定义新运算

【知识梳理】定义新运算这类题目是在考验我们的适应能力，我们大家都习惯四则运算，定义新运算就打破了运算规则，要求我们要严格按照题目的规定做题．新定义的运算符号，常见的如△、◎、※等等，这些特殊的运算符号，表示特定的意义，是人为设定的．解答这类题目的关键是理解新定义，严格按照新定义的式子代入数值，把定义的新运算转化成我们所熟悉的四则运算。一、定义新运算基本概念：定义一种新的运算符号，这个新的运算符号包含有多种基本（混合）运算。基本思路：严格按照新定义的运算规则，把已知的数代入，转化为加减乘除的运算，然后按照基本运算过程、规律进行运算。关键问题：正确理解定义的运算符号的意义。注意事项：①新的运算不一定符合运算规律，特别注意运算顺序。②每个新定义的运算符号只能在本题中使用。我们学过的常用运算有：＋、－、×、÷等.如：2＋3＝52×3＝6都是2和3，为什么运算结果不同呢？主要是运算方式不同，实际是对应法则不同.可见一种运算实际就是两个数与一个数的一种对应方法，对应法则不同就是不同的运算.当然，这个对应法则应该是对任意两个数，通过这个法则都有一个唯一确定的数与它们对应.只要符合这个要求，不同的法则就是不同的运算.在这一讲中，我们定义了一些新的运算形式，它们与我们常用的“＋”，“－”，“×”，“÷”运算不相同.二、定义新运算分类1.直接运算型2.反解未知数型3.观察规律型4.其他类型综合【分类型例题分析】一、直接运算型例1若表示，求的值例2定义新运算为a△b＝（a＋1）÷b，求的值。6△（3△4）例3已知a，b是任意自然数，我们规定：a⊕b=a+b-1，，那么例4规定运算“☆”为：若ab，则a☆b=a＋b；若a=b，则a☆b=a－b＋1；若ab，则a☆b=a×b。那么，（2☆3）＋（4☆4）＋（7☆5）=。例5对于非零自然数a和b，规定符号的含义是：ab＝（m是一个确定的整数）。如果14＝23，那么34等于________。例6规定：符号“&”为选择两数中较大数的运算，“◎”为选择两数中较小数的运算。计算下式：[（7◎3）&5]×[5◎（3&7）]二、反解未知数型例1如果a△b表示,例如3△4,那么,当a△5=30时,a=.例2如果a⊙b表示，例如4⊙5=3×4-2×5=2，那么，当x⊙5比5⊙x大5时，x=？例3对于数a、b、c、d，规定，a、b、c、d＝2ab－c＋d，已知1、3、5、x＝7，求x的值。例4定义新运算为，⑴求的值；⑵若则x的值为多少？三、观察规律型例1规定:6※2=6+66=722※3=2+22+222=246,1※4=1+11+111+1111=1234.7※5=例2有一个数学运算符号，使下列算式成立：，，，，求四、综合型题目例1如果a、b、c是3个整数，则它们满足加法交换律和结合律，即⑴a+b=b+a；⑵(a+b)+c=a+(b+c)。现在规定一种运算*，它对于整数a、b、c、d满足：(a,b)*(c,d)=(a×c＋b×d,a×c－b×d).如：请你举例说明，*运算是否满足交换律、结合律。例2对于任意有理数x,y，定义一种运算“※”，规定:x※y=，其中的表示已知数，等式右边是通常的加、减、乘运算。又知道1※2=3，2※3=4，x※m=x(m≠0)，则m的数值是_________。【强化练习】1.设△，那么，5△______，(5△2)△_____.2.“△”是一种新运算，规定：a△b＝a×c＋b×d(其中c，d为常数)，如5△7＝5×c＋7×d。如果1△2＝5，2△3＝8，那么6△1OOO的计算结果是________。3.如果规定a※b=13×a-b÷8，那么17※24的最后结果是______。4.羊和狼在一起时，狼要吃掉羊.所以关于羊及狼，我们规定一种运算，用符号△表示：羊△羊=羊；羊△狼=狼；狼△羊=狼；狼△狼=狼，以上运算的意思是：羊与羊在一起还是羊，狼与狼在一起还是狼，但是狼与羊在一起便只剩下狼了。小朋友总是希望羊能战胜狼.所以我们规定另一种运算，用符号☆表示：羊☆羊=羊；羊☆狼=羊；狼☆羊=羊；狼☆狼=狼，这个运算的意思是：羊与羊在一起还是羊，狼与狼在一起还是狼，但由于羊能战胜狼，当狼与羊在一起时，它便被羊赶走而只剩下羊了。对羊或狼，可以用上面规定的运算作混合运算，混合运算的法规是从左到右，括号内先算.运算的结果或是羊，或是狼．求下式的结果：羊△(狼☆羊)☆羊△(狼△狼)5.一般我们都认为手枪指向谁，谁好像是有危险的，下面的规则同学们能看懂吗规定：警察小偷警察，警察小偷小偷．那么：（猎人小兔）（山羊白菜）．6.规定新运算※：a※b=3a-2b，若x※(4※1)=7，则x=.7.设ba,表示两个不同的数,规定baba34.求2)34(.8.定义运算“”为x)(2yxxyy.求12(34).9.设ba,表示两个不同的数,规定baba23,如果已知42b.求b.10.定义新的运算a⊖babab.求(1⊖2)⊖3.11.有一个数学运算符号“⊗”,使下列算式成立:2⊗4=10,5⊗3=18,3⊗5=14,9⊗7=34.求7⊗3=?12.定义新运算为baba1.求)43(2的值.13.对于数yx,规定运算“○”为x○)3()4(bay.求7○(8○9)的值.14.设ab表示a的3倍减去b的2倍,即ab=ba23,已知x(41)=7.求x.15.定义两种运算“”、“”,对于任意两个整数ba,,1baba,1baba.计算)]53()86[(4的值.16.对于数ba,规定运算“”为)1()1(baba,若等式)1()(aaa)()1(aaa成立,求a的值.17.yx,表示两个数,规定新运算“※”及“○”如下:x※yxy45,x○xyy6.求(3※4)○5的值.18.设ba,分别表示两个数,如果ab表示3ba,照这样的规则,3[6(85)]的结果是什么?