不动点解决递推型数列不等式问题-(1)

本节课知识背景一、知识方法1.不动点的定义：一般地，设函数()gx的定义域为D，若存在实数0xD，使00()gxx成立，则称0x为函数()gx的不动点。对定义的理解：代数角度：0x为方程()gxx有实数根；几何角度：0x为函数ygx与yx图像交点的横坐标。2.简单迭代数列任取初始值1a，并且*1()()nnaganN，则得到数列{}na.二次递推：2gxaxbxc一次分式递推：axbgxcxd根式递推：2gxaxbxcd3．“五步法”求解递推型问题模型.已知数列na满足1aa，*1()()nnaganN.Step1:找出迭代函数：()gx；Step2:求出迭代函数的不动点：由()gxx，得0xx；Step3:“中心化”再作商得到“变比”()nqa，研究数列在不动点附近的性质：求出100()nnnaxqaax，分析()nqa.Step4:计算“变比”()nqa在不动点处的函数值，判定数列类型：①若0()1qx，则数列为“裂项相消”型.②若0()1(1)qx，则数列为“等比”型，可放缩成等比数列；Step5:若第4步判定的类型为“裂项相消型”，则对“中心化”式子取倒数、裂项、累加：①“中心化”取倒数，得到100()1nnnqaaxax；②裂项成可累加相消结构：10011()nnnPaaxax，这里的{()}nPa即为“伴随”数列；③累加：得到1101011()nkknPaaxax.Step5:若第4步判定的类型为“等比型”，则放缩成等比数列：①分析“变比”()nqa：100()nnnaxqaax；②根据na的范围，再结合具体问题进行放缩.二、典例分析(根式递推)已知正项数列na满足：123nnaa，14a。(1)求证：na单调递减；(2)记数列na的前n项和为nS，证明：332nnSn。解析：Step1:找出迭代函数：令()23gxx，则本题可表述为114nnaagaStep2:求出迭代函数的不动点：由()23gxxx，得不动点3x；Step3:“中心化”再作商得到“变比”()nqa，研究数列在不动点附近的性质：①“中心化”：1233233233nnnnaaaa②作商：13203233nnnaaa，故13na与3na同号，以及1310a,故3na，从而1321033233nnnaaa,即得133nnaa，即证(1)Step4:计算“变比”()nqa在不动点处的函数值，判定数列类型：因为1(3)3q，所以递推数列为“等比”型数列。Step5:若第4步判定的类型为“等比型”，则可以放缩成等比数列：由131033nnaa，得11033nna，即得313313223nnnSnn“不动点法”解决递推型数列不等式问题例题（2017温二模22）设数列na满足2*11nnnaaanN，nS为na的前n项和.证明：对任意的*nN,（1）当101a时，01na；（2）当11a时，1111nnaaa；（3）当112a时，2nnnSn.解析：（1）数学归纳法（略）（2）迭代函数21gxxx，由gxx得不动点1x；1111nnnaaaa（2110nnnaaa11naa）11111111nnnaaaaa111111111nnnaaaaa(3)2nnnSn10112naan111nnnaaa11q，故为倒数裂项累加型1111111111nnnnnnaaaaaa累加得11211111111nnaaaaa得11211111111nnaaaaa211nn得111nan，111111231naan故只要证1112231nn法一：数学归纳法（略）法二：1111121nnnnnn1111012231nnnnn应用1:（2015浙江高考理科20）已知数列na满足112a且2*1nnnaaanN.（1）证明：*112nnanNa；（2）若数列2na的前n项和为nS，证明：*112221nSnNnnn解析：Step1:找出迭代函数：令2()gxxx,则本题可表述为1*112()nnaaganN(*)Step2:求出迭代函数的不动点：由2()gxxxx，得0x；Step3:“中心化”再作商得到“变比”()nqa，研究数列在不动点附近的性质：根据迭代函数或利用作差法，易得*102nanN，又因为11011()[,1)02nnnnnnaaaqaaa，所以即证(1):*112nnanNa.Step4:计算“变比”()nqa在不动点处的函数值，判定数列类型：因为(0)1q，所以递推数列为“裂项相消”型.Step5:若第4步判定的类型为“裂项相消型”，则对“中心化”式子取倒数、裂项、累加：由2100(0)(1)nnnnnaaaaa,得111110(0)101nnnnnaaaaa，故1111100nnnaaa，从而111111()100nnkkkkkaaa，又*102nanN，得到1121na，即得11111121nknknnaaa，即证111222nann,通过分析可知，(2)只要证明111222nann，从而原命题得证.应用2:（2017温二模10改编）已知定义在实数集R上的函数fx满足2112fxfxfx，则12ff的最大值为（）A．212B．212C．12D．32课后探究问题1（2016浙江高考样卷20）已知数列na满足11a，*11()21nnanNa．（1）证明：数列12na为单调递减数列；（2）记nS为数列1nnaa的前n项和，证明：*5()3nSnN．问题2:设数列na满足11a，21231,nnnaaa求证：1321346nnaaa.