三角函数课件

主讲老师：李得明数学教育方法的核心是学生的再创造.教师不应该把数学当作一个已经完成了的形式理论来教，不应该将各种定义、规则、算法灌输给学生，而是应该创造合适的条件，让学生在学习数学的过程中，用自己的体验，用自己的思维方式，重新创造有关的数学知识.课堂教学内容组织主要形式为：问题情境→学生活动→意义建构→回顾反思→数学理论→数学运用三角函数平面上的向量（简称平面向量）三角恒等变换三角函数是基本初等函数，它是描述周期现象的重要数学模型，在数学和其他领域中具有重要的作用．在本模块中，学生将通过实例，逐步理解三角函数的概念及其基本性质，认识三角函数与实际生活的联系，体会三角函数在解决具有周期变化规律的问题中的作用．课标要求向量是近代数学中重要和基本的数学概念之一，它是沟通代数、几何与三角函数的一种工具，有着极其丰富的实际背景．在本模块中，学生将了解向量丰富的实际背景，理解平面向量及其运算的意义，能用向量语言和方法表述和解决数学和物理中的一些问题，发展运算能力和解决实际问题的能力．三角恒等变换在数学中有一定的应用，同时有利于发展学生的推理能力和运算能力．在本模块中，学生将运用向量的方法推导基本的三角恒等变换公式，由此出发导出其他的三角恒等变换公式，并能运用这些公式进行简单的恒等变换，发展学生的推理和运算能力．本章结构内容和要求本章内容的定位教学建议第一章三角函数（约16课时）一、本章结构弧度周期现象任意角三角函数三角函数线同角三角函数关系诱导公式三角函数图象性质综合运用二、内容与要求（1）任意角、弧度了解任意角的概念和弧度制，能进行弧度与角度的互化．（2）三角函数①借助单位圆理解任意角三角函数（正弦、余弦、正切）的定义．二、内容与要求②借助单位圆中的三角函数线推导出诱导公式（π/2±α,π±α的正弦、余弦、正切），能画出y=sinx,y=cosx,y=tanx的图象，了解三角函数的周期性．③借助图象理解正弦函数、余弦函数在[0，2π]，正切函数在（-π/2，π/2）上的性质（如单调性、最大和最小值、图象与x轴交点等）．④理解同角三角函数的基本关系式：sin2x+cos2x=1，sinx/cosx=tanx．⑤结合具体实例，了解y=Asin（ωx+φ）的实际意义；能借助计算器或计算机画出y=Asin（ωx+φ）的图象．观察参数A，ω，φ对函数图象变化的影响．⑥会用三角函数解决一些简单实际问题，体会三角函数是描述周期变化现象的重要函数模型．1．引言提供背景：自然界广泛地存在着周期性现象，圆周上一点的运动是一个简单又基本的例子．提出问题：用什么样的数学模型来刻画周期性运动？明确任务：建构这样的数学模型．教学的起点是：对周期性现象的数学（分析）研究．教材的定位是：展示对周期现象进行数学研究的过程，即建构刻画周期性现象的数学模型的（思维）过程．三、本章内容的定位2．教科书的的特点苏教版教材把本章定位为“展示建构刻画周期性现象的数学模型的（思维）过程”，为了保证这个定位的落实，或者说，作为定位的具体体现，教材形成了鲜明的特点．采用以问题链为线索的呈现方式．既然教材要展示“思维过程”，而思维是从问题开始的，思维的过程就是不断地提出问题，解决问题的过程．所以教材采用了以问题链展开的呈现方式．注意提出问题的环节，注意问题间的逻辑联系，强化目标（建构刻画周期性现象的数学模型）的指向作用．任意角三角函数概念无疑是本部分的核心概念．苏教版的教材和其它的教材一样是在讲了“任意角”、“弧度制”以后，通过对锐角三角函数的考察后建立起任意角三角函数的概念的．应该指出的，尽管在建立三角函数概念的程序上看起来是相同的，只是在具体的处理方法上有些“微妙“的差异，可是不应该小看了这里的差异，因为这些差异正是对教材不同定位的表现．案例：任意角三角函数教材中的问题链（1）720°是怎样的一个角？（2）具有相同终边的角彼此之间有什么关系？（3）在本章引言中，我们用（r，l）表示点P，那么r，l与α之间具有怎样的关系？（4）用怎样的数学模型建立(x，y)与(r，α)之间的关系？（5）怎样将锐角的三角函数推广到任意角？以“数学地研究”的一般程序来组织、选取教学内容．实际问题－建立数学模型－数学模型进行研究－利用数学模型解决实际问题教材充分发挥学习“函数”一章的经验在建构“刻画周期性现象的数学模型”中的作用，在结构上尽可能地与“函数”一章相同．为了突出“建构—研究—应用”这一主线，教材对传统的教学内容做了“强干削枝”的处理．如抽出“三角变换”的内容，另立一章；把6种三角函数减为3种等等．意图：一方面可以让学生利用已有的经验，掌握学习的主动权，发现数学知识的联系，加深对知识的理解；另一方面又突出了基本的数学思想和数学地研究问题的方法，有利于正确的数学观念的形成．突出周期性本章的研究对象是周期性现象，建构的是“刻画周期性现象的数学模型”，在教材中，突出了周期性，把它看成是教材出发点和归属．教材P4引言中“日出日落，寒来暑往…等”生活中的摩天轮的运动圆周上的点的运动“周而复始”“周期现象”“三角函数的应用”案例：三角函数的性质在很多教材中，总是通过作出三角函数的图象，然后再由图象的观察得到三角函数的性质的．对此，苏教版的教材做了不同的处理．已知f(1)＝3，f(37)＝?“周而复始，重复出现”xyO425813对于，如果存在一个非零常数T，使得定义域内的每一个x，都满足：f(x＋T)＝f(x)，则函数f(x)叫做周期函数．T叫做这个函数的周期．函数f(x)xyO4258xyO425注：①定义域向数轴两端无限延伸；②周期有无数个③不是所有的周期函数都有最小正周期．8——最小正周期；三角函数的周期性：①f(x)＝sinx②f(x)＝cosx③f(x)＝tanxtan(＋k)＝tan，k∈Z最小正周期：2最小正周期：2最小正周期：T＝4T＝4T＝4T＝例求下列函数的周期：①f(x)＝sinx；②g(x)＝sin(x－)；③h(x)＝2sin(x－)；④f(x)＝Asin(x＋)，其中A≠0，＞0．4214212||221加强几何直观，强调形数结合的思想三角函数的基础是几何中的相似形和圆，而研究方法又主要是代数的，因此三角函数集中地体现了形数结合的思想，在代数和几何之间建立了初步的联系．在本章中，充分渗透了数形结合的思想．一方面是以形助数，突出了几何直观对理解抽象数学概念的作用．（1）在三角函数及其性质的学习中，注意充分发挥单位圆的直观作用，借助单位圆认识任意角、任意角的三角函数，理解三角函数的周期性、诱导公式、同角三角函数关系式以及三角函数的图象．（2）通过角终边之间的对称关系来研究诱导公式．（3）借助三角函数的图象理解三角函数在一个周期上的单调性、最大和最小值、图象与轴的交点等性质；另一方面以数助形，例如应用三角函数的周期性来简化函数图象的作图．案例诱导公式的推导提出问题：由三角函数的定义可以知道：终边相同的角的同一三角函数值相等．除此以外还有一些角，它们的终边具有某种特殊关系，如关于坐标轴对称，关于原点对称等，那么它们之间的三角函数值之间具有什么样的关系呢？问题终边的的位置关系对称的位置关系三角函数值之间的关系诱导公式四、教学建议准确把握教学要求（1）与过去的教材相比，新教材强调了三角函数是一种“数学模型”．（2）与以往的三角函数内容相比较，本章提出了对三角函数作为刻画现实世界的数学模型的认识的要求，加强了对借助单位圆理解三角函数的概念、性质，以及通过建立三角函数模型解决实际问题等内容．（3）“标准”删减了任意角的余切、正割、余割，已知三角函数求角，反三角函数符号等内容．“标准”降低了对任意角概念，弧度制概念，同角三角函数的基本关系式，诱导公式，三角函数的奇偶性的要求．这样的处理，把重点放在使学生理解三角函数及其基本性质、体会三角函数在解决具有周期变化规律的问题中的作用上，而对一些细枝末节的内容不再作过多要求．教学时应当把握好这种变化，遵循“标准”所规定的内容和要求，不要随意补充已被删减的知识点．也不要引进那些繁琐的、技巧性高的变换题目．例如：求定义域、值域;已知sina=m求的其他三角函数值;用诱导公式进行复杂变换的问题等．（4）但是也不能放松基本的技能训练，应该让学生记牢并熟练地使用诱导公式，同角三角函数关系式，能用五点法画出正（余）弦函数的图象等，因为这是利用三角函数解决问题的基础．注意从数学模型的角度来认识三角函数，突出数学思想方法在数学模型建构中的作用．（1）要突出数学模型思想．教学中应当充分利用章引言提供的情境，引导学生利用学习《函数》的经验，自觉地参与建构刻画周期现象的数学模型的活动，使学生从学习之初就建立起从数学模型的角度看三角函数的意识，在此基础上，要充分注意运用三角函数模型解决实际问题的教学，使学生经历运用三角函数模型描述周期现象、解决实际问题的全过程．（2）要充分发挥形数结合思想方法在本章的运用．发挥单位圆、三角函数线、图象的作用．（3）运用和深化函数思想方法．三角函数是学生在高中阶段系统学习的又一个基本初等函数，教学中应当注意引导学生以数学l中学到的研究函数的方法为指导来学习本章知识，即在函数观点的指导下，学习三角函数，这对进一步理解三角函数概念，理解函数思想方法对提高学生在学习过程中的数学思维水平都是十分重要的．案例：用集合与对应的函数观点看三角函数，这是一种“多对一”的函数；用函数研究中的基本问题（对应关系、定义域、值域、表示方法、图象，性质等）来理解学习三角函数的进程；在讨论y=Asin(ωx+φ)的图象时，渗透函数变换与图象变换(平移、伸缩)的关系．（需要注意分寸）以问题为中心，充分发挥理性思维在建构数学模型中的作用．恰当地使用信息技术．案例：三角函数的应用例1．在图中，点O为做简谐运动的物体的平衡位置，取向右的方向为物体位移的正方向，若已知振幅为3cm，周期为3s，且物体向右运到到距离平衡位置最远处时开始计时．（1）求物体对平衡位置的位移x(cm)和时间t(s)之间的函数关系；（2）求该物体在t＝5s时的位置．用什么模型描述物体的运动？如何确定模型中的参数？已知条件“物体向右运到到距离平衡位置最远处时开始计时”怎样应用？例1．在图1中，点O为做简谐运动的物体的平衡位置，取向右的方向为物体位移的正方向，若已知振幅为3cm，周期为3s，且物体向右运到到距离平衡位置最远处时开始计时．回顾说明：注意简谐振动中的振幅、周期、频率、初相的意义；本题的难点在于初相的确定；书写函数解析式时，需要根据自变量的实际意义，书写定义域.图2例2．如图2，某地一天从6～14时的温度变化曲线近似满足函数y＝Asin(ωx＋)＋b．（1）求这一天该时段的最大温差；（2）写出这段曲线的函数解析式．例3．一半径为3m的水轮如图3所示，水轮圆心O距离水面2m，已知水轮每分钟转动4圈，如果当水轮上点P从水中浮现（图中点P0）开始计算时间．（1）将点P距离水面的高度z（m）表示为时间t(s)的函数；时刻t时，物体位于何处？时刻t时，物体距离水面的高度如何计算？如何确定？（2）点P第一次到达最高点大约要多少时间？例4．海水受日月的引力，在一定的时候发生涨落的现象叫潮汐，一般的早潮叫潮，晚潮叫汐．在通常情况下，船在涨潮时驶进航道，靠近船坞；卸货后落潮时返回海洋．下面给出了某港口在某季节每天几个时刻的水深．（1）选用一个三角函数来近似描述这个港口的水深和时间的函数关系，并给出在整点时的水深的近似数值(精确到0.001)；为什么是“12”？为什么是=0？（2）一条货船的吃水深度（船底与水面的距离）为4m，安全条例规定至少要有1.5m的安全间隙（船底与海底的距离），该船何时能进入港口？在港口能呆多久？（2）一条货船的吃水深度（船底与水面的距离）为4m，安全条例规定至少要有1.5m的安全间隙（船底与海底的距离），该船何时能进入港口？在港口能呆多久？（3）若船的吃水深度为4m，安全间隙为1.