四年级数学整数与数列知识点分析与例题解析

四年级整数与数列主要内容及解题思路一、等差数列公式：末项=首项+（项数-1）×公差项数=（末项-首项）÷公差+1和=（首项+末项）×项数÷2；如果项数为奇数，则：和=中间项×项数如：1,3,5,7,9；和=5×5=25二、分组思想1、等差数列按固定个数依次分组，每组的和仍然是等差数列。2、非等差数列按照一定的规则分组后，变成若干个等差数列。三、平方差，平方和a2-b2=（a+b）（a-b）12+22+32+...+n2=n(n+1)(2n+1)÷6四、常用计算技巧天下无双，个数平方从1开始的连续奇数等差数列，和等于奇数个数的平方。1+3+5+7+9=52=25（由5个奇数相加）1+3+5=32=9（3个奇数相加）由从小到大，再从大到小的连续自然数相加，和等于中间最大的自然数的平方。如：1+2+3+4+3+2+1=42=16（4是中间最大的数，两边的数从1到3对称连续）例题解析：1、5,8,11,14,...,125，请问这个等差数列有多少项？解题思路：第一步：通过观察可以知道这个数列是一个等差数列，公差为3，首项是5，末项是125；第二步：由项数=（末项-首项）÷公差+1公式可以求得结果。项数=（125-5）÷3+1=412、4,7,10,13,...，请问这个数列的第25项是多少。解题思路：略。4+（25-1）×3=763、计算：1+3+5+...+59+60+59+57+...+5+3+1解题思路第一步：通过观察，这个求和的数列由三部分组成，分别是等差数列A+60+等差数列B1+3+5+...+59+60+59+57+...+5+3+1等差数列A等差数列B第二步：等差数列A和B仅仅是顺序不一样，A为递增的等差数列，B为递减的等差数列，因此这两个数列的和是相同的。第三步：分别求各自的数列和：等差数列A：先求项数，（59-1）÷2+1=30，然后求和，（59+1）×30÷2=900等差数列B=等差数列A=900第四步：求和，等差数列A+60+等差数列B=900+60+900=18604、计算12×11-11×10+10×9-9×8+8×7-7×6+6×5-5×4+4×3-3×2+2×1解题思路：应用等差数列分组思想和提取公因式第一步：观察数列12×11-11×10+10×9-9×8+8×7-7×6+6×5-5×4+4×3-3×2+2×1分组连接符第二步：按照分组和提取公因式计算，可以得到：原式=11×（12-10）+9×（10-8）+7×（8-6）+5×（6-4）+3×（4-2）+2×1----分组=11×2+9×2+7×2+5×2+3×2+1×2----提取公因式2=2×（11+9+7+5+3+1）----直接计算或者应用等差数列公式=2×（（11+1）×6÷2）=725、计算：502-492+482-472+...+22-12解题思路：应用平方差公式第一步：分析a2-b2=（a+b）（a-b）502-492+482-472+...+22-12第二步：原式=（50+49）（50-49）+（48+47）（48-47）+（2+1）（2-1）=（50+49）+（48+47）+...+（2+1）----去括号=50+49+48+47+...+2+1----等差数列=（1+50）×50÷2=12756、计算：12+22+32+42+52+62+72+82解题思路：应用平方和公式，12+22+32+...+n2=n(n+1)(2n+1)÷6n=8，原式=8（8+1）（2×8+1）÷6=8×9×17÷6=2047，计算：62+72+82+...+232+242解题思路：应用平方和公式，12+22+32+...+n2=n(n+1)(2n+1)÷6第一步：题目不符合平方和公式，应采用补的方式，使题目符合平方和公式的要求。原式=12+22+32+42+52+62+72+82+...+232+242-（12+22+32+42+52）----先补后减，分别应用平方和公式=24×（24+1）（24×2+1）÷6-5×（5+1）（5×2+1）÷6=24×25×49÷6-5×6×11÷6=4900-55=4845