三角函数恒等变换含答案及高考题

三角函数恒等变形的基本策略。（1）常值代换：特别是用“1”的代换，如1=cos2θ+sin2θ=tanx·cotx=tan45°等。（2）项的分拆与角的配凑。如分拆项：sin2x+2cos2x=(sin2x+cos2x)+cos2x=1+cos2x；配凑角：α=（α+β）－β，β=2－2等。（3）降次与升次。（4）化弦（切）法。（4）引入辅助角。asinθ+bcosθ=22basin(θ+)，这里辅助角所在象限由a、b的符号确定，角的值由tan=ab确定。1．已知tanx=2，求sinx，cosx的值．解：因为2cossintanxxx，又sin2x＋cos2x=1，联立得，1cossincos2sin22xxxx解这个方程组得.55cos552sin,55cos552sinxxxx2．求)330cos()150sin()690tan()480sin()210cos()120tan(的值．解：原式)30360cos()150sin()30720tan()120360sin()30180cos()180120tan(o.3330cos)150sin(30tan)120sin)(30cos(60tan3．若,2cossincossinxxxx，求sinxcosx的值．解：法一：因为,2cossincossinxxxx所以sinx－cosx=2(sinx＋cosx)，得到sinx=－3cosx，又sin2x＋cos2x=1，联立方程组，解得，，1010cos10103sin1010cos10103sinxxxx所以103cossinxx法二：因为,2cossincossinxxxx所以sinx－cosx=2(sinx＋cosx)，所以(sinx－cosx)2=4(sinx＋cosx)2，所以1－2sinxcosx=4＋8sinxcosx，所以有103cossinxx4．求证：tan2x·sin2x=tan2x－sin2x．证明：法一：右边＝tan2x－sin2x=tan2x－(tan2x·cos2x)=tan2x(1－cos2x)=tan2x·sin2x，问题得证．法二：左边=tan2x·sin2x=tan2x(1－cos2x)=tan2x－tan2x·cos2x=tan2x－sin2x，问题得证．5．求函数)6π2sin(2xy在区间[0，2]上的值域．解：因为0≤x≤2π，所以,6π76π26π,π20xx由正弦函数的图象，得到],1,21[)6π2sin(x所以y∈[－1，2]．6．求下列函数的值域．(1)y＝sin2x－cosx+2；(2)y＝2sinxcosx－(sinx＋cosx)．解：(1)y=sin2x－cosx＋2＝1－cos2x－cosx＋2=－(cos2x＋cosx)＋3，令t=cosx，则,413)21(413)21(3)(],1,1[222ttttyt利用二次函数的图象得到].413,1[y(2)y＝2sinxcosx－(sinx＋cosx)=(sinx＋cosx)2－1－(sinx＋cosx)，令t=sinx＋cosx2，)4πsin(x，则]2,2[t则，,12tty利用二次函数的图象得到].21,45[y7．若函数y=Asin(ωx+φ)(ω＞0，φ＞0)的图象的一个最高点为)2,2(，它到其相邻的最低点之间的图象与x轴交于(6，0)，求这个函数的一个解析式．解：由最高点为)2,2(，得到2A，最高点和最低点间隔是半个周期，从而与x轴交点的间隔是41个周期，这样求得44T，T=16，所以8π又由)28πsin(22，得到可以取).4π8πsin(2.4πxy8．已知函数f(x)=cos4x－2sinxcosx－sin4x．(Ⅰ)求f(x)的最小正周期；(Ⅱ)若],2π,0[x求f(x)的最大值、最小值．数xxycos3sin1的值域．解：(Ⅰ)因为f(x)=cos4x－2sinxcosx－sin4x＝(cos2x－sin2x)(cos2x＋sin2x)－sin2x)4π2sin(2)24πsin(22sin2cos2sin)sin(cos22xxxxxxx所以最小正周期为π．(Ⅱ)若]2π,0[x，则]4π3,4π[)4π2(x，所以当x=0时，f(x)取最大值为;1)4πsin(2当8π3x时，f(x)取最小值为.21．已知2tan，求（1）sincossincos；（2）22cos2cos.sinsin的值.解：（1）2232121tan1tan1cossin1cossin1sincossincos；(2)222222cossincos2cossinsincos2cossinsin324122221cossin2cossincossin2222.说明：利用齐次式的结构特点（如果不具备，通过构造的办法得到），进行弦、切互化，就会使解题过程简化。2．求函数21sincos(sincos)yxxxx的值域。解：设sincos2sin()[22]4πtxxx，，则原函数可化为22131()24yttt，因为[22]t，，所以当2t时，max32y，当12t时，min34y，所以，函数的值域为3[32]4y，。3．已知函数2()4sin2sin22fxxxxR，。（1）求()fx的最小正周期、()fx的最大值及此时x的集合；（2）证明：函数()fx的图像关于直线8πx对称。解：22()4sin2sin222sin2(12sin)fxxxxx2sin22cos222sin(2)4πxxx(1)所以()fx的最小正周期Tπ，因为xR，所以，当2242ππxkπ，即38πxkπ时，()fx最大值为22；(2)证明：欲证明函数()fx的图像关于直线8πx对称，只要证明对任意xR，有()()88ππfxfx成立，因为()22sin[2()]22sin(2)22cos28842ππππfxxxx，()22sin[2()]22sin(2)22cos28842ππππfxxxx，所以()()88ππfxfx成立，从而函数()fx的图像关于直线8πx对称。4．已知函数y=21cos2x+23sinx·cosx+1（x∈R）,（1）当函数y取得最大值时，求自变量x的集合；（2）该函数的图像可由y=sinx(x∈R)的图像经过怎样的平移和伸缩变换得到？解：（1）y=21cos2x+23sinx·cosx+1=41(2cos2x－1)+41+43（2sinx·cosx）+1=41cos2x+43sin2x+45=21(cos2x·sin6+sin2x·cos6)+45=21sin(2x+6)+45所以y取最大值时，只需2x+6=2+2kπ,（k∈Z），即x=6+kπ,（k∈Z）。所以当函数y取最大值时，自变量x的集合为{x|x=6+kπ,k∈Z}（2）将函数y=sinx依次进行如下变换：（i）把函数y=sinx的图像向左平移6，得到函数y=sin(x+6)的图像；（ii）把得到的图像上各点横坐标缩短到原来的21倍（纵坐标不变），得到函数y=sin(2x+6)的图像；（iii）把得到的图像上各点纵坐标缩短到原来的21倍（横坐标不变），得到函数y=21sin(2x+6)的图像；（iv）把得到的图像向上平移45个单位长度，得到函数y=21sin(2x+6)+45的图像。综上得到y=21cos2x+23sinxcosx+1的图像。历年高考综合题一，选择题1.（08全国一6）2(sincos)1yxx是（）A．最小正周期为2π的偶函数B．最小正周期为2π的奇函数C．最小正周期为π的偶函数D．最小正周期为π的奇函数2.（08全国一9）为得到函数πcos3yx的图象，只需将函数sinyx的图像（）A．向左平移π6个长度单位B．向右平移π6个长度单位C．向左平移5π6个长度单位D．向右平移5π6个长度单位3.(08全国二1)若sin0且tan0是，则是（）A．第一象限角B．第二象限角C．第三象限角D．第四象限角4.（08全国二10）．函数xxxfcossin)(的最大值为（）A．1B．2C．3D．25.（08安徽卷8）函数sin(2)3yx图像的对称轴方程可能是（）A．6xB．12xC．6xD．12x6.（08福建卷7）函数y=cosx(x∈R)的图象向左平移2个单位后，得到函数y=g(x)的图象，则g(x)的解析式为()A.-sinxB.sinxC.-cosxD.cosx7.（08广东卷5）已知函数2()(1cos2)sin,fxxxxR，则()fx是（）A、最小正周期为的奇函数B、最小正周期为2的奇函数C、最小正周期为的偶函数D、最小正周期为2的偶函数8.（08海南卷11）函数()cos22sinfxxx的最小值和最大值分别为（）A.－3，1B.－2，2C.－3，32D.－2，329.（08湖北卷7）将函数sin()yx的图象F向右平移3个单位长度得到图象F′，若F′的一条对称轴是直线,1x则的一个可能取值是（）A.512B.512C.1112D.111210.（08江西卷6）函数sin()sin2sin2xfxxx是（）A．以4为周期的偶函数B．以2为周期的奇函数C．以2为周期的偶函数D．以4为周期的奇函数11.若动直线xa与函数()sinfxx和()cosgxx的图像分别交于MN，两点，则MN的最大值为（）A．1B．2C．3D．212.（08山东卷10）已知π4cossin365，则7πsin6的值是（）A．235B．235C．45D．4513.（08陕西卷1）sin330等于（）A．32B．12C．12D．3214.（08四川卷4）2tancotcosxxx()Ａ.tanxＢ.sinxＣ.cosxＤ.cotx15.（08天津卷6）把函数sin()yxxR的图象上所有的点向左平行移动3个单位长度，再把所得图象上所有点的横坐标缩短到原来的12倍（纵坐标不变），得到的图象所表示的函数是（）A．sin23yxxR，B．sin26xyxR，C．sin23yxxR，D．sin23yxxR，16.（08天津卷9）设5sin7a，2cos7b，2tan7c，则（）A．abcB．acbC．bcaD．bac17.（08浙江卷2）函数2(sincos)1yxx的最小正周期是（）A.2B.C.32D.218.（08浙江卷7）在同一平面直角坐标系中，函数])20[)(232cos(，xxy的图象和直线21y的交点个数是（）A.0B.1C.2D.4二，填空题19.（08北京卷9）若角的终边经过点(12)P，，则tan2的值为．20.（08江苏卷1）cos6fxx的最小正周期为5，其中0，则=．21.（08辽宁卷16）设02x，，则函数22sin1sin2xyx的最小