菲尔德的证法3．刘徽的证法勾股定理的证明5．其他证法这棵树漂亮吗？如果在树上挂上几串彩色灯泡，再挂上些小铃铛、小彩球、小礼盒、小的圣诞老人，是不是更像一棵圣诞树．也许有人会问：“它与勾股定理有什么关系吗？”仔细看看，你会发现，奥妙在树干和树枝上，整棵树都是由下方的这个基本图形组成的：一个直角三角形以及分别以它的每边为一边向外所作的正方形．这个图形有什么作用呢？不要小看它哦！古希腊的数学家毕达哥拉斯就是利用这个图形验证了勾股定理．AB关于勾股定理的证明，现在人类保存下来的最早的文字资料是欧几里得（公元前300年左右）所著的《几何原本》第一卷中的命题47：“直角三角形斜边上的正方形等于两直角边上的两个正方形之和”．其证明是用面积来进行的．传说中毕达哥拉斯的证法已知：如图，以在Rt△ABC中，∠ACB=90°，分别以a、b、c为边向外作正方形．求证：a2+b2=c2．cbaDEHKFGBACcbaMNDEHKFGBAC∴S矩形ADNM＝2S△ADC．又∵正方形ACHK和△ABK同底（AK）、等高（即平行线AK和BH间的距离），∴S正方形ACHK＝2S△ABK．∵AD＝AB，AC＝AK，∠CAD＝∠KAB，∴△ADC≌△ABK．由此可得S矩形ADNM＝S正方形ACHK．同理可证S矩形MNEB＝S正方形CBFG．∴S矩形ADNM＋S矩形MNEB＝S正方形ACHK＋S正方形CBFG．即S正方形ADEB＝S正方形ACHK＋S正方形CBFG，也就是a2+b2=c2．传说中毕达哥拉斯的证法证明：从Rt△ABC的三边向外各作一个正方形（如图），作CN⊥DE交AB于M，那么正方形ABED被分成两个矩形．连结CD和KB．返回∵由于矩形ADNM和△ADC同底（AD），等高(即平行线AD和CN间的距离)，我国对勾股定理的证明采取的是割补法，最早的形式见于公元三、四世纪赵爽的《勾股圆方图注》．在这篇短文中，赵爽画了一张他所谓的“弦图”，其中每一个直角三角形称为“朱实”，中间的一个正方形称为“中黄实”，以弦为边的大正方形叫“弦实”，所以，如果以a、b、c分别表示勾、股、弦之长，那么：赵爽弦图的证法224()2abcba得：c2=a2+b2．返回cba(b-a)2中黄实朱实cabcabcabcab∵c2==b2-2ab+a2+2ab=a2+b2∴a2+b2=c2大正方形的面积可以表示为；也可以表示为c2该图2002年8月在北京召开的国际数学家大会的会标示意图，取材于我国古代数学著作《勾股圆方图》。abab214)(2证明1：abab214)(2刘徽在《九章算术》中对勾股定理的证明：勾自乘为朱方，股自乘为青方，令出入相补，各从其类，因就其余不移动也．合成弦方之幂，开方除之，即弦也．令正方形ABCD为朱方，正方形BEFG为青方．在BG间取一点H，使AH=BG，裁下△ADH，移至△CDI，裁下△HGF，移至△IEF，是为“出入相补，各从其类”，其余不动，则形成弦方正方形DHFI．勾股定理由此得证．刘徽的证法返回IFEABDCGH学过几何的人都知道勾股定理．它是几何中一个比较重要的定理，应用十分广泛．迄今为止，关于勾股定理的证明方法已有500余种．其中，美国第二十任总统伽菲尔德的证法在数学史上被传为佳话．总统为什么会想到去证明勾股定理呢？难道他是数学家或数学爱好者？答案是否定的．事情的经过是这样的：1876年一个周末的傍晚，在美国首都华盛顿的郊外，有一位中年人正在散步，欣赏黄昏的美景，他就是当时美国俄亥俄州共和党议员伽菲尔德．他走着走着，突然发现附近的一个小石凳上，有两个小孩正在聚精会神地谈论着什么，时而大声争论，时而小声探讨．由于好奇心驱使伽菲尔德循声向两个小孩走去，想搞清楚两个小孩到底在干什么．只见一个小男孩正俯着身子用树枝在地上画着一个直角三角形．于是伽菲尔德便问他们在干什么？只见那个小男孩头也不抬地说：“请问先生，如果直角三角形的两条直角边分别为3和4，那么斜边长为多少呢？”伽菲尔德答到：“是5呀．”小男孩又问道：“如果两条直角边分别为5和7，那么这个直角三角形的斜边长又是多少？”伽菲尔德不加思索地回答到：“那斜边的平方一定等于5的平方加上7的平方．”小男孩又说道：“先生，你能说出其中的道理吗？”伽菲尔德一时语塞，无法解释了，心理很不是滋味．于是伽菲尔德不再散步，立即回家，潜心探讨小男孩给他留下的难题．他经过反复的思考与演算，终于弄清楚了其中的道理，并给出了简洁的证明方法．总统巧证勾股定理美国第二十任总统伽菲尔德总统巧证勾股定理aabbccADCBE返回abcbac∵S梯形ABCD=12a+b2=12(a2+2ab+b2)又∵S梯形ABCD=SAED+SEBC+SCED=12ab+12ba+12c2=12(2ab+c2)比较上面二式得c2=a2+b2ABCDE1881年，伽菲尔德就任美国第二十任总统.后来，人们为了纪念他对勾股定理直观、简捷、易懂、明了的证明，就把这一证法称为“总统证法”．勾股定理证明：你能只用这两个直角三角形说明a2+b2=c2吗？向常春的证明方法2111()()222ABCDSabbabaab梯形22211()22111222EBCAECDABCDSSScabbcabb四边形梯形2221111122222aabcabb222:abc从而得到注:这一方法是向常春于1994年3月20日构想发现的新法．abcba-bADCBEccabcabcabcab∵(a+b)2=a2+2ab+b2=2ab+c2∴a2+b2=c2大正方形的面积可以表示为；也可以表示为(a+b)224abC2勾股定理证明：24abC2ccabacbbacba我们用拼图的方法来说明勾股定理是正确的．试一试证明:上面的大正方形的面积为：下面大的正方形的面积为：从右图中我们可以看出，这两个正方形的边长都是a＋b，所以面积相等，即bbabaaabccbaab2142cab22142abab222222114422cabcbabcab观察下面的图形，你还能发现什么吗？