微积分PPT课件

4.2微积分基本定理(79)31、变速直线运动问题变速直线运动中路程为21()dTTvtt设某物体作直线运动，已知速度)(tvv是时间间隔],[21TT上t的一个连续函数，且0)(tv,求物体在这段时间内所经过的路程.另一方面这段路程可表示为)()(12TsTs4.2.1原函数存在定理2121()d()(),TTvttsTsT).()(tvts其中4.2微积分基本定理(79)4设函数)(xf在区间],[ba上连续，并且设x为],[ba上的一点，()d()d.xxaafxxftt考察定积分()()d.xaxftt如果上限x在区间],[ba上任意变动，则对每个取定的x值，定积分有一个对应值，所以它在],[ba上定义了一个函数，称为积分上限函数，记为：2、积分上限函数4.2微积分基本定理(79)5abxyo定理１如果)(xf在],[ba上连续，则积分上限函数()()dxaxftt在],[ba上具有导数，且它的导数是d()()d()dxaxfttfxx.xx证()()dxxaxxftt)()(xxx()d()dxxxaafttftt)(xx)(xfy4.2微积分基本定理(79)6()d()d()dxxxxaxafttfttftt()d,xxxftt由积分中值定理得xf)(],,[xxxxx,0),(fx)(limlim00fxxx).()(xfxabxyoxx)(xx]),[(xxx或4.2微积分基本定理(79)7如果)(tf连续，)(xa、)(xb可导，则()()()()dbxaxFxftt的导数)(xF为补充)()()()(xaxafxbxbf证0()()0()()d()dbxaxFxfttftt()0()dbxftt()0()d,axftt)()()()()(xaxafxbxbfxF()()d()()ddbxaxFxfttx4.2微积分基本定理(79)8例1求极限21cos20edlim.txxtx解21cosdeddtxtx2cos1ded,dxttx2cose(cos)xx2cossine,xx21cos20edlimtxxtx2cos0sinelim2xxxx1.2e00分析：这是型不定式，应用洛必达法则.4.2微积分基本定理(79)9例2设)(xf在),(内连续，且0)(xf.证明函数00()d()()dxxtfttFxftt在),0(内为单调增加函数.证0d()ddxtfttx),(xxf0d()ddxfttx),(xf0020()()d()()d()()dxxxxfxfttfxtfttFxftt4.2微积分基本定理(79)10020()()()d(),()dxxfxxtfttFxftt)0(,0)(xxf0()d0,xftt,00,0)()(xttftx，且不恒为又0()()d0,xxtftt).0(0)(xxF故)(xF在),0(内为单调增加函数.4.2微积分基本定理(79)11例3设)(xf在]1,0[上连续，且1)(xf.证明02()d1xxftt在)1,0(内只有一个解.证0()2()d1,xFxxftt,0)(2)(xfxF,1)(xf)(xF在]1,0[上为单调增加函数.,01)0(F10(1)1()dFftt10[1()]dftt,0所以0)(xF即原方程在)1,0(内只有一个解.令4.2微积分基本定理(79)12定理（原函数存在定理）如果)(xf在],[ba上连续，则积分上限函数()()dxaxftt就是)(xf在],[ba上的一个原函数.定理的重要意义：（1）肯定了连续函数的原函数是存在的.（2）初步揭示了积分学中的定积分与原函数之间的联系.4.2微积分基本定理(79)13定理2（微积分基本定理）如果)(xF是连续函数)(xf在区间],[ba上的一个原函数，则()d()()bafxxFbFa.又()()dxaxftt也是)(xf的一个原函数,已知)(xF是)(xf的一个原函数，证4.2.2牛顿—莱布尼茨公式4.2微积分基本定理(79)14令ax,)()(CaaF()()d0aaaftt,)(CaF()d()(),xafttFxFa()()d,xaFxfttC令bx()d()().bafxxFbFa牛顿—莱布尼茨公式CxxF)()(],[bax4.2微积分基本定理(79)15()d()()bafxxFbFa微积分基本定理表明：baxF)(一个连续函数在区间],[ba上的定积分等于它的任意一个原函数在区间],[ba上的增量.注意:()d()()bafxxFbFa仍成立.求定积分问题转化为求原函数的问题.当ba时，baxF)(4.2微积分基本定理(79)16例4求定积分20(2cossin1)d.xxx原式20cossin2xxx.23例5设,求.215102)(xxxxf20()dfxx解解212001()d()d()dfxxfxxfxx在]2,1[上规定当1x时，5)(xf,12012d5dxxx原式.6xyo124.2微积分基本定理(79)17例6求积分222max{,}d.xxx解由图形可知},max{)(2xxxf,21100222xxxxxx01222201dddxxxxxx原式.211xyo2xyxy1224.2微积分基本定理(79)18例7求积分解121d.xx当0x时，x1的一个原函数是||lnx,121dxx12||lnx.2ln2ln1ln例8计算曲线xysin在],0[上与x轴所围成的平面图形的面积.解面积xyoπ0sindAxx0cosx.24.2微积分基本定理(79)193.微积分基本公式1.积分上限函数()()dxaxftt2.积分上限函数的导数)()(xfx()d()()bafxxFbFa4.2.5小结与思考题1-2牛顿－莱布尼茨公式沟通了微分学与积分学之间的关系．4.2微积分基本定理(79)20思考题设)(xf在],[ba上连续，则()dxaftt与()dbxfuu是x的函数还是t与u的函数？它们的导数存在吗？如果存在，等于什么？4.2微积分基本定理(79)21思考题解答()dxaftt与()dbxfuu都是x的函数d()d()dxafttfxxd()d()dbxfuufxx4.2微积分基本定理(79)22一、填空题：1、22deddxbaxx=____.2、d(())ddxafxxx____.3、223dln(1)ddxtttx_______.4、20()dfxx____，其中21,210,)(2xxxxxf.5、2020cosdlimxxtttx______.6、1220502(1cos)dlim____xxttx.课堂练习题4.2微积分基本定理(79)23二、求导数：1、设12122,ln,lntttttytttxdd)1(t,求22ddyx；2、设230d()1xxgxx，求)1(g.三、计算下列各定积分：1、22211()dxxx;2、20sindxx.四、求函数2031()d1xtfxttt在区间1,0上的最大值与最小值.4.2微积分基本定理(79)24一、1、0；2、)()(afxf；3、)1ln(23xx；4、65；5、21；6、101.二、1、ttln212；2、2.三、1、652；2、4.四、935,0.课堂练习题答案4.2微积分基本定理(79)25定理3假设（1）)(xf在],[ba上连续；（2）函数)(tx在],[上具有连续导数；（3）当t在区间],[上变化时，)(tx的值在],[ba上变化，且a)(，b)(，则有()d[()]()dbafxxfttt.4.2.3定积分法1、换元积分法4.2微积分基本定理(79)26证设)(xF是)(xf的一个原函数，则()d()();bafxxFbFa)],([)(tFt设dd()ddFxtxt)()(txf),()]([ttf[()]()d()().fttt)(t是)()]([ttf的一个原函数，即4.2微积分基本定理(79)27又a)(，b)(,)()()]([)]([FF),()(aFbF()d()()bafxxFbFa)()([()]()d.fttt注意：当时，换元公式仍成立.4.2微积分基本定理(79)28应用换元公式时应注意:（1）求出)()]([ttf的一个原函数)(t后，不必象计算不定积分那样再要把)(t变换成原变量x的函数，而只要把新变量t的上、下限分别代入)(t然后相减就行了.（2）用)(tx把变量x换成新变量t时，积分限也相应的改变.4.2微积分基本定理(79)29例9计算定积分250cossind.xxx解令,cosxt2x,0t0x,1t250cossindxxx051dtt1066t.61dsind,txx例10计算定积分π350sinsind.xxx4.2微积分基本定理(79)30解xxxf53sinsin)(23sincosxxπ350sinsindxxx3π20cossindxxxπ3220cossindxxx3π2π2cossindxxxπ3220sindsinxx3π2π2sindsinxx2025sin52xπ2π522sin5x.544.2微积分基本定理(79)31例11计算定积分解34eed.ln(1ln)xxxx原式34eed(ln)ln(1ln)xxx34eed(ln)ln(1ln)xxx34ee2dln21(ln)xx34ee2arcsin(ln)x.64.2微积分基本定理(79)32例12计算定积分解220d,(0).axaxax令,sintaxaxπ,2t0x,0tdcosd,xatt原式π2220cosdsin(1sin)attatatπ20cosdsincosttttπ201cossin1d2sincostttttπ201π1lnsincos222ttπ.44.2微积分基本定理(79)33引理1设)(xf在],[aa上连续，且有①)(xf为偶函数，则0()d2()daaafxxfxx；②)(xf为奇函数，则()d0aafxx.证00()d()d()d,aaaafxxfxxfxx在0()dafxx中令tx,4.2微积分基本定理(79)340()dafxx0()daftt0()d,aftt①)(xf为偶函数，则),()(tftf00()d()d()daaaafxxfxxfxx02()d;aftt②)(xf为奇函数，则),()(tftf00