清华工程流体力学课件第二章流体静力学

2020/2/231第二章流体静力学•§1–1流体静压强极其特性•§1–2流体平衡微分方程•§1–3重力作用下的流体平衡•§1–4流体静力学基本方程的应用•§1–5平面上的静水总压力•§1–6曲面上的静水总压力•§1–7浮体与潜体的稳定性2020/2/232流体静力学着重研究流体在外力作用下处于平衡状态的规律及其在工程实际中的应用。这里所指的静止包括绝对静止和相对静止两种。以地球作为惯性参考坐标系，当流体相对于惯性坐标系静止时，称流体处于绝对静止状态；当流体相对于非惯性参考坐标系静止时，称流体处于相对静止状态。流体处于静止或相对静止状态，两者都表现不出黏性作用，即切向应力都等于零。所以，流体静力学中所得的结论，无论对实际流体还是理想流体都是适用的。2020/2/233第一节流体静压强及其特性在流体内部或流体与固体壁面所存在的单位面积上的法向作用力称为流体的压强。当流体处于静止状态时，流体的压强称为流体静压强，用符号p表示，单位为Pa。流体静压强有两个基本特性。（1）流体静压强的方向与作用面相垂直，并指向作用面的内法线方向。这一特性可由反证法给予证明：假设在静止流体中，流体静压强方向不与作用面相垂直，而与作用面的切线方向成α角，如图2-1所示。2020/2/234αpnptp切向压强静压强图2-12020/2/235那么静压强p可以分解成两个分力即切向压强pt和法向压强pn。由于切向压强是一个剪切力，由第一章可知，流体具有流动性，受任何微小剪切力作用都将连续变形，也就是说流体要流动，这与我们假设是静止流体相矛盾。流体要保持静止状态，不能有剪切力存在，唯一的作用力便是沿作用面内法线方向的压强。（2）静止流体中任意一点流体压强的大小与作用面的方向无关，即任一点上各方向的流体静压强都相同。为了证明这一特性，我们在静止流体中围绕任意一点A取一微元四面体的流体微团ABCD，设直角坐标原点与A重合。微元四面体正交的三个边长分别为dx，dy和dz，如图2-2所示。因为微元四面体处于静止状态，所以作用在2020/2/236其上的力是平衡的现在来分析作用于微元四面体ABCD上各力的平衡关系。由于静止流体中没有切应力，所以作用在微元四面体四个表面上的表面力只有垂直于各个表面的压强。因为所取微元四面体的各三角形面积都是无限小的，所以可以认为在无限小表面上的压强是均匀分布的。设作用在ACD、ABD、ABC和BCD四个面上的流体静压强分别为px、py、pz和pn，pn与x、y、z轴的夹角分别为α、β、γ，则作用在各面上流体的总压力分别为：zyxpxPdd21zxypyPdd212020/2/237pypxpzpn作用在ACD面上的流体静压强作用在BCD面上的静压强•、作用在ABD和上的静压强图2－2微元四面体受力分析2020/2/238（dAn为BCD的面积）除压强外，还有作用在微元四面体流体微团上的质量力，该质量力分布在流体微团全部体积中。设流体微团的平均密度为ρ，而微元四面体的体积为dV=dxdydz/6，则微元四面体流体微团的质量为dm=ρdxdydz/6。假定作用在流流体上的单位质量力为，它在各坐标轴上的分量分别为fx、fy、fz，则作用在微元四面体上的总质量力为：yxzpzPdd21nAnpnPdffzyxWddd612020/2/239它在三个坐标轴上的分量为：由于流体的微元四面体处于平衡状态，故作用在其上的一切力在任意轴上投影的总和等于零。对于直角坐标系，则、、。在轴方向上力的平衡方程为：把px，pn和Wx的各式代入得：yyzfyxWddd61zzzfyxWddd61xxzfyxWddd610xP0yP0zP0cosxnxWPP0ddd61cosddd21xnnxzfyxApzyp2020/2/2310因为则上式变成或由于等式左侧第三项为无穷小，可以略去，故得：同理可得所以（2-1）zyAndd21cosd0ddd61dd21dd21xnxzfyxzypzyp0d31xfppxnxnxppnyppnzppnzyxpppp2020/2/2311因为n的方向完全可以任意选择，从而证明了在静止流体中任一点上来自各个方向的流体静压强都相等。但是，静止流体中深度不同的点处流体的静压强是不一样的，而流体又是连续介质，所以流体静压强仅是空间点坐标的连续函数，即（2-2）),,(zyxpp2020/2/2312第二节流体平衡微分方程一、流体平衡微分方程式在静止流体中任取一边长为dx，dy和dz的微元平行六面体的流体微团，如图2-3所示。现在来分析作用在这流体微团上外力的平衡条件。由上节所述流体静压强的特性知，作用在微元平行六面体的表面力只有静压强。设微元平行六面体中心点处的静压强为p，则作用在六个平面中心点上的静压强可按泰勒（G.I.Taylor）级数展开，例如：在垂直于X轴的左、右两个平面中心点上的静压强分别为：3332222d612d212dxxpxxpxxpp2020/2/2313zyxxppddd21pzyxxppddd21图2-3微元平行六面体x方向的受力分析2020/2/2314略去二阶以上无穷小量后，分别等于和和由于平行六面体是微元的，所以可以把各微元面上中心点的压强视为平均压强。因此，垂直于x轴的左、右两微元面上的总压力分别为：和和同理，可得到垂直于y轴的下、上两个微元面上的总压力分别为：和3332222d612d212dxxpxxpxxppxxppd21xxppd21zyxxppddd21zyxxppddd21zxyppdddy21zxyyppddd212020/2/2315垂直于轴的后、前两个微元面上的总压力分别为：作用在流体微团上的外力除静压强外，还有质量力。若流体微团的平均密度为ρ，则质量力沿三个坐标轴的分量为处于静止状态下的微元平行六面体的流体微团的平衡条件是：作用在其上的外力在三个坐标轴上的分力之和都等与零。例如，对于x轴，则为yxzppdddz21yxzzppddd21zyxfxdddzyxfydddzyxfzddd0dddddd21ddd21zyxfzyxxppzyxxppx2020/2/2316整理上式，并把各项都除以微元平行六面体的质量ρdxdydz则得同理得（2-3）写成矢量形式这就是流体平衡微分方程式，是在1755年由欧拉（Euler）首先推导出来的，所以又称欧拉平衡微分方程式。此方程的物理意义是：在静止流体中，某点单位质量流体的质量力与静压强的合力相平衡。在推导这个方程中，除了假设是静止流体以外，其他参数(质量力和密度)01xpfx01ypfy01zpfz01pf2020/2/2317均未作任何限制，所以该方程组的适用范围是：静止或相对静止状态的可压缩和不可压缩流体。它是流体静力学最基本的方程组，流体静力学的其他计算公式都是从此方程组推导出来的。在推导流体静力学的计算公式时，一般不从上述方程出发，而是从下述的压强差公式来进行推导的。把式（2-3）两边分别乘以dx，dy，dz，然后相加，得流体静压强是空间坐标的连续函数，即，它的全微分为所以（2-4）zzpyypxxpzfyfxfzyxddd)ddd(),,(zyxppzzpyypxxppdddd)ddd(dzfyfxfpzyx2020/2/2318此式称为压强差公式。它表明：在静止流体中，空间点的坐标增量为dx、dy、dz时，相应的流体静压强增加dp，压强的增量取决于质量力。二、流体平衡条件对于不可压缩均质流体，密度ρ＝常数，可将式（2-4）写成上式的左边是全微分，它的右边也必须是全微分。由数学分析知：该式右边成为某一个函数全微分的充分必要条件是（2-5）由理论力学可知，式（2-5）是fx、fy、fz具有力的zfyfxfpzyxddddyfzfzyzfxfxzxfyfyx2020/2/2319势函数－的充分必要条件。力的势函数对各坐标轴的偏导数等于单位质量力在对应坐标轴上的分量，即：，，（2-6）写成矢量形式：由式（2-4）得（2-6a）有势函数存在的力称为有势的力，由此得到一个重要的结论：只有在有势的质量力作用下，不可压缩均质流体才能处于平衡状态，这就是流体平衡的条件。三、等压面在流体中，压强相等的各点所组成的面称为等压面。),,(zyxxfxyfyzfzgradfddddddddzzyyxxzfyfxfpzyx2020/2/2320等压面可以用p(x,y,z)＝常数来表示。对不同的等压面，其常数值是不同的，而且流体中任意一点只能有一个等压面通过。在等压面上，dp=0，由式（2-6a）可得dπ=0，即=常数，也就是说，在不可压缩静止流体中，等压面也是有势质量力的等势面。液体与气体的分界面，即液体的自由液面就是等压面，其上各点的压强等于在分界面上各点气体的压强。互不掺混的两种液体的分界面也是等压面。等压面有一个重要性质，就是等压面与质量力互相垂直。因为在等压面上各处的压强都一样，即dp=0，由式(2-4)可得等压面微分方程：=0（2-7）zfyfxfzyxddd2020/2/2321式(2-7)左端又表示作用在等压面上A点的单位质量力与通过A点的等压面上的微元线段(其分量为dx、dy、dz)两个矢量的数量积，如图2-4所示，两个矢量的数量积等于零，必须f和ds互相垂直，其夹角φ等于900。也就是说，通过静止流体中的任一点的等压面都垂直于该点处的质量力。例如，当质量力只有重力时，等压面处处与重力方向正交，是一个与地球同心的近似球面。但是，通常我们所研究的仅是这个球面上非常小的一部分，所以可以看成是水平面。f0ddddzfyfxfsfzyxsd2020/2/2322图2-4两个矢量的数量积f2020/2/2323第三节重力作用下的流体平衡在自然界和实际工程中，经常遇到并要研究的流体是不可压缩的重力液体，也就是作用在液体上的质量力只有重力的液体。一、重力作用下的静力学基本方程式在一盛有静止液体的容器上取直角坐标系（只画出OYZ平面，Z轴垂直向上），如图2-5所示。这时，作用在液体上的质量力只有重力G=mg，其单位质量力在各坐标轴上的分力为fx=0，fy=0，fz=0代入式（2-4），得zgpdd2020/2/2324写成（2-8）对于均质不可压缩流体，密度ρ为常数。积分上式，得（2-9）式中c为积分常数，由边界条件确定。这就是重力作用下的液体平衡方程，通常称为流体静力学基本方程。该方程的适用范围是:重力作用下的平衡状态均质不可压缩流体。若在静止液体中任取两点l和2，点1和点2压强各为p1和p2，位置坐标各为z1和z2，则可把式(2-9)写成另一表达式，即：（2-10）0ddgpzcgpzgpzgpz22112020/2/2325P0P1P2Z1Z2图2-5推导静力学基本方程式用图2020/2/2326为了进一步理解流体静力学基本方程式，现在来讨论流体静力学基本方程的物理意义和几何意义1.物理意义从物理学可知，把质量为m的物体从基准面提升z高度后，该物体就具有位能mgz，则单位重量物体所具有的位能为z(mgz/mg=z)。所以式(2-9)中z的物理意义表示为单位重量流体对某一基准面的位势能。式(2-9)中的p/ρg表示单位重量流体的压强势能，这可说明如下：如图2-6所示