24.2.2垂径分弦

24.2.2圆的基本性质“一切立体图形中最美的是球，一切平面图形中最美的是圆”。这是古希腊的数学家毕达哥拉斯一句话。圆也是一种和谐、美丽的图形，无论从哪个角度看，它都具有同一形状。经过圆心的弦（如图中的AB）叫做直径．·COAB连接圆上任意两点的线段（如图AC）叫做弦，与圆有关的概念弦注意:1、弦和直径都是线段。2、直径是弦,是经过圆心的特殊弦，是圆中最长的弦，但弦不一定是直径。圆的任意一条直径的两个端点把圆分成两条弧，每一条弧都叫做半圆．·COAB弧⌒圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧．以A、B为端点的弧记作AB，读作“圆弧AB”或“弧AB”．·COAB劣弧与优弧⌒小于半圆的弧叫做劣弧.大于半圆的弧叫做优弧.⌒（如图中的AC）(用三个字母表示,如图中的ABC)等圆与等弧能够重合的两个圆叫做等圆，等圆的半径相等。在同圆或等圆中，能够互相重合的弧叫等弧。想一想判断下列说法的正误：(1)弦是直径；(2)半圆是弧；(3)过圆心的直线是直径；(4)半圆是最长的弧；(5)直径是最长的弦；由此你能得到圆的什么特性？你能证明圆是轴对称图形吗？不借助任何工具，你能找到一张圆形纸片的圆心吗??在⊙O上，你能找到关于直线CD的一对对称点A、B吗？?EDCOAB由此，我们能发现垂直于弦的直径有什么特殊的性质？已知：在⊙O中，CD是直径，AB是弦，CD⊥AB。求证：AE＝BE，AC＝BC，AD＝BD。EDCOAB垂径定理三种语言•定理:垂直于弦的直径平分弦,并且平分弦所对的两条弧.●OABCDM└CD⊥AB,如图∵CD是直径,∴AM=BM,⌒⌒AC=BC,⌒⌒AD=BD.我们是否还可以得到结论：平分弦的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧．·OABCDEABCDO平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧．定理：●OABCDM└AM=BM,如图∵CD是直径,∴CD⊥AB,⌒⌒AC=BC,⌒⌒AD=BD.根据垂径定理与推论：对于一个圆和一条直线来说，如果具备：那么，由五个条件中的任何两个条件是否都可以推出其他三个结论？探究规律①经过圆心②垂直于弦③平分弦④平分弦所对的优弧⑤平分弦所对的劣弧条件结论命题①④②③⑤①⑤②③④②③①④⑤②④①③⑤②⑤①③④③④①②⑤③⑤①②④④⑤①②③平分弦所对的一条弧的直径,垂直平分弦,并且平分弦所对的另一条弧.弦的垂直平分线经过圆心,并且平分这条弦所对的两条弧.垂直于弦并且平分弦所对的一条弧的直线经过圆心,并且平分弦和所对的另一条弧.平分弦并且平分弦所对的一条弧的直线经过圆心,垂直于弦,并且平分弦所对的另一条弧.平分弦所对的两条弧的直线经过圆心,并且垂直平分弦.①CD是直径,③AM=BM,②CD⊥AB,⌒⌒④AC=BC,⌒⌒⑤AD=BD..OAEBDC课堂讨论弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧。定理：●OABCDM└如图∵AM=BM,CD⊥AB,CD经过圆心是直径,∴⌒⌒AC=BC,⌒⌒AD=BD.课堂小结1、本节课我们学习了……;2、回顾本节课的学习历程，我们是怎样探究垂径分弦的定理的？•不经历风雨，怎么见彩虹•没有人能随随便便成功!问题：你知道赵州桥吗?它是1300多年前我国隋代建造的石拱桥,是我国古代人民勤劳与智慧的结晶．它的主桥是圆弧形,它的跨度(弧所对的弦的长)为37.4m,拱高(弧的中点到弦的距离)为7.2m，你能求出赵洲桥主桥拱的半径吗？赵州桥主桥拱的半径是多少？解得R≈27.9.ODABCR解决求赵州桥拱半径的问题：在Rt△OAD中，由勾股定理，得即R2=18.72+（R－7.2）2因此，赵州桥的主桥拱半径约为27.9m.OA2=AD2+OD2,7.184.372121ABADAB=37.4m，CD=7.2m，OD=OC－CD=R－7.2在图中如图，用弧AB表示主桥拱，设弧AB所在圆的圆心为O，半径为R．经过圆心O作弦AB的垂线OC，D为垂足，OC与弧AB相交于点C.根据前面的结论可知，D是弦AB的中点，C是弧AB的中点，CD就是拱高．AB1．如图，在⊙O中，弦AB的长为8cm，圆心O到弦AB的距离为3cm，求⊙O的半径．·OABE练习解：OEAB222AOOEAE2222=3+4=5cmAOOEAE答：⊙O的半径为5cm.118422AEAB在Rt△AOE中，2．如图，在⊙O中，AB、AC为互相垂直且相等的两条弦，OD⊥AB于D，OE⊥AC于E，求证：四边形ADOE是正方形．·OABCDE证明：OEACODABABAC909090OEAEADODA∴四边形ADOE为矩形，又∵AC=AB，1122AEACADAB，∴AE=AD.∴四边形ADOE为正方形.例2已知：如图，在以O为圆心的两个同心圆中，大圆的弦AB交小圆于C，D两点。求证：AC＝BD。则AE＝BE，CE＝DE。AE－CE＝BE－DE。所以，AC＝BDE.ACDBO例题2证明：过O作OE⊥AB，垂足为E，┐例3已知：⊙O中弦AB∥CD。求证：AC＝BD⌒⌒∵AB∥CD，∴MN⊥CD。则AM＝BM，CM＝DM（垂直平分弦的直径平分弦所对的弦）AM－CM＝BM－DM∴AC＝BD⌒⌒⌒⌒⌒⌒⌒⌒⌒⌒.MCDABON例题3证明：作直径MN⊥AB。试一试P9311驶向胜利的彼岸挑战自我画一画•如图,M为⊙O内的一点,利用尺规作一条弦AB,使AB过点M.并且AM=BM.●O●M2、如图4，在⊙O中，AB为⊙O的弦，C、D是直线AB上两点，且AC＝BD求证：△OCD为等腰三角形。ABCDOEABCDO3、如图，两个圆都以点O为圆心，小圆的弦CD与大圆的弦AB在同一条直线上。你认为AC与BD的大小有什么关系？为什么？G挑战自我垂径定理的推论•如果圆的两条弦互相平行,那么这两条弦所夹的弧相等吗?•老师提示:这两条弦在圆中位置有两种情况:随堂练习P9210驶向胜利的彼岸●OABCD1.两条弦在圆心的同侧●OABCD2.两条弦在圆心的两侧垂径定理的推论圆的两条平行弦所夹的弧相等.垂径定理的推论•如果圆的两条弦互相平行,那么这两条弦所夹的弧相等吗?•老师提示:这两条弦在圆中位置有两种情况:●OABCD1.两条弦在圆心的同侧●OABCD2.两条弦在圆心的两侧垂径定理的推论圆的两条平行弦所夹的弧相等.MM已知：⊙O中弦AB∥CD。求证：AC＝BD⌒⌒证明：作直径MN⊥AB。∵AB∥CD，∴MN⊥CD。则AM＝BM，CM＝DM（垂直平分弦的直径平分弦所对的弦）AM－CM＝BM－DM∴AC＝BD⌒⌒⌒⌒⌒⌒⌒⌒⌒⌒.MCDABON讲解如果圆的两条弦互相平行，那么这两条弦所夹的弧相等吗？圆的两条平行弦所夹的弧相等如何找圆心？•当未知一个圆或一条弧的圆心时，如何把它找出来？试一试P9312挑战自我填一填•1、判断：•⑴垂直于弦的直线平分这条弦,并且平分弦所对的两条弧.（）•⑵平分弦所对的一条弧的直径一定平分这条弦所对的另一条弧.（）•⑶经过弦的中点的直径一定垂直于弦.（）•⑷圆的两条弦所夹的弧相等，则这两条弦平行.•⑸弦的垂直平分线一定平分这条弦所对的弧.（）•2.已知：如图,⊙O中,弦AB∥CD,AB＜CD,直径MN⊥AB,垂足为E,交弦CD于点F.图中相等的线段有:.图中相等的劣弧有:.FEOMNABCD•3、已知：如图，⊙O中，AB为弦，C为弧AB的中点，OC交AB于D，AB=6cm，CD=1cm.求⊙O的半径OA.DOABC•4.如图,圆O与矩形ABCD交于E、F、G、H,EF=10,HG=6,AH=4.求BE的长.·ABCD0EFGHMN已知：AB和CD是⊙O内的两条平行弦，，AB=6cm，CD=8cm，⊙O的半径为5cm，思考题：（1）请根据题意画出符合条件的图形（2）求出AB、与CD间的距离。OBADC（1）OBADC（2）学生练习已知：AB是⊙O直径，CD是弦，AE⊥CD，BF⊥CD求证：EC＝DF.AOBECDF小结:解决有关弦的问题，经常是过圆心作弦的垂线，或作垂直于弦的直径，连结半径等辅助线，为应用垂径定理创造条件。.CDABOMNE.ACDBO.ABOEDCOABOBCADDOBCAOBACDOBAC