管理统计学：第三章：样本数据特征

第3章样本数据特征的初步分析第3章样本数据特征的初步分析•第3.1节样本数据结构的基本特征：频次与频率•第3.2节观察刻度级样本数据结构的茎叶图与直方图方法•第3.3节样本数据的位置特征：对数据中心的描述•第3.4节样本数据的离散特征•第3.5节样本数据特征的综合表达：箱形图第3.1节样本数据结构的基本特征：频次与频率•一个误区：聚焦于数据值（样本值）及其变化•另一个重要问题：相同值出现的频次、频率。这是数据集合的最基本的结构特征。•本节讨论这一结构特征：频次（Frequency）与频率（Percentage，或RelativeFrequency）•两个紧密相关的不同的概念：•1）样本数据自身（不论什么测度级的数据）•2）同一个数据值（样本值）出现的次数（频次）。•3.1.1频次与频率的基本概念•频次：在一个数据集合中，同一个数据值（样本值）出现的次数。•频率：某样本值的频率=该样本值出现的频次/n（该数据集合的数据总个数）•一个例子（下页）•例3.1.1从某城市抽出来的30个商店中，查出某商品的价格数据：•9.9810.0210.0010.0410.019.9910.0510.0410.0610.01•10.039.999.979.9310.0110.0310.0310.0210.059.99•9.959.969.9810.009.9710.0110.009.999.9810.00•（感觉如何？乱！）•排序：最基本的整理。•9.939.959.969.979.979.989.989.989.999.999.999.9910.0010.0010.0010.0010.0110.0110.0110.0110.0210.0210.0310.0310.0310.0410.0410.0510.0510.06•简单之至？•认为容易的，可以试试手工对300个数据排序•简单：基于软件。•基于排序，能够简单统计频次：•价格（元）9.939.949.959.969.979.989.9910.00•次数：10112344•频率%3.3303.333.336.6710.0013.3313.33•价格（元）10.0110.0210.0310.0410.0510.06•次数：423221•频率%13.336.6710.06.676.673.33•故意增加了“9.94元”这个刻度•排成一行，看清楚了频率结构特征。•今后，统计频次、频率，都由机器完成。•上例是刻度级的数据，下面看一个名义级数据的例子。•例3.1.3抽样调查后，得到客户家具的基色调的数据：•R、Y、R、G、Y、Y、W、Y、G、G、R、Y、Y、R、W•G、Y、R、W、Y、G、G、B、R、Y、Y、W、R、R、W•R、Y、R、G、Y、Y、W、Y、G、G、R、Y、Y、R、W•G、Y、R、W、Y、G、G、B、R、Y、Y、W、R、R、W•其中，R表示暗红色，Y表示淡黄褐色，G表示浅绿色，W表示白色，B表示黑色。•统计出各个颜色出现的频率如下：家具基色BGRWY合计基色频次16851030基色频率3.3320.026.716.733.3100•当然，也可以统计出顺序级数据集合的频次与频率结构。•3.1.2观察样本数据基本特征（频次与频率）的图形方法•1.表示频次与频率的饼图（PieChart）•每个不同的样本值所占据的圆心角的大小由下式计算：•在圆圈中，给每个不同的样本值一个与其频次（或频率）相当的圆心角：•某样本值对应的圆心角=该样本值的频率×360º•家具基色调（名义级数据）•某单位职工文化程度的结构（顺序级数据）•2.表示频次与频率的条形图•图见下页。•非常简单：•1）横坐标：样本数据的不同值。•顺序级以上，横坐标上的样本数据应从小到大排列。若是刻度级的，则在排序中，要注意长度的刻度，保持一致的比例。•2）纵坐标：相应样本值出现的频次或频率。•某商品在30个商店的价格例（注意间距）•某科室职工文化程度例（有顺序，无间距）•家具基色调例（横坐标的色彩无顺序关系）•3.1.3样本数据集合的基本特征的延伸：累积频率（CumulativePercentage）•1.累积频率的概念（简单）•设X1＜X2＜…＜Xm，是样本数据集合中的不重复的样本值（m≤n样本个数）。•若把样本值小于等于某个样本数据Xi的频率值，都累加起来，就得到“小于等于Xi”的累积频率。•2.表格法表示累积频率（以价格问题为例）：•价格（元）9.939.949.959.969.979.989.9910.00•次数：10112344•频率%3.3303.333.336.6710.0013.3313.33•累积频率%3.333.336.6710.0016.6726.6740.0053.33•价格（元）10.0110.0210.0310.0410.0510.06•次数：423221•频率%13.336.6710.06.676.673.33•累积频率%66.6773.3383.3390.0096.67100.00•讨论：顺序级数据能够计算累积频率吗？•名义级数据能够计算累积频率吗？•为什么？（答案见教材第72页）•3.累积频率的条形图表示•把条形图的纵坐标改成累积频率即可。•商品价格例：第3.2节观察刻度级样本数据结构的茎叶图与直方图方法•3.2.1茎叶图（Stem-and-LeafPlot）的概念与作法•1.概念•“茎-叶”的含义：按照某规则，把所有的样本值分成“茎节”和“叶”两个部分。表达为：“茎节·叶”的形式。•“茎节”末位上的1所代表的实际值，就是“茎节”的宽度。•例如，可用茎叶法，把123表达为1.23（此时，茎节宽=100）•此时，123（样本值）=1.23（茎叶表达）×100（茎节宽）•问：若茎节宽度为10，如何表达123？•2.例题与茎叶图的作法•例3.2.1某班级男生的身高（厘米）•171182175177178181185168170175177•180176172165160178186190176163183•问：若以100cm为茎节宽？茎节是多少？对吗？•结论：样本数据集合中的“茎节”必须是有变化的•∴茎节宽应为10cm•把所有的数据都表达为“茎节·叶”形式后，把相同茎节的数据合并为“茎节·叶1叶2……”形式（叶，要从小到大排列），再把不同的茎节从小到大纵向排列，就得到茎叶图：•茎叶•16·0,3,5,8•17·0,1,2,5,5,6,6,7,7,8,8•18·0,1,2,3,5,6•19·0•进一步策略（并注明频次）为：•频次茎叶•416·0,3,5,8•1117·0,1,2,5,5,6,6,7,7,8,8•618·0,1,2,3,5,6•119·0•这就是身高数据集合的茎叶图。•问：如果有的茎节右边的叶子太多了，怎么办？•把“茎节”砍短一点。•例如，把每个茎节分成两段（L、H），有•频次茎节•216L·03•216H·58•317L·012•817H·55667788•418L·0123•218H·56•119L·0•“茎节长度”的概念：茎节长度=允许覆盖最大值-允许覆盖最小值+1•上例中的茎节长度为5（cm）：0~4,5~9•上例中的L、H可以省略。•事实上，上例的茎节是不必砍短的，•∵叶并不多•注意：茎节砍短时，要注意茎节等长的原则3.2.2直方图（Histogram）的概念与作法•1.条形图的弱点，当刻度级的数据的精度相对高，使得不重复的数据量非常大时，反而让人看不清数据集合的结构。例如，身高问题•看不清分布的规律•如果我们对数据适当分组，再用矩形的高度来表示各组的数据的个数或频率，就有（可看到清楚的分布规律）：•这就是直方图。各区间长度是5cm，起点是157.5cm，终点时192.5cm。•2.直方图：适用于大量不重复样本值的数据集合。•在绘制直方图时，如何对数据分组，如何确定区间长度、区间个数？如何确定区间起点？参见教材。•今后软件可自动完成分组和绘图。•需要掌握的是：直方图与条形图的区别，各适用于什么数据特点？•作直方图时，在区间长度确定后，如何确定区间个数？（数据集合中最大值-数据集合中的最小值）/区间长度，其值4舍5入后加1为组的个数。•作直方图时，如何确定最左端区间的中心位置？取出样本数据集合中的最小值；确定备选的起始区间的中心位置；在备选区间的中心位置中，哪个与最小值接近，就确定为数据分组的起始区间。第3节样本数据的位置特征对数据中心的描述•样本数据的测度级别的不同，需要不同的表示“数据集合中心”的概念。•本节将介绍“样本中位数”、“样本众数”和“样本均值”三个重要的描述数据集合中心位置的基本概念。•3.3.1样本众数（Samplemode）•样本众数定义1：样本数据集合中出现频次最高的那个样本值，称为样本众数。在一般情况下，“样本众数”被简称为“众数”。•单一众数：P.67。复众数：P.67。无众数：P.68•从条形图，或者频率表、频次表来判断。•众数定义2：对刻度级的数据，在等区间分组的直方图中，最高的矩形（即峰Peak）所表示的数据区间，称为该数据集合的众数区间，简称众数。如：•众数区间，也有单一众数和复众数之分。•问：众数适用于什么测度？广义与侠义•3.3.2样本中位数（Samplemedian）•样本中位数：•设，样本数据集合中的所有数据的排序结果为X1≤X2≤……≤Xn，n为样本容量。样本中位数，就是上述序列中，处于“正中间位置”上的数据。•两个要素：位与数。•正中间位置“号码”=（n+1）×0.5•例1:17.017.117.217.517.517.617.6•Me=17.5•例2:16.817.017.117.217.5•17.517.617.6•Me=17.35•问：中位数适用于什么测度？•分奇偶个数。•3.3.3样本均值（SampleMean）•样本均值（SampleMean）•样本均值仅适用于刻度级的数据。•样本数据集合的样本均值定义为：•式中，Xi为样本观察值。第3.4节样本数据的离散特征•描述数据集合的离散特征的两种方法：•一、点状描述，如明确样本数据集合中的最小值和最大值等；•二、区间描述（基于差值的描述），如样本数据集合中的最大值与最小值之差。3.4.1对样本数据离散特征的点状描述：极值、四分点与百分位点•1.极大值（Maximum）与极小值（Minimum）•极大值与极小值，从一定视角反映了样本数据集合中样本的离散情况。•问：极大值、极小值适用于什么测度？•另一个位与数的问题：•2.下四分点（Lowerquartile）与上四分点（Upperquartile）•1）上、下四分点的概念•下四分点使由小到大排序后的数据集合的左边部分，包含25%的样本总个数，右边部分包含75%的样本总个数。•上四分点使由小到大排序后的数据集合的左边部分，包含75%的样本总个数，右边部分包含25%的样本总个数。•上、下四分点在一定意义上反映了样本数据的离散情况。•2）上、下四分点（及中位数）的位置•Q1：下四分点，Q3：上四分点，Q2=Me:中位数，n：该数据集合的数据总个数。•下四分点Q1的位置=（n+1）×0.25•正中间Q2的位置=（n+1）×0.5•上四分点Q3的位置=（n+1）×0.75•3）上、下四分点（及中位数）的值•当Q1、Q2、Q3的位置为整数时，相应整数位置上的样本值，就是当Q1、Q2、Q3的值。•当其不为整数时：•Q1=Q2位置左边的样本值+（Q1位置右边的样本值-Q1位置左边的样本值）×Q1位置的小数部分•Q3=Q3位置左边的样本值+（Q3位置右边的样本值-Q3位置左边的样本值）×Q3位置的小数部分•本页公式，可以不讲•3）上、下四分点（及中位数）的值•公式表达之二：•Q1=Q1位置左边的样本值+（Q1位置右边的样本值-Q1位置左边的样本值）×{（n+1）×0.25-[（n+1）×0.25]}•Q3=Q3位置左边的样本值+（Q3位置右边的样本值-Q3位置左边的样本值）×{（n+1）×0.75-[（n+1）×0.75]}•式中，[]是取整函数，例如，[5