近年考研数学三微积分题目整合及其详细解答

1微积分-考研题参考答案第二章极限与连续一．选择题：1．（98）设函数nnxxxf211lim)(++=∞→，讨论函数)(xf的间断点，其结论为（）（A）不存在间断点．（B）存在间断点1=x．（C）存在间断点0=x．（D）存在间断点1−=x．解：当1||x时，0lim2=∞→nnx，有xxf+=1)(；当1||x时，∞=∞→nnx2lim，有0)(=xf；当1=x时，有11111)(=++=xf；当1−=x时，有01111)(=+−=xf．⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=−+−≤=.1,0;1,1;11,1;1,0)(xxxxxxf显然1−=x处连续，1=x处间断，选择：（B）．2．（00）设对任意的x，总有)()()(xgxfx≤≤ϕ，且0)]()([lim=−∞→xxgxϕ，则)(limxfx∞→（）（A）存在且等于零．（B）存在但不一定等于零．（C）一定不存在．（D）不一定存在．解：有可能)(limxgx∞→与)(limxxϕ∞→都不存在，如222)(,1)(,)(xxxgxxxfxx+=+==ϕ，则有)()()(xgxfx≤≤ϕ，且0)]()([lim=−∞→xxgxϕ，但∞=∞→)(limxfx，选择：（D）．3．（04）函数2)2)(1()2sin(||)(−−−=xxxxxxf在下列哪个区间内有界，（）（A）)0,1(−．（B）)1,0(．（C）)2,1(．（D）)3,2(．解：间断点有2,1,0=x，其中0=x是可去间断点，2,1=x是无穷间断点，故有界区间不能包含2,1=x，选择：（A）．4．（04）设)(xf在),(∞+−∞内有定义，且axfx=∞→)(lim，⎪⎩⎪⎨⎧=≠⎟⎠⎞⎜⎝⎛=.0,0;0,1)(xxxfxg则（）（A）0=x必是)(xg的第一类间断点．（B）0=x必是)(xg的第二类间断点．（C）0=x必是)(xg的连续点．（D）)(xg在点0=x的连续性与a的取值有关．解：aufxfxguxx==⎟⎠⎞⎜⎝⎛=∞→→→)(lim1lim)(lim00．当0=a时，)(xg在0=x处连续，当0≠a时，间断，选择：（D）．25．（07）当+→0x时，与x等价的无穷小量是（）（A）xe1−．（B）)1ln(x+．（C）11−+x．（D）xcos1−．解：当+→0x时，xx−−~e1，xx~)1ln(+，xx21~11−+，xxx21)(21~cos12=−，选择：（B）．6．（08）设ba0，则=+−−∞→nnnnba1)(lim（）（A）a．（B）1−a．（C）b．（D）1−b．解：因ba0，有1ab，0lim=⎟⎠⎞⎜⎝⎛−∞→nnab，10111111lim)(lim−−−−∞→−−∞→=⋅=⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡⎟⎠⎞⎜⎝⎛+=+aaababannnnnnn，选择：（B）．7．（09）函数xxxxfπsin)(3−=的可去间断点的个数为（）（A）1．（B）2．（C）3．（D）无穷多个．解：因xxxxfsinπ)(3−=的间断点处有0sinπ=x，即x取任何整数n，当整数1,0±≠n时，03≠−nn，∞=−→xxxnxπsinlim3，即nx=为xxxxfπsin)(3−=的无穷间断点，且π1πcosπ31limπsinlim200030=−=−→→xxxxxxx，π2πcosπ31limπsinlim210031=−=−→→xxxxxxx，π2πcosπ31limπsinlim210031=−=−−→−→xxxxxxx，故1,0±=x都是xxxxfπsin)(3−=的可去间断点，选择：（C）．二．填空题：1．（95）=++∞→xxxx2sin3553lim2．解：当∞→x时，xx2~2sin，有5623553lim2sin3553lim22=⋅++=++∞→∞→xxxxxxxx，填空：56．2．（95）=−+++−+++∞→])1(2121[limnnnLL．解：原式2221)1(21)1(21lim)1(2121)]1(21[)21(lim==−++=−+++++++−+++−+++=∞→∞→nnnnnnnnnnnLLLL，填空：22．3．（99）设函数)1,0()(≠=aaaxfx，则=∞→)]()2()1(ln[1lim2nfffnnL．3解：原式anannnannaaannnnln21ln)1(21limln)21(lim)ln(lim22221=+=+++=⋅=∞→∞→∞→LL，填空：aln21．4．（02）设常数21≠a，则=⎥⎦⎤⎢⎣⎡−+−∞→nnannan)21(12lnlim．解：aananannanaaannnnnn211eln)21(11lnlim)21(11lnlim)21(12lnlim211211)21(−==⎥⎦⎤⎢⎣⎡−+=⎥⎦⎤⎢⎣⎡−+=⎥⎦⎤⎢⎣⎡−+−−−⋅−∞→∞→∞→，填空：a211−．5．（05）极限=+∞→12sinlim2xxxx．解：当∞→x时，12~12sin22++xxxx，有212lim12sinlim222=+=+∞→∞→xxxxxxx，填空：2．6．（06）=⎟⎠⎞⎜⎝⎛+−∞→nnnn)1(1lim．解：当n为偶数时，)(111)1(∞→→+=⎟⎠⎞⎜⎝⎛+−nnnnnn；当n为奇数时，)(111)1(∞→→+=⎟⎠⎞⎜⎝⎛+−nnnnnn；则11lim)1(=⎟⎠⎞⎜⎝⎛+−∞→nnnn，填空：1．7．（08）设函数⎪⎩⎪⎨⎧≤+=.||,||2;||,1)(2cxxcxxxf在),(∞+−∞内连续，则=c．解：因1)1(lim)(lim22+=+=−−→→cxxfcxcx，cxxfcxcx2||2lim)(lim==++→→，且)(lim)(limxfxfcxcx+−→→=时)(xf连续，则cc212=+，得1=c或2−=c，但显然有0≥c，即1=c，填空：1．4第三章导数与微分一．选择题：1．（95）设函数⎪⎩⎪⎨⎧=≠=.0,0;0,1sin||)(2xxxxxf则)(xf在点0=x处（）（A）极限不存在．（B）极限存在但不连续．（C）连续但不可导．（D）可导．解：因)0(01sin||lim)(lim00fxxxfxx===→→，即)(xf在点0=x连续，又xxxxfxffxx1sin||lim0)0()(lim)0(00→→=−−=′不存在，即)(xf在点0=x不可导，选择：（C）．2．（96）设)(xf处处可导，则（）（A）当+∞=′+∞→)(limxfx时，必有+∞=+∞→)(limxfx．（B）当+∞=+∞→)(limxfx时，必有+∞=′+∞→)(limxfx．（C）当−∞=′−∞→)(limxfx时，必有−∞=−∞→)(limxfx．（D）当−∞=−∞→)(limxfx时，必有−∞=′−∞→)(limxfx．解：如取xxf=)(，有+∞=+∞→)(limxfx且−∞=−∞→)(limxfx，但1)(=′xf，排除（B）、（D），又取2)(xxf=，有xxf2)(=′，−∞=′−∞→)(limxfx，但+∞=−∞→)(limxfx，排除（C），选择：（A）．3．（97）若)()()(+∞−∞=−xxfxf，在)0,(−∞内0)(′xf且0)(′′xf，则在),0(∞+内有（）（A）0)(,0)(′′′xfxf．（B）0)(,0)(′′′xfxf．（C）0)(,0)(′′′xfxf．（D）0)(,0)(′′′xfxf．解：因)(xf是偶函数，则)(xf′是奇函数，)(xf′′是偶函数，选择：（C）．4．（98）设周期函数)(xf在),(∞+−∞内可导，周期为4，又12)1()1(lim0−=−−→xxffx，则曲线)(xfy=在点))5(,5(f处的切线的斜率为（）（A）21．（B）0．（C）1−．（D）2−．解：因1)1(21)(2)1()](1[lim2)1()1(lim00−=′=−⋅−−+=−−→→fxfxfxxffxx，得2)1(−=′f，又由于)(xf是周期为4的周期函数，2)1()5(−=′=′ff，即5=x时的切线斜率为2−，5选择：（D）．5．（00）设函数)(xf在点ax=处可导，则函数|)(|xf在点ax=处不可导的充分条件是（）（A）0)(=af且0)(=′af．（B）0)(=af且0)(≠′af．（C）0)(af且0)(′af．（D）0)(af且0)(′af．解：假设0)(af，则在a的某邻域内0)(xf，)(|)(|xfxf=，|)(|xf在点ax=处可导，矛盾；假设0)(af，则在a的某邻域内0)(xf，)(|)(|xfxf−=，|)(|xf在点ax=处可导，矛盾；故0)(=af．因)(xf在点ax=处可导，有)()(afaf−+′=′；|)(|xf在点ax=处不可导，有)()(afaf−+′−≠′；故0)(≠′af．选择：（B）．6．（03）设函数)(|1|)(3xxxfϕ−=，其中)(xϕ在1=x处连续，则0)1(=ϕ是)(xf在1=x处可导的（）（A）充分必要条件．（B）必要但非充分条件．（C）充分但非必要条件．（D）既非充分也非必要条件．解：)1(3)(1|1|lim1)1()(lim)1(311ϕϕ=−−=−−=′++→→+xxxxfxffxx，)1(31)1()(lim)1(1ϕ−=−−=′−→−xfxffx，选择：（A）．7．（03）设)(xf为不恒等于零的奇函数，且)0(f′存在，则函数xxfxg)()(=（）（A）在0=x处左极限不存在．（B）有跳跃间断点0=x．（C）在0=x处右极限不存在．（D）有可去间断点0=x．解：首先0=x处)(xg无定义，是)(xg的间断点．因)0(f′存在，即)0(f有定义，而)(xf为奇函数，有)()(xfxf−=−，则取0=x，得)0()0(ff−=，即0)0(=f，故)0(1)(lim)(lim)(lim00000fxfxxfxgxxx′=′==→→→，在0=x处)(xg极限存在，选择：（D）．8．（05）以下四个命题中，正确的是（）（A）若)(xf′在)1,0(内连续，则)(xf在)1,0(内有界．（B）若)(xf在)1,0(内连续，则)(xf在)1,0(内有界．（C）若)(xf′在)1,0(内有界，则)(xf在)1,0(内有界．（D）若)(xf在)1,0(内有界，则)(xf′在)1,0(内有界．解：在开区间内连续，不能说明有界，排除（A）、（B），如xxf1)(=，有)(xf与)(xf′都在)1,0(内连续，但)(xf在)1,0(内无界．6又如xxf=)(，有)(xf在)1,0(内有界，但xxf21)(=′在)1,0(内无界，排除（D），选择：（C）．9．（06）设函数)(xfy=具有二阶导数，且0)(,0)(′′′xfxf，x∆为自变量x在点0x处的增量，y∆与dy分别为)(xf在点0x处的增量与微分，若0∆x，则（）（A）ydy∆0．（B）dyy∆0．（C）0∆dyy．（D）0∆ydy．解：因0)(,0)(′′′xfxf，由导数几何意义知函数)(xfy=单调增加且上凹，图形上y∆是函数曲线上的增量，dy是切线上的增量，可知ydy∆0，也可根据0)(∆′=yxfdy，且dyxxfxoxxfxxfxfxxfy=∆′∆+∆′′+∆′=−∆+=∆)()(2)()()()(22，可知ydy∆0，选择：（A）．10．（06）设函数)(xf在0=x处连续，且1)(lim220=→xxfx，则（）（A）0)0(=f且)0(f′存在．（B）1)0(=f且)0(f′存在．（C）0)0(=f且)0(+′f存在．（D）1)0(=f且)0(+′f存在．解：因)(xf在0=x处连续，有001)(lim)(lim)0(222020=×=⋅==→→xxxfxffxx，且0→x时，+→02x，有1)0()0()(lim)(lim2202202=′=−=+→→+fxfxfxxfxx，选择：（C）．11．（07）设函数)(xf在0=x处连续，下列命题错误的是