数列难题训练

数列难题训练1、在数列中，（I）设，求数列的通项公式（II）求数列的前项和2、（满分12分）已知各项均为正数的数列满足,且,其中．（I）求数列的通项公式;（II）设数列的前项和为,令,其中,试比较与的大小,并证明．3、（本小题满分14分）在数列中，，.（I）求证：数列是等比数列；（II）设数列的前项和为，求的最小值.4、已知数列（1）证明数列为等差数列，并求的通项公式；2）设，求数列的前项和。5、（本题满分14分）对于函数，若存在成立，则称的不动点.如果函数有且只有两个不动点0，2，且（1）求函数的解析式；（2）已知各项不为零的数列，求数列通项；（3）如果数列满足，求证：当时，恒有成立.6、（本小题满分14分）设函数，方程有唯一解，其中实数为常数，，（1）求的表达式；（2）求的值；（3）若且，求证：7、已知函数的图象经过坐标原点，且的前（I）求数列的通项公式；（II）若数列（III）若正数数列中的最大值8、已知（m为常数，m0且），设是首项为4，公差为2的等差数列.（Ⅰ）求证：数列{an}是等比数列；（Ⅱ）若bn=an・，且数列{bn}的前n项和Sn，当时，求Sn；（Ⅲ）若cn=，问是否存在m，使得{cn}中每一项恒小于它后面的项？若存在，求出m的范围；若不存在，说明理由.9、已知各项均为正数的数列，满足：=3，且，．（1）求数列的通项公式；（2）设，，求，并确定最小正整数，使为整数．10、已知Sn是数列的前n项和，且（Ⅰ）求数列的通项公式；（Ⅱ）设，是否存在最大的正整数k，使得对于任意的正整数n，有恒成立？若存在，求出k的值；若不存在，说明理由.12、（理）已知函数的定义域为R，当时，，且对任意的实数，，等式恒成立.若数列{}满足，且=，则的值为（）A.4018B.4019C.4020D.402113、函数是定义在R上恒不为0的函数，对任意都有，若，则数列的前n项和Sn的取值范围是（）A．B．C．D．1、分析：（I）由已知有利用累差迭加即可求出数列的通项公式:()（II）由（I）知,=2、解：（Ⅰ).（II）则又.法一：数学归纳法猜想①当时，,上面不等式显然成立；②假设当时，不等式成立当时，.综上①②对任意的均有…法二：二项式定理：因为,所以.即对任意的均有.又,所以对任意的均有.3、解：（I），，是以-15为首项，为公比的等比数列.（II），，当时，∴数列是单调递增数列，，当且仅当时，的最小值是.4、（Ⅰ）因为，所以两式相减，得，即又即所以是首项为3，公比为3的等比数列。从而的通项公式是（II）由（I）知的前n项和为Tn。则两式相减得，5解：设得：由违达定理得：解得代入表达式，由得不止有两个不动点，………………………………………5分（2）由题设得（A）且（B）由（A）（B）得：解得（舍去）或；由，若这与矛盾，，即{是以1为首项，1为公差的等差数列，（3）证法（一）：运用反证法，假设则由（1）知∴，而当这与假设矛盾，故假设不成立，∴.………………………………………14分证法（二）：由得0或结论成立；若，此时从而即数列{}在时单调递减，由，可知上成立.………………………………………………………………………………………14分6、（本小题满分14分）解：（1）由，可化简为-------2分当且仅当时，方程有唯一解．---3分从而-------4分（2）由已知，得-------5分，即数列是以为首项，为公差的等差数列．-------6分，，，即-------7分7、解：（I）由所以，数列（II）由得：…………（1（2）－（1）得：（III）由令是递减数列又所以，数列8、解：（Ⅰ）由题意即∴∴∵m0且，∴m2为非零常数，∴数列{an}是以m4为首项，m2为公比的等比数列（Ⅱ）由题意，当∴①①式两端同乘以2，得②②－①并整理，得=（Ⅲ）由题意要使对一切成立，即对一切成立，①当m1时，成立；②当0m1时，∴对一切成立，只需，解得，考虑到0m1，∴0m综上，当0m或m1时，数列{cn}中每一项恒小于它后面的项.9、解：（1）条件可化为，因此｛｝为一个等比数列，其公比为2，首项为，所以…………1因an0，由1…………2（2）由1＝＝为使Sn＋Tn＝为整数，当且仅当为整数.当n＝1,2时，显然Sn＋Tn不为整数，当n3时，＝只需为整数，因为3n－1与3互质，所以为9的整数倍.当n＝9时，＝13为整数，故n的最小值为9.10、解：（Ⅰ）由已知……①得……②②－①，得∴∴∴所以数列是一个以2为首项，2为公比的等比数列∴（Ⅱ）∴∴∵n是正整数，∴∴数列{Tn}是一个单调递增数列，又∴，要使恒成立，则又k是正整数，故存在最大正整数k=5使恒成立11、A12、D13、C