09代理模型技术

111航空宇航学院代理模型222航空宇航学院代理模型的含义•所谓代理模型（SurrogateModels，orMetamodels）是指计算量小、但其计算结果与高精度模型的计算结果相近的分析模型。•在设计优化过程中，可用代理模型替代原有的高精度分析模型。333航空宇航学院构造代理模型的个步骤•用某种方法产生设计变量的样本点；•用高精度分析模型对这些样本点进行分析，获得一组输入/输出的数据；•用某种拟合方法来拟合这些输入/输出的样本数据，构造出近似模型，并对该近似模型的可信度进行评估。样本点生成样本点生成数值模拟数值模拟生成代理模型生成代理模型444航空宇航学院为什么需要代理模型•克服工程优化中计算量过大的问题；•过滤掉原分析模型有可能产生的数值计算噪声；•有利于实现并行计算，缩短设计优化周期；•有利于将各学科分析软件集成在MDO计算框架中。555航空宇航学院数值计算噪声气动数值计算所产生的躁声666航空宇航学院并行计算（离线）777航空宇航学院MDO集成OptimizationOptimization888航空宇航学院试验设计•试验设计方法是有关如何合理安排试验的数学方法。•它是代理模型的取样策略，决定了构造代理模型所需样本点的个数和这些点的空间分布情况。•常用方法：–全析因试验设计–正交试验设计–中心复合试验设计–均匀试验设计–随机投点设计–拉丁方方法999航空宇航学院全析因试验设计•因素–系统的输入变量被称为因素•水平–因素在样本点处的值被称为水平•全析因设计是指在一次完全试验中，系统的所有因素的所有水平可能的组合都要被研究到的一种试验设计方法。33全析因试验设计101010航空宇航学院全析因试验设计•优点：–能够分析因素对系统影响的大小和分析因素间的交互作用。•缺点：–当系统的因素和水平比较多时，模型样本点个数会将会是一个很大的数字。–假定一个有10个设计变量的系统要进行2水平的全析因试验设计，所需进行的试验次数为210次。–只用于低维低水平的试验设计问题中。111111航空宇航学院正交试验设计•是按照一种已经拟定好的满足正交试验条件的表格（正交表）来安排试验的试验设计方法。•正交表的形式为LA(pq)–L代表正交表；–A表示表中有A个横行，也即总共所需的试验次数；–p表示因素的水平数；–q表示因素的个数。121212航空宇航学院•使用正交表通常都要求各因素的水平数是相同；•当各因素水平数不等的试验，有两种方法可以用来安排正交试验，其中一种是直接套用不等水平正交表，另一种则是采用拟水平法。131313航空宇航学院正交试验设计的特点•是全析因试验的一种部分试验。•系统在任意两个因素之间进行的是一次带有等重复的全面试验。•不会漏掉主要因素的各种可能搭配，可以根据试验结果方便的分析各因素及其交互作用对系统响应影响的大小和规律，这被称为正交试验的整齐可比性。•与全析因试验相比，大大减少了构造模型所需的试验次数。L9(33)正交试验设计141414航空宇航学院均匀试验设计•在均匀试验中，每个因素的水平是在试验范围内均匀分布的，而且每个水平都只作一次试验。•像用正交表来安排正交试验那样，均匀试验设计也有专用的均匀设计表。•均匀设计表：UA(pq)–U表示均匀设计表；–A表示行数，即均匀试验的次数，–p表示因素的水平数;–q表示因素的个数，即该表最多所能安排的因素数。151515航空宇航学院X2和X3213X445X2•特点–采用U表的均匀试验设计的试验次数与表的水平数相等。161616航空宇航学院中心复合试验设计•中心复合试验设计(CentralCompositeExperimentDesign)是一种针对二次多项式响应面模型进行分批试验的一种试验设计方法。•步骤–首先要根据每个因素的两个水平值(分别代表改因素的最大和最小水平)，利用正交表构造一个Ln(2m)的试验方案，进行n次试验。–在第一批试验结束之后，在中心点(0,0,…,0)作n0次重复试验，由于数值计算试验的结果不存在物理试验那样的不确定性，所以对数值试验来说，此步只作一次试验即可，即n0＝1。171717航空宇航学院–第三批试验是在每个因素的坐标轴上，取臂长为α的两个对称点作为试验样本点，m个因素共有2m个点。–这样三次试验总共取了N个样本点：12Nnm=++•特点：针对二次多项式响应面模型进行分批试验的一种试验设计方法；试验次数较少。181818航空宇航学院拉丁超立方实验设计方法•是一种修正的蒙特卡罗方法。•方法：–设有n个设计变量，每个变量p个水平。–每个设计变量分为p个区间，若均匀分布，则p个区间等间隔。整个变量空间分成pn个子区域。–遵循下列两个原则取试验点。•样本点在每个子区域随机选取；•在任一维，即任一变量上的投影有p个区间每个区间有且仅有一个样本点。191919航空宇航学院拉丁超立方抽样特点•试验点较均匀；•样本点是随机的，每次计算结果都不一样；•试验次数等于水平数；•试验次数可以是任何数值；•应用广泛的计算机仿真试验设计，覆盖均匀，适用于影响因素较多的情况，可显著减少试验规模。202020航空宇航学院近似模型•利用近似方法(Approximationapproaches)对离散数据进行拟合的数学模型。•常用方法：–多项式响应面模型–Kriging模型–径向基函数模型–人工神经网络模型212121航空宇航学院多项式响应面模型•多项式响应面是多学科设计优化中最为常用的一种代理模型，其基本数学表达形式：+⋅+⋅+=∑∑∑=≥=jimimijijimiixxxf110)(βββx式中xi是m维自变量x的第i个分量，β0，βi，βij，是未知参数，将它们按照一定次序排列，构成列向量β，求解多项式拟合模型的关键就是求解向量β。当最高次项只考虑到二次项时,其未知系数的个数为：(1)(2)/2Mmm=++222222航空宇航学院多项式响应面模型2min:[()]kkyf−x求得列向量β的方法可用优化方法获取βFind：β样本点处试验值多项式响应面预测值+⋅+⋅+=∑∑∑=≥=jimimijijimiixxxf110)(βββx232323航空宇航学院多项式响应面模型的特点•多项式响应面模型具有良好的连续性和可导性，能较好地去除数字噪声的影响，极易实现寻优。•根据多项式中各分量的系数的大小，可以判断各项参数对整个系统响应影响的大小。•在处理非线性程度比较高的高维问题时，多项式响应面的拟合预测效果不太理想。•在多项式阶数较高时还会出现过拟合现象。242424航空宇航学院判断各项参数对整个系统响应影响的大小+⋅+⋅+=∑∑∑=≥=jimimijijimiixxxf110)(βββx252525航空宇航学院Kriging模型•最早由南非地质学者Krige于1951年在硕士论文中提出，用来确定矿产储量分布。•地质勘探只能在有限的地方采样，不采样的地方，要靠采样的信息来插值。•Kriging模型为：()()()yfz=+xxx其中：y(x)是要求解的函数f(x)是Bm(x)是一组选定的基函数，βj為待定系数。Z(x)称为涨落，是一个随机过程，其均值为0，方差为σ2，协方差为非零。（1）262626航空宇航学院Kriging模型的特点•Kriging(克立格)模型是一种估计方差最小的无偏估计模型，它通过相关函数的作用，具有局部估计的特点。•Kriging模型能充分利用大量均匀分布的样本点拟合非常复杂的形状。•在生成Kriging模型的过程中，需要对每个输出执行一个优化过程，计算时间比较长。•为了能构造比较精确的Kriging模型，样本点的个数一般需要输入参数个数的10倍以上。•在iSIGHT中所拟合出的模型过样本点，改进的模型可不过样本点。•在iSIGHT中输入参数较多时（大于8），模型精度下降，效果不好。272727航空宇航学院Kriging模型与响应面模型比较282828航空宇航学院人工神经网络模型•基本概念–神经网络系统（NeuralNetwork，简称NN）是由大量的、同时也是十分很简单的处理单元（或称神经元）广泛地互相连接而形成的复杂网络系统。–神经元的结构模型：292929航空宇航学院•BP网络(BackPropagationNN)ƒ输入层，中间层(隐含层)和输出层组成ƒ根据Kolmogorov定理，任何一个连续函数都可以由一个三层前向人工神经网络来实现。ƒ输入层神经元的个数由输入矢量X的维数来定，输出层神经元的个数则是根据系统输出Y的维数确定，隐含层神经元的数目经验确定。303030航空宇航学院•连接权系数–当神经网络结构确定后，输入与输出之间的映射关系取决于连接权系数。–连接权系数的确定是通过“训练”来完成的。313131航空宇航学院特点•简单–只要将网络结构确定下来，训练过程则是由网络自动完成的。•映射能力强–任何一个连续函数都可以由一个三层前向人工神经网络来实现。–输入即可以是离散变量，有可以是连续变量。•“黑箱”效应–神经网络虽然实现了从输入到输出的映射关系，可是其中间过程对建模者来说是不可知，无法像其他模型那样去判断各输入因素的影响大小，这种不可知性被称为“黑箱”效应。323232航空宇航学院模型的检验•用一组检验样本点来检验模型的精度，通常根据以下4个准则来判断其精确程度：1）误差平方R22）均方根误差（RootMeanSquareError，缩写为RMSE)3）相对平均绝对误差（RelativeAverageAbsoluteError）4）相对最大绝对误差(RelativeMaximumAbsoluteError)l22121()1()niiiniiyyRyy==−=−−∑∑l1maxniiiyyRMAESTD=⎛⎞−⎜⎟=⎜⎟⎜⎟⎝⎠333333航空宇航学院模型的检验•n为用于检验的数据样本点的数目。•R2值越靠近1，表示代理模型全局近似程度越好；•RMAE越接近0，表示最大的局部误差越小。l22121()1()niiiniiyyRyy==−=−−∑∑l1maxniiiyyRMAESTD=⎛⎞−⎜⎟=⎜⎟⎜⎟⎝⎠代理模型预测值检验样本点集的均值检验用样本点集的标准差检验实验值343434航空宇航学院总结•试验设计–全析因试验设计–正交试验设计–中心复合试验设计–均匀试验设计–随机投点设计–拉丁方方法•近似模型–多项式响应面模型–Kriging模型–径向基函数模型–人工神经网络模型•模型检验–误差平方R2–相对最大绝对误差RMAE353535航空宇航学院总结•有关代理模型的研究是优化设计和MDO领域的最重要研究成果之一，对推动优化方法在实际工程设计中的应用起到了重要作用。•需要进一步研究的问题：–对于如何以较少的样本点构造出高精度代理模型的问题，还需探索更有效的方法。–输入变量个数较多时，如何提高模型的精度。363636航空宇航学院如何提高代理模型精度－渐近全局代理模型初始代理模型一次迭代后的代理模型四次迭代后的代理模型