第5章--优选法

第5章优选法在生产过程中，为了取得满意的效果，需要对工艺参数及相关因素，进行最佳点选择，对最佳点的选择，有直接用数学的方法，而大量使用的都是试验方法。试验方法很多，对某一具体问题来讲，用什么方法才能迅速找到最佳点？这就是，优选法要解决的问题。1.间接最优化2.直接最优化优选法：根据生产和科研中的不同问题，利用数学原理，合理地安排试验点，减少试验次数，以求迅速地找到最佳点的一类科学方法。适用于：试验指标与因素间不能用数学形式表达表达式很复杂优选法的应用在我国从70年代初开始，首先由我们数学家华罗庚等推广并大量应用优选法也叫最优化方法探究（一）：优选法思考1：有一种商品价格竞猜游戏，参与者在只知道售价范围的前提下，对一件商品的价格进行竞猜.当竞猜者给出的估价不正确时，主持人以“高了”或“低了”作为提示语，再让竞猜者继续估价，在规定时间或次数内猜对了即可获得相应奖品.如果你参与这项活动，每次会怎么给出估价？下图中的两个函数称为区间[a，b]上的单峰函数，那么单峰函数的定义特征是xyOabCf(x)xyOabCg(x)函数f(x)在区间[a，b]上只有唯一的最大(小)值点C，且在点C的两侧单调，并具有相反的单调性.x1x2bx35.1单因素优选法基本命题试验指标f(x)是定义区间(a，b)的单峰函数用尽量少的试验次数，来确定f(x)的最大值的近似位置5.1.1来回调试方法x1x2ab若f(x1)f(x2)若f(x2)f(x3)x3x1x2x4……x35.1.2黄金分割法（0.618法）黄金分割：510.61803398872优选步骤：x20.6180.382x1ab0.6180.382x2x1b……例：炼某种合金钢，需添加某种化学元素以增加强度，加入范围是1000－2000克，求最佳加入量1000110019002000小大第一步先在试验范围长度的0.618处做第（1）个试验x1=a+(b-a)×0.618=1000+(2000-1000)×0.618=1618克第二步第（2）个试验点计算x2=大＋小－第一点=2000+1000-1618=1382克第三步比较（1）与（2）两点上所做试验的效果，现在假设第（1）点比较好，就去掉第（2）点，即去掉[1000,1382]那一段范围。留下[1382,2000]x3=大＋小－第一点=1382+2000-1618=1764克小1618中点1764大1382(1)(3)2000思考2：用0.618法确定试点时，n次试验后的精度δn为多少？δn＝0.618n－1思考3：用0.618法寻找最佳点时，若给定精度δ，为了达到这个精度，至少要做多少次试验？lg1lg0.618n思考1已知某因素范围是[100，1100]，用黄金分割法寻找最佳点，已知前6次试验后的好点包含在区间[700，750]内，求第6次试验后的存优范围.[684，774]2调酒师为了调制一种鸡尾酒，每100kg烈性酒中需要加入柠檬汁的量在1kg到2kg之间，用0.618法寻找它的最佳加入量，要求加入柠檬汁的误差不超出1g，问需要做多少次试验？需要做19次试验3在用0.618法寻找最佳点的过程中，若某次试验后的存优范围是[2，b]且2.382是这个存优范围内的一个好点，求b的值.b＝2.618或b＝3.分数法的概念思考1：在配置某种清洗液时，需要加入某种材料.经验表明，加入量大于130ml肯定不好.用150ml的锥形量杯计量加入量，该量杯的量程分为15格，每格代表10ml，能否用0.618法找出这种材料的最优加入量？为什么？不方便，因为用0.618法算出的试点不是10ml的整数倍，锥形量杯难以精确计量.5.1.3分数法菲波那契数列：F0＝1，F1＝1，Fn＝Fn-1＋Fn-2(n≥2)1，1，2，3，5，8，13，21，34，55，89，144，…分数：nn+1FF3581321345589144,,,,,,,,581321345589144233x42/5x3分数法优选方法：适用于：试验值只能取整数的情况试验次数有限时x1x25/83/8x1x23/5x1x32/31/3分数法试验次数：在优选法中，用渐近分数近似代替0.618确定试点的方法叫做分数法，那么在什么情况下使用分数法？因素范围由一些离散的、间隔不等的点组成，试点只能取某些特定值.01例：设某试验的因素范围是[0，1]，如果只能做2次试验，则应取哪个渐近分数代替0.618？两个试点分别选在何处？精度为多少？23第1试点选在处，第2试点选在处，精度为.231313如果只能做3次试验，则应取哪个渐近分数代替0.618？精度为多少？一般地，如果只能做k次试验，则应取哪个渐近分数代替0.618？精度为多少？01渐近分数取，精度为；3515渐近分数取，精度为.1kkFF11kF思考1：在商品价格竞猜游戏中，竞猜者以怎样的方式估价，可以尽快猜对商品的价格？每次取存优范围的中点值作为估价.思考2：有一条10km长的输电线路出现了故障，在线路的一端A处有电，在另一端B处没有电，你有什么办法通过试点迅速查出故障所在位置？每次取存优范围的中点作为试点.B(无电)甲（有电）乙（无电）A(有电)5.1.4对分法特点：每次只做1次试验每次试验区间可以缩小一半适用条件：要有一个标准（或具体指标）要预知该因素对指标的影响规律优选方法：5.1.5抛物线法在三个试验点x1，x2，x3，且x1＜x2＜x3，分别得试验值y1，y2，y3，根据Lagrange插值法可以得到一个二次函数：233112123121323213132()()()()()()()()()()()()xxxxxxxxxxxxyyyyxxxxxxxxxxxx设二次函数在x4取得最大值：2222221232313124123231312()()()12()()()yxxyxxyxxxyxxyxxyxx在x＝x4处做试验，得试验结果y4假定y1，y2，y3，y4中的最大值是由xi’给出除xi’之外，在x1，x2，x3和x4中取较靠近xi’的左右两点，将这三点记为x1’，x2’，x3’此处x1’＜x2’＜x3,，若在处的函数值分别为y1’，y2’，y3’,……5.1.6分批试验法（1）均分法每批做2n个试验先把试验范围等分为（2n+1）段，在2n个分点上作第一批试验比较结果，留下较好的点，及其左右一段然后把这两段都等分为（n+1）段分点处做第二批试验**（2）比例分割法每一批做2n＋1个试验把试验范围划分为2n+2段，相邻两段长度为a和b(a＞b)在（2n＋1）个分点上做第一批试验，比较结果，在好试验点左右留下一长一短把a分成2n＋2段，相邻两段为a1，b1(a1＞b1)，且a1＝b长短段的比例：15λ=(1)21nn当n=0时，λ=0.618思考1：当电视机画面有“雪花”时，可以用遥控器进行频道微调，使画面达到清晰状态，具体如何操作？先往前面方向微调，如果画面清晰一些了就继续往这个方向微调，否则就往后面方向微调.如果前后微调的清晰度都比某点低，则该点为清晰状态最佳点.思考2：一个盲人爬山时已到某处，假设山是单峰的，且只有一条直道经过山顶，试设想他如何判断其立足之处是否为山顶？对前后两个方向进行试探，如果前面高了，就向前走一步，否则试探后面.如果前后都比某点低，就说明到达山顶了.5.1.7逐步提高法（爬山法）方法：找一个起点寻找方向注意：起点步距：“两头小，中间大”AB＜AC＞AD＞CE＜DF小结1.如果每作一次试验，根据结果可以决定下次试验的方向，就可以用对分法寻找最佳点.相对于0.618法和分数法，对分法更简单，易操作.2.盲人爬山法是一种采用小步调调整策略的优选法，在生产实践和科学试验中，如果某些因素不允许大幅度调整，可以用盲人爬山法寻找最佳点.3.分批试验法每批同时做几个试验，可以加快试验进度，根据存优范围越小效率越高的原理，比例分割法比均分法效果要好.4.优选法主要针对单峰情形，对多峰问题应转化为单峰问题.5.1.8多峰情况（1）不论“单峰”还是“多峰”，按前述方法优选（2）先做一批分布得比较均匀、疏松的试验，看是否有“多峰”现象，分别找出这些“峰”5.2双因素优选法1.命题：设某个优选问题同时受到某两个因素的影响，用x，y表示两个因素的取值，z＝f(x，y)表示目标函数，那么双因素优选问题的本质是什么？迅速找到二元目标函数z＝f(x，y)的最大值或最小值及其对应的点(x，y).2.几何意义：假设函数z＝f(x，y)在某一区域内单峰，其几何意义是把曲面z＝f(x，y)看作一座山，顶峰只有一个，从几何上如何理解双因素优选问题的本质？zxy迅速找到曲面的最高峰.把试验范围内z＝f(x，y)取同一值的曲线叫做等高线，各条等高线在水平面上的投影是一圈套一圈的曲线，那么双因素优选问题转化为寻找哪圈等高线？zxy最里边的一圈等高线.3.双因素优选法的基本思路：以横坐标表示因素Ⅰ，纵坐标表示因素Ⅱ，假设因素Ⅰ的试验范围为[a1，b1]，因素Ⅱ的试验范围为[a2，b2]用什么策略寻找峰顶在水平面上的投影点？先固定一个因素，对另一个因素进行优选，再固定第二个因素，对第一个因素进行优选.5.2.1对开法如图，先将因素Ⅰ固定在试验范围的中点c1处，对因素Ⅱ进行单因素优选，得到最佳点A1；再将因素Ⅱ固定在试验范围的中点c2处，对因素Ⅰ进行单因素优选，得到最佳点B1，比较点A1和B1的试验结果，若B1是好点，则存优范围是哪个区域？a1b1a2b2c1c2A1B1因素Ⅰ因素Ⅱc1≤Ⅰ≤b1，a2≤Ⅱ≤b2.将因素Ⅰ固定在新范围(c1，b1]的中点d1处，对因素Ⅱ进行单因素优选，得到最佳点A2，比较点A2和B1的试验结果，若A2是好点，则存优范围是哪个区域？a1b1a2b2c1c2B1因素Ⅰ因素ⅡA2d1c1≤Ⅰ≤b1，c2≤Ⅱ≤b2.如此继续下去，不断缩小存优区域，直至找到最佳点为止，这个方法又称为纵横对折法.其中每次可以采用什么方法对一个因素进行优选？黄金分割法，分数法，对分法，盲人爬山法，分批试验法等.例5-3某炼油厂试制磺酸钡，其原料磺酸是磺化油经乙醇水溶液萃取出来的，试验目的是选择乙醇水溶液的合适浓度和用量，使分离出的磺酸最多.根据经验，乙醇水溶液浓度变化范围为50％－90％（体积百分比），用量范围为30％～70％（重量百分比），精度为±5％。作法：先横向对折，即将用量固定在50％，用单因素的0．618法选取最优浓度为80％的点3。而后纵向对折，将浓度固定在70％，用0．618法对用量进行优选，结果是点9较好。比较点3与点9的试验结果，点3比点9好，于是丢掉试验范围左边的一半。在剩下的范围内再纵向对折，将浓度固定在80％，对用量进行优选，试验点11、12的结果都不如3好，于是找到了好点，即点3，试验至此结束因素Ⅰa1b1a2b2c1c2A1B1因素Ⅱd1d25.2.2旋升法（从好点出发法）实践中每次对一个因素的固定点不一定取中点，如果先将因素Ⅰ固定在原生产点(或黄金分割点)c1处，对因素Ⅱ进行单因素优选，得到最佳点A1(c1，c2)；再将因素Ⅱ固定在c2处，对因素Ⅰ进行单因素优选，得到最佳点B1(d1，c2),则存优范围是哪个区域？a1≤Ⅰ≤c1，a2≤Ⅱ≤b2.a1b1a2b2c1c2A1B1因素Ⅰ因素ⅡA2d1d2在此基础上，将因素Ⅰ固定在d1处，对因素Ⅱ进行单因素优选，得到最佳点A2(d1，d2)，则存优范围是哪个区域？a1≤Ⅰ≤c1，a2≤Ⅱ≤c2.如此继续下去，不断缩小存优区域，就能找到所需要的最佳点，这个方法又称为从好点出发法.该方法有什么特点？除第一次外，对某一因素进行优选时，另一因素固定在上次试验结果的好点上.例5-4阿托品是一种抗胆碱药，为了提高产量，降低成本，利用优选法选择合适的酯化工艺条件.根据分析，主要因素为温度与时间，定出其试验范围为