2018年理科数学全国2卷

绝密★启封并使用完毕前试题类型：A2018年普通高等学校招生全国统一考试（新课标Ⅱ）理科数学注意事项：1.本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分.第Ⅰ卷1至3页，第Ⅱ卷3至5页.2.答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在本试题相应的位置.3.全部答案在答题卡上完成，答在本试题上无效.4.考试结束后，将本试题和答题卡一并交回.第Ⅰ卷一.选择题：本题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.1+2𝑖1−2𝑖=（）A．−45−35𝑖B．−45+35𝑖C．−35−45𝑖D．−35+45𝑖2.已知集合A={(𝑥,𝑦)|𝑥2+𝑦2≤3,𝑥∈𝑍,𝑦∈𝑍}则A中元素的个数为()A.9B.8C.5D.43.函数𝑓(𝑥)=𝑒𝑥−𝑒−𝑥𝑥2的图像大致为（）4.已知向量𝑎→,𝑏→满足|𝑎→|=1,𝑎→𝑏→=−1则𝑎→(2𝑎→−𝑏→)的值为（）A.4B.3C.2D.05.双曲线𝑥2𝑎2−𝑦2𝑏2=1,(𝑎0,𝑏0)的离心率为√3，则其渐近线方程为（）A.y=±√2𝑥B.y=±√3𝑥C.y=±√22𝑥D.y=±√32𝑥6.在ΔABC中，cos𝐶2=√55,BC=1,AC=5,则AB=（）A．4√2B．√30C．√29D．2√57.为了计算S=1−12+13−14+⋯+199−1100,设计了右侧的程序框图，则在空白框中应填入（）A．i=i+1B．i=i+2C．i=i+3D．i=i+48.我国数学家陈景润在哥德巴赫猜想的研究中取得了世界领先的成果。哥德巴赫猜想是“每个大于2的偶数可以表示为两个素数的和”，如30=7+23，在不超过30的素数中，随机选取两个不同的数，其和等于30的概率为（）A．112B．114C．115D．1189．在长方体𝐴𝐵𝐶𝐷−𝐴1𝐵1𝐶1𝐷1中，𝐴𝐵=𝐵𝐶=1,𝐴𝐴1=√3,则异面直线A𝐷1与D𝐵1所成角的余弦为（）A．15B．√56C．√55D．√2210．若函数𝑓(𝑥)=𝑐𝑜𝑠𝑥−𝑠𝑖𝑛𝑥在[−𝑎,𝑎]上是减函数，则a的最大值为（）A．π4B.π2C.3π4D.π11．已知f(x)是定义域为(−∞，+∞)的奇函数，满足f(1-x)=f(1+x)若f(1)=2，则f(1)+f(2)+f(3)+…+f(50)=()A．-50B.0C.2D.5012.已知𝐹1,𝐹2是椭圆𝐶:𝑥2𝑎2+𝑦2𝑏2=1(𝑎𝑏0)的左右焦点，A是C的左顶点，点P在过A且斜率为√36的直线上，ΔP𝐹1𝐹2为等腰三角形，∠P𝐹1𝐹2=120°则C的离心率为（）A.23B.12C.13D.14第Ⅱ卷本卷包括必考题和选考题两部分.第13～21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22～23题为选考题，考生根据要求作答.二、填空题：本大题共3小题，每小题5分13.函数y=2ln(𝑥+1)在点（0，0）处的切线方程为_________________________________14.若x,y满足{𝑥+2𝑦−5≥0𝑥−2𝑦+3≥0𝑥−5≤0，则z=x+y的最大值为______________________________15.已知sinα+cosβ=1,cosα+sinβ=0，则sin(𝛼+𝛽)的值为_______________________16.已知圆锥的顶点为S，母线SA,SB所成角的余弦为78，SA与圆锥底面所成的角为45°，若∆ABC的面积为5√15，则该圆锥的侧面积为______________________________________三.解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.17.(12分)设𝑆𝑛为等差数列{𝑎𝑛}的前n项和，已知𝑎1=−7,𝑆3=−15（1）求{𝑎𝑛}的通项公式；（2）求𝑆𝑛并求𝑆𝑛的最小值。18.（12分）下图是某地区2000年至2016年环境基础设施投资y（单位：亿元）的折线图，为了预测该地区2018年环境基础设施投资额，建立了y与时间变量t的两个线性回归模型，根据2000年至2016年数据（时间变量t的值依次为1，2，3，...，17）建立模型○1:y=−30.4+13.5t；根据2010年至2016年的数据（时间变量t的值依次为1，2，3，...，7）建立模型○2：y=99+17.5t（1）分别利用这两个模型，求该地区2018年的环境基础设施投资额的预测值；（2）你认为用哪个模型得到的预测值更可靠，并说明理由.19.（12分）设抛物线C:𝑦2=4𝑥的焦点为F，过F且斜率为k（0）的直线l与C相交于A，B两点，|𝐴𝐵|=8（1）.求l的方程；（2）求过点A，B且与C的准线相切的圆的方程。20.（12分）如图，在三棱锥P-ABC中，AB=BC=2√2,𝑃𝐴=𝑃𝐵=𝑃𝐶=𝐴𝐶=4O为AC中点，（1）证明：PO⊥平面ABC（2）若点M在棱BC上，且二面角M-PA-C为30°求PC与平面PAM所成角的正弦值。21.（12分）已知：f(x)=𝑒𝑥−𝑎𝑥2(1)a=1，证明x≥0时f(x)≥1(2)若f(x)在（0，+∞）只有一个零点，求a请考生在22、23题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题计分,做答时请写清题号（22）（本小题满分10分）选修4—4：坐标系与参数方程在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为：{𝑥=2𝑐𝑜𝑠𝜃𝑦=4𝑠𝑖𝑛𝜃(𝜃为参数)，直线l的参数方程为{𝑥=1+𝑡𝑐𝑜𝑠𝛼𝑦=2+𝑡𝑠𝑖𝑛𝛼(𝑡为参数）（1）求曲线C和直线l的直角坐标方程；（2）若曲线C截直线l所得线段中点坐标为（1，2），求直线l的斜率。（23）（本小题满分10分）选修4—5：不等式选讲设函数𝑓(𝑥)=5−|𝑥+𝑎|−|𝑥−2|(1)当𝑎=1时，求不等式𝑓(𝑥)≥0的解集；(2)若𝑓(𝑥)≤1，求𝑎的取值范围