弹性力学基础

书书书１．１　应力分析　　　　　第１章　弹性力学基础１．１　应力分析图１．１　作用在二维正方形边上单位面积的力（犪）弹性力学沿用的符号制；（犫）岩石力学领域沿用的符号制　　１．１．１　应力符号图１．１给出了二维空间中两种符号体系的比较．图１．１（犪）为通常材料领域的符号制，其中正应力以拉为正．剪应力在以坐标轴正向为法向的坐标面上，正向规定为朝向坐标的方向．例如τ狓狔的正向就规定为以狓轴为法向的坐标面上，以朝狔轴正向的力为正．图１．１（犫）为岩石力学领域的符号制，其中正应力以压为正．剪应力在以坐标轴正向为法向的坐标面上，正向规定为朝向坐标的反向．例如τ狓狔的正向就规定为以狓轴为法向的坐标面上，以朝狔轴反向的力为正．这两种符号体系只是符号正负不同，其余一切运算规则（如坐标变换，莫尔（犕狅犺狉）圆）完全相同．上述的符号制不难推广到三维２　　　　第１章　弹性力学基础空间．本书的应力符号制和通常的弹性力学书籍相同．只在压力条件下莫尔圆的使用等个别问题上与岩石力学文献接轨，在涉及应力分析，特别在用到张应力判据时，仍采用弹性力学惯例．　　１．１．２　张量运算规则这里的张量运算形式满足“求和约定”，即凡是同一指标字母在乘积中出现两次时，则理解为对所有同类求和，例如σ犻犼犲犼应理解为∑３犼＝１σ犻犼犲犼．这样的求和指标犼称为假指标或哑指标．有关张量分析的符号表示和运算规则，还可以参阅李灏、陈树坚（１９８２），杜庆华等（１９８６），盛正华（１９８５）．　　１．１．３　柯西（Ｃａｕｃｈｙ）方程记犛为过犘点的外法向为狀的斜截面．外法线狀的方向可由其方向余弦记为α狀１＝犮狅狊（狀，狓１），α狀２＝犮狅狊（狀，狓２），α狀３＝犮狅狊（狀，狓３）．设此斜图１．２截面△犃犅犆的面积为犛，则如图１．２所示，过此点所取的小四面体犗犃犅犆的另外三个面为与坐标面平行的截面（即以狓１，狓２，狓３三个坐标轴为法线的三个截面），犜（１），犜（２），犜（３）分别表示三个截面上的应力矢量．每一个应力矢量又分解为沿三个坐标轴的应力分量，有犜（犻）＝σ犻犼犲犼（犻，犼＝１，２，３）（１．１）三个截面的面积分别为△犗犅犆：犛１＝犛·α狀１，△犗犃犆：犛２＝犛·α狀２，△犗犃犅：犛３＝犛·α狀３．此截面上的应力矢量记为犜（狀），即犜（狀）＝犜（狀）犼犲犼（１．２）另外三个面上的应力矢量分别为－犜（１），－犜（２），－犜（３）．考虑此微元（四１．１　应力分析３　　　　面体犗犃犅犆）的平衡，其平衡方程为犜（狀）·犛－（犜（１）·犛１＋犜（２）·犛２＋犜（３）·犛３）＋犳·１３犛·犺＝０其中，犳为作用于此单元上的体力，犺为犗点至截面犃犅犆的垂直距离，犛·犺／３为此微元的体积．当此四面体微元无限缩小时，上式中最后一项为更高阶的无穷小量，可略去不计，从而得犜（狀）＝犜（１）·α狀１＋犜（２）·α狀２＋犜（３）·α狀３将犜（犻）＝σ犻犼犲犼代入，就得到犜（狀）＝σ犻犼α狀犻犲犼与犜（狀）＝犜（狀）犼犲犼比较，就得到犜（狀）的坐标分量与应力分量间的关系为犜（狀）犼＝α狀犻σ犻犼（１．３）这就是柯西公式的张量形式．由上式进一步得到斜截面上的总应力在法线方向上的分量（正应力）为σ犖＝α狀犼犜（狀）犼＝α狀犻α狀犼σ犻犼（１．４）切线方向上的分量（剪应力）为τ犖＝（犜（狀））２－σ２槡犖＝（犜（狀）１）２＋（犜（狀）２）２＋（犜（狀）３）２－σ２槡犖（１．５）　　１．１．４　坐标变换将柯西方程推导过程中引入的斜截面作为新的坐标面，建立新的正交坐标系（狓′１，狓′２，狓′３），并将上面所述的斜截面的法向狀作为一个新的坐标轴狓′１，新坐标轴狓′１，狓′２，狓′３与原坐标轴狓１，狓２，狓３之间的夹角余弦如表１．１所列．表１．１狓１狓２狓３狓′１α１′１α１′２α１′３狓′２α２′１α２′２α２′３狓′３α３′１α３′２α３′３　　则上面的应力矢量成为犜（１′）．将矢量犜（１′）再次向新的坐标轴分解，就得到新坐标系的应力张量的分量．从原坐标系变换到新坐标系，式（１．４）４　　　　第１章　弹性力学基础成为σ１′１′＝α１′犼犜（１′）犼＝α１′犻α１′犼σ犻犼一般地，有σ犻′犼′＝α犼′犼犜（犻′）犼＝α犻′犻α犼′犼σ犻犼（１．６）其中，α犻′犻为新坐标系中狓犻′与旧坐标系中狓犻之间夹角的方向余弦．式（１．６）为应力张量坐标变换式，用矩阵表示为σ′＝ασα犜（１．７）其中，α为由表１．１所列的方向余弦作为行与列元素构成的矩阵，α犜为其转置，σ为应力张量在原坐标系中的表示，σ′为应力张量在新坐标系中的表示．根据上述方法，可以得出其他正交坐标系（例如极坐标、柱坐标等）中应力分量与直角坐标系中应力分量的转换关系（参见附录１）．剪应力互等定理　设体积微元（小长方体）的三个边长分别为犱狓１，犱狓２，犱狓３，作用于此体积元上所有的力（包括惯性力）对于任一轴的矩的代数和必然为零．因而得σ犻犼＝σ犼犻（１．８）剪应力互等定理表明，应力张量是对称张量．　　１．１．５　主应力与应力张量不变量如果在某一截面上剪应力为零，则该截面的法向称为主方向，相应的截面称为主平面．主平面的正应力为主应力．设方向狀为主方向，其方向余弦为（狀１，狀２，狀３），此面上的主应力为σ，则犜（狀）犻＝σ·狀犻（犻＝１，２，３）（１．９）将上式代入柯西公式（１．３），得（σ犻犼－σδ犻犼）狀犼＝０（１．１０）其中，δ犻犼为克罗内克尔（犓狉狅狀犲犽犲狉）符号：δ犻犼＝１　（犻＝犼）０　（犻≠犼烅烄烆）．因为狀１，狀２，狀３不能同时为零，所以式（１．１０）的系数行列式必须为零．得犱犲狋（σ犻犼－σδ犻犼）＝０将该式的行列式展开后得σ３－犐１σ２＋犐２σ－犐３＝０（１．１１）上式称为应力状态特征方程，其三个系数分别为１．１　应力分析５　　　　犐１＝σ犻犻犐２＝σ１１　σ１２σ２１　σ２２＋σ２２　σ２３σ３２　σ３３＋σ３３　σ３１σ１３　σ１１犐３＝犱犲狋σ犻烅烄烆犼（１．１２）犐１，犐２，犐３不随坐标系的变化而改变，分别称为应力张量的第一、第二、第三不变量．解特征方程求得三个实根就是主应力，通常取σ１≥σ２≥σ３．将其值σ犻（犻＝１，２，３）代入方程组（１．１０），如将前两个式子组合，组合后的系数行列式为狑３＝σ１１－σ犻σ１２σ２１σ２２－σ犻，若狑３≠０，就有狀１＝１狑３－σ１３σ１２－σ２３σ２２－σ犻·狀３＝狑１狑３·狀３（１．１３）狀２＝１狑３σ１１－σ犻－σ１３σ２１－σ２３·狀３＝狑２狑３·狀３（１．１４）其中，狑１＝σ１３（σ犻－σ２２）＋σ１２σ２３狑２＝σ２３（σ犻－σ１１）＋σ１２σ１３狑３＝σ２犻－（σ１１＋σ２２）σ犻－σ２１２＋σ１１σ２２犎＝（狑２１＋狑２２＋狑２３）１／烅烄烆２（犻＝１，２，３）　狑３≠０（１．１５）将式（１．１３），（１．１４）和条件狀２１＋狀２２＋狀２３＝１联立，即可求得对应于每一个主应力σ犻（犻＝１，２，３）的主方向狀犻＝（狀１，狀２，狀３）＝１犎（狑１，狑２，狑３）（犻＝１，２，３）（１．１６）主方向还可以采用其他形式．这些形式其实是将式（１．１５）中的下角标进行了轮换．例如，如果将方程组（１．１０）的后两个式子组合，我们还可以得到第二种形式的解，实际上是将式（１．１５）中的所有下角标进行了如下轮换，即１→２，２→３，３→１．同样，如果将（１．１０）的第一式和第三式组合，就可以得到主方向的第三种形式，实际上是将第二组中的所有下角标再次进行了如下轮换，即１→２，２→３，３→１．这三种形式实际是等效的，都可以代入式（１．１６）作为主方向的分量，只是成立的条件有所不同．如果选择主方向为坐标轴狓１，狓２，狓３，则式（１．１２）给出的应力张量不变量可化简为６　　　　第１章　弹性力学基础犐１＝σ１＋σ２＋σ３犐２＝σ１σ２＋σ２σ３＋σ３σ１犐３＝σ１σ２σ烅烄烆３（１．１７）　　１．１．６　最大剪应力和差应力如果以主方向为坐标轴方向，则法线为狀（α１，α２，α３）的斜截面上的应力矢量犜（狀）的模犜（狀）的平方为（犜（狀））２＝（σ１α１）２＋（σ２α２）２＋（σ３α３）２，该面上的正应力按式（１．４）为σ犖＝σ１α２１＋σ２α２２＋σ３α２３，而该面上的剪应力τ为　　　τ２＝（犜（狀））２－σ２犖＝（σ１α１）２＋（σ２α２）２＋（σ３α３）２－（σ１α２１＋σ２α２２＋σ３α２３）２利用关系式α２３＝１－α２１－α２２代入上式消去α３后，得τ２＝［（σ２１－σ２３）α２１＋（σ２２－σ２３）α２２＋σ２３］－［（σ１－σ３）α２１＋（σ２－σ３）α２２＋σ２３］２上式中的τ为α１及α２的函数，其极值条件为τ２α１＝０，τ２α２＝０，于是得到下列方程组：α１（σ１－σ２）（σ１－σ３）α２１＋（σ２－σ３）α２２－１２（σ１－σ３［］）＝０α２（σ２－σ３）（σ１－σ３）α２１＋（σ２－σ３）α２２－１２（σ２－σ３［］）＝０由上面的方程组与关系式α２１＋α２２＋α２３＝１联立，可以得到３组解，列于表１．２中的３，４，５组，用同样的方法消去α２，α１，还可以得到表１．２中的１，２，６组解．其中１，２，３组解对应于主方向上的剪应力，４，５，６组给出的是三个最大剪应力的解：表１．２　剪应力极值及其作用面的方向余弦　１２３４５６α１±１０００±１／槡２±１／槡２α２０±１０±１／槡２０±１／槡２α３００±１±１／槡２±１／槡２０τ０００±（σ２－σ３）／２±（σ３－σ１）／２±（σ１－σ２）／２１．１　应力分析７　　　　τ１２＝±１２（σ１－σ２）τ２３＝±１２（σ２－σ３）τ３１＝±１２（σ３－σ１烅烄烆）（１．１８）这些剪应力所在的截面平行某一主轴面而与另外两个主轴成４５°夹角．这三个最大剪应力有时也称作剪应力的不变量，或主剪应力．在地学中，我们还经常用到差应力的概念．差应力通常指最大主应力和最小主应力的差值，即σ１－σ３，由式（１．１８）可知，它的一半就是该处的最大剪应力．其实，中等应力σ２与σ１或σ３之差也是差应力．　　１．１．７　应力圆（莫尔圆）记σ犖为某一截面上的正应力，τ为该截面上的剪应力．莫尔圆为σ犖－τ平面上的一个圆，这个圆的圆心犆的坐标为σ１１＋σ２２２，（）０，半径为σ１１－σ２２（）２２＋σ２１槡２．圆上的一点表示某一截面上的应力．该点的横坐标表示该截面上的正应力，纵坐标表示该截面上的剪应力．这个圆用方程表示就是σ犖－σ１１＋σ２２（）２２＋τ２＝σ１１－σ２２（）２２＋σ２１２（１．１９）图１．３显示了莫尔圆，其中犃点代表以狓１轴为法线的截面上的应力（σ１１，σ１２）．该截面的法线与第一主方向的夹角为α，即第一主方向沿顺时针旋转α角后与狓１轴重合．延长犃犆交莫尔圆于犇点．犇点代表以狓１轴为法线的截面上的应力（σ２２，σ２１）．令τ＝０，从式（１．１９）可以得出莫尔圆与横轴的两个交点的横坐标为σ１σ烅烄烆烍烌烎２＝σ１１＋σ２２２±σ１１－σ２２（）２２＋σ２１槡２（１．２０）这正是两个主应力，和解特征方程（１．１１）得到的结果是一致的．而该圆的半径正是最大剪切应力：τ犿犪狓＝σ１１－σ２２（）２２＋σ２１槡２（１．２１）规定犃犆和横轴的夹角为２α，即横轴以犆为圆心，沿逆时针方向旋转８　　　　第１章　弹性力学基础２α后与犃犆重合，得到狋犪狀２α＝２σ１２σ１１－σ２２σ１１＝σ１犮狅狊２α＋σ２狊犻狀２ασ２２＝σ１狊犻狀２α＋σ２犮狅狊２ασ１２＝犆犃狊犻狀２α＝（σ１－σ２）狊犻狀α犮狅狊α（１．２２）上述结果和用坐标变换的方法求得的结果一致．图１．３　平面应力的应力圆（莫尔圆）图１．３表示的是弹性力学沿用的符号制下莫尔圆的画法．在岩石力学领域沿用的符号制内，莫尔圆的画法在形式上和弹性力学相同，以狓１轴为法线的截面的法线与第一主方向的夹角α方向仍规定为第一主方向沿顺时针旋转α角后与狓１轴重合，在莫尔圆上规定犃犆和横轴的夹角为２α，即横轴以犆为圆心，沿逆时针方向旋转２α后与犃犆重合．　　１．１．８　应力张量分解为球张量和偏（斜）张量应力张量可以进行如下的分解：σ犻犼＝σ０