精算模型第七章

第七章参数模型模型的估计和拟合检验例考虑一个医疗保险，保险单规定免赔额为50元，随机抽取了十个理赔观察值如下:1411646403512593171511107567假设明年的通货膨胀率为10%，免赔额不变。试用经验法分布和模型法(假设损失额服从指数分布)对明年的理赔额期望进行估计。解：（1）经验方法。若明年的通货膨胀率为10%，则理赔额为141的观察值为141501.150160.1类似的，上述9个数据变为22.655.649.0391.1289.9358.71667.1122.7628.7可以计算样本均值为05.374101101iizZ，因此每年的平均理赔额为374.05元。请问：上述方法有什么缺陷？在本例中，使用的是理赔额数据。假设明年的通货膨胀率为10%，由于免赔额不变，今年没有获赔的损失事件在明年可能获赔。例如，今年损失额在45.45—50元的损失事件，明年通货膨胀后的损失额为50－55元。由于免赔额为50元，这些事件将得到0－5元的理赔额。但是这些数据在保险公司记录中是没有显示的，因为对于今年损失额低于50元的损失事件，保险公司不承担赔偿责任。解：设X表示实际损失额，服从参数为的指数分布，Y表示今年的理赔额，50|50YXX，则Y的期望5050501501()(50|50)(-50)(|50)()(-50)1(50)exp()(-50)exp(50)(50)exp[(50)]exp[(50)]|EYEXXxfxXdxfxxdxFxxdxxxx我们使用矩估计来估计的估计值。由矩估计法，1335.5Y。若明年的通货膨胀率为10％，则明年理赔额为1.150|1.150XX，平均理赔额为1500/11(335.5)exp(/335.5)(1.150|1.150)(1.150)exp[(500/11)/335.5]369.05xEXXxdx估计方法：1、矩估计法2、极大似然估计法3、分位数估计法一、矩估计法基本思想：设未知参数为1(,,)nθ，解方程ˆ(),1,,kkknθ，或ˆ'()'kkθ，1,2,...,kn得到1(,,)nθ的估计值。下面分三种情况来讨论：1、个体完整数据的矩估计略，具体步骤参看概率统计教材。2、分组数据的样本矩，11111111()ˆ'()()(1)jjkkrrcjjjjkkcjjjjjjnnccxdxnccncck例：已知：（i）抽取10个样本x1，x2，…，x10，这10个样本独立同分布，概率密度函数为111exp()exp(),02xxx（ii）（iii）150ix，25000ix使用矩估计法估计。A9B10C15D20E21答案：D样本一阶矩为15，二阶矩为500，总体的一阶矩和二阶矩分别为222()0.5(),()EXEX。这个可以通过积分或者两个指数分布密度函数的混合得到。通过解方程2230500由于条件（ii），可以求得20例：已知：(i)赔款金额服从平移指数分布，其概率密度函数为：()/1(),xfxex(ii)一赔款金额的随机样本X1,X2,...,X10:55568911121623(iii)ΣXi=100and2iX=1306使用矩估计方法估计δ。(A)3.0(B)3.5(C)4.0(D)4.5(E)5.0答案:D()//()xyxyEXedxedy2222()//222()22xyxyyEXedxedy最终解方程组221022130.6求得4.468。如果注意到XY，Y为一般的指数分布，那么通过X的均值和方差进行估计更为快速。()()EXEY，2()()VarXVarY二、分位数估计法（1）设随机变量X的分布函数为(,)Fx，称()p为(,)Fx的100％p分位数，如果()p满足(()|)pFp(2)分位数的估计：令1ˆ(,),(,,),1,,ijpnpFjn，其中ˆjp为样本的jp分位点。求解这n个方程就得到参数估计值1(,,)n。例：设下表中的理赔记录用weibull分布来拟合，用25％和75％分位数来估计参数的值。0.10.52.24.128.10.20.72.65.930.00.20.92.96.249.20.31.33.212.163.80.41.83.313.65118.0解：weibull的分布函数为/()1xXFxe分别令/0.751xe及/0.251xe解得1112(log4),(log(4/3))xx由于0.25×26＝6.5，因此，0.25的分位点为0.5×0.5+0.5×0.7＝0.65类似计算，0.75×26＝19.5，0.75的分位点为0.5×12.1+0.5×13.65＝12.875由分位数估计法1112.875(log4),0.65(log(4/3))解得0.526，＝2.770。从而确定了损失分布。例：已知：(i)损失服从loglogistic分布，其累积分布函数：(/)()1(/)xFxx(ii)损失样本如下：10358086901201581802002101500要求使用40th和80th分位点，用经验平滑的方法对分位数估计，求分位数估计法估计的θ。解：先求出40th和80th的分位点，由0.4×12＝4.8计算得到40th的分位点为0.2860.89089.2由0.8×12＝9.6计算得到，80th的分位点为0.42000.6210206于是我们得到方程组(89.2/)0.4,1(89.2/)(206/)0.81(206/)由第一个方程得到2(89.2/),4(206/)3，将两式相比得到6(206/89.2)于是解得ln(6)/ln(206/89.2)2.1407，由1/2.14074206/解得107.8。课堂练习：求上述数据的60％分位数。例:由10只实验老鼠组成的样本，其死亡时间（以天为单位）为3、4、5、7、7、8、10、10、10、12。假设适合的生存模型服从Gompertz分布，利用25％和65％分位点，估计参数B和c。解：由10n，0.25112.75，0.65117.15，有0.25(2)(3)0.250.754.75XX.0.65(7)(8)0.850.1510XX，Gompertz分布的分布函数为0(1)()ln()1xxBchydycFxee，0,0,1xBc因此，0.25ln(0.75)lnln[1]lncBc，0.65ln(0.35)lnln[1]lncBc令0.250.654.75,10，则由所给等式解得ˆˆ0.039,1.1896Bc。（3）分组数据的样本分位点：对于01p，分组数据的样本100p％的分位点ˆp定义为ˆˆ()nppF即1111()()ˆ()()()()njnjpjjnjnjnjnjpFcFcpccFcFcFcFc或者1111ˆ()jjjpjiijcccnpnn－＝，其中1jc和jc满足1()()njnjFcpFc。例某责任险保单规定了保单限额为300,000元，表2.2.5中的第一至三列给出了该险种217份保单的理赔额情况。假设理赔额服从对数正态分布。请用30％和70％分位数法估计参数。表2.2.5理赔额保单数平均理赔额0－2,500411,3892,500－7,500484,6617,500－12,500249,99112,500－17,5001815,48217,500－22,5001520,23222,500－32,5001426,61632,500－47,5001640,27847,500－67,5001256,41467,500－87,500674,98587,500－125,00011106,851125,000－225,0005184,735225,000－300,0004264,025300,0003300,000解经验分布30％和70％的分位点分别为2,500+(65.1－41)5,000/48=5,01022,500+(151.9－146)10,000/14=26,714令5,010和26,714为对数正态分布的分位点，即0.3[(log5,010)/]0.7[(log26,714)/]解方程组得ˆ1.595871，ˆ9.356065。三、极大似然估计法极大函数1()(|)njjjLPXAθθ1、个体完整数据：1()(|)jnXjjLfxθθ，1()ln(|)jnXjjlfxθθ2、分组完整数据：11()[(|)(|)]jrnjjjLFcFcθθθ，11()ln[(|)(|)]rjjjjlnFcFcθθθ例：假设某险种的理赔数据如表理赔额范围理赔数0~7,500997,500~17,5004217,500~32,5002932,500~67,5002867,500~125,00017125,000~300,0009Over300,0003若假设理赔额服从指数分布，则对数似然函数为7,500/7,500/17,500/300,000/()99ln[(7,500)(0)]42ln[(17,500)(7,500)]3ln[1(300,000)]99ln[1]42ln[]3lnlFFFFFeeee使用数值算法得到极大似然估计为ˆ29,721，似然函数值为－406.03。例考察一个在0t处有20个个体的样本，所有的个体均在5周内死亡，并只记录每周的死亡人数，所观察的结果如下：2人在第1周死亡；3人在第2周死亡；8人在第3周死亡，6人在第4周死亡，1人在第5周死亡。假设适合模型为指数模型，求参数的极大似然估计。解:画图来帮助理解对于参数为的指数模型，/()xSxe.那么在第i周死亡的概率为(1)///1/(1)()(1)iiiSiSieeee所以似然函数，5/1/1()[(1)]iniiLee551/111()ln(1)iiiilinen，0123452023861样本（人）时间（周）令51/51221/1ln1101iiiiendLinde，由此得51/15511iiiiiiineinn。由123452,3,8,6,1nnnnn，于是有551120,61iiiinin，因此ˆ2.5170。3、非完整数据（1）只存在右删失censored数据设12,,...,nxxx是随机变量X的n个观测，将它们从小到大排列(1)(2)()nxxx。假设样本数据在xu处存在右删失，且存在1kn使得()(1)kkxux，则样本数据将变为(1)(2)(),,,,,kxxxuu。似然函数可以写为()1()[(;)](;)knkiiLfxSu例：已知：(i)损失服从单参数帕累托分布，概率密度函数：(1)(),1,0fxxx(ii)一个样本量为5的随机样本分别是3，6，14和两次超过25的损失。求α的极大似然估计值。(A)0.25(B)0.3