第二节-简单几何体的表面积和体积

第二节简单几何体的表面积和体积备考方向明确方向比努力更重要复习目标学法指导1.柱、锥、台体的表面积和体积公式.2.球的表面积和体积公式.3.一些简单组合体表面积和体积的计算.4.柱、锥、台体之间关系.(发展要求)1.搞清楚几何体的表面积包括侧面积和底面积.2.求侧面积时,往往需要研究侧面展开图.3.会分解简单组合体为常见的柱、锥、台,进一步求出面积、体积.4.所有公式均不要求记忆.知识链条完善把散落的知识连起来空间几何体的表面积和体积公式如下网络构建表面积体积S表=S侧+2S底棱柱的底面积为S,高为h,V=S·hS表=S侧+S底表面积即空间几何体暴露在外的所有面的面积之和棱锥的底面积为S,高为h,V=13S·hV柱=S·hS=S′V台=13(S′+SS+S)hS′=0V锥=13S·hS表=S侧+S上底+S下底棱台的上、下底面面积分别为S′,S,高为h,V=13(S′+SS+S)h圆柱的底面半径和母线长分别为r,lS表=圆柱的高为h,V=πr2h圆锥的底面半径和母线长分别为r,lS表=+πrl圆锥的高为h,V=13πr2h圆台的上、下底面半径和母线长分别为r,r′,l,S表=π(r′2+r2+r′l+rl)圆台的高为h,V=13π(r′2+r′r+r2)h球球半径为R,S球=4πR2V球=2πr2+2πrlπr234π3R拓展空间1.概念理解(1)表面积应为侧面积和底面积的和,要注意组合体中哪些部分暴露或遮挡.(2)求空间几何体体积的常用方法①公式法:直接根据相关的体积公式计算.②等积法:根据体积计算公式,通过转换空间几何体的底面和高使得体积计算更容易,或是求出一些体积比等.③割补法:把不能直接计算体积的空间几何体进行适当的分割或补形,转化为可计算体积的几何体.2.求面积或体积中相关联的结论几个与球有关的切、接常用结论(1)正方体的棱长为a,球的半径为R,①正方体的外接球,则2R=3a;②正方体的内切球,则2R=a;③球与正方体的各棱相切,则2R=2a.(2)长方体的同一顶点的三条棱长分别为a,b,c,外接球的半径为R,则2R=222abc.(3)正四面体的外接球与内切球的半径之比为3∶1.温故知新1.圆柱的底面积为S,侧面展开图是一个正方形,那么圆柱的侧面积是()A解析:由πr2=S得圆柱的底面半径是πS,故侧面展开图的边长为2π·πS=2πS,所以圆柱的侧面积是4πS.故选A.(A)4πS(B)2πS(C)πS(D)233πS2.如图,网格纸上正方形小格的边长为1(表示1cm),图中粗线画出的是某零件的三视图,该零件由一个底面半径为3cm,高为6cm的圆柱体毛坯切削得到,则切削掉部分的体积与原来毛坯体积的比值为()C(A)1727(B)59(C)1027(D)13解析:原来毛坯体积为V=π×32×6=54π,零件的体积V1=π×32×2+π×22×4=34π,所求的比值为1VVV=543454=1027.故选C.3.某几何体的三视图如图所示(单位:cm),则该几何体的体积(单位:cm3)为,表面积(单位:cm2)为.解析:由三视图可得该几何体为二分之一圆锥,圆锥的底面半径为1,高为2,所以可得该几何体的体积为12×13×π×12×2=π3,该几何体的表面积为:12×π×12+12π×1×14+12×2×2=51π2+2.答案:π351π2+24.已知正四棱锥O-ABCD的体积为322,底面边长为3,则以O为球心,OA为半径的球的表面积是.解析:设O到底面的距离为h,则13×3×h=322,解得h=322.OA=2262h=6,故球的表面积为4π×(6)2=24π.答案:24π5.(2018·浙江宁波模拟)已知一个三棱锥的三视图如图所示,其中俯视图是顶角为120°的等腰三角形,侧视图为直角三角形,则该三棱锥的表面积为,该三棱锥的外接球体积为.解析:由三视图得几何体的直观图是:所以S表=2×12×2×2+12×23×5+12×23×1=4+15+3.以D为原点,DB为x轴,DA为z轴,建立空间直角坐标系,则D(0,0,0),A(0,0,2),B(2,0,0),C(-1,3,0).因为(x-2)2+y2+z2=x2+y2+z2,①x2+y2+(z-2)2=x2+y2+z2,②(x+1)2+(y-3)2+z2=x2+y2+z2,③所以x=1,y=3,z=1,所以球心的坐标是(1,3,1),所以球的半径是222131=5.所以球的体积是43π×(5)3=2053π.答案:4+15+32053π高频考点突破在训练中掌握方法考点一几何体的表面积【例1】(1)(2018·金丽衢十二校联考)某四面体的三视图如图所示,正视图、侧视图都是腰长为2的等腰直角三角形,俯视图是边长为2的正方形,则此四面体的最大面的面积是()(A)2(B)22(C)23(D)4解析:(1)因为几何体为一个四面体,六条棱长分别为2,2,22,22,22,23,所以四面体的四个面的面积分别为12×2×2=2,12×2×22=22,12×2×22=22,12×(22)2sinπ3=23,因此四面体的最大面的面积是23.故选C.答案:(1)C(2)(2016·杭州一模)某几何体的三视图及直观图如图所示(单位:cm),则该几何体的侧面PAB的面积是()(A)3cm2(B)2cm2(C)5cm2(D)7cm2解析:(2)由三视图知,该几何体是三棱锥,其中三棱锥的高为2cm,底面为边长为2cm的等边三角形,所以侧面PAB上的斜高为h=43=7(cm),所以侧面PAB的面积S=12×2×7=7(cm2).故选D.答案:(2)D(3)若圆锥的侧面积与过轴的截面面积之比为2π,则其母线与轴的夹角的大小为;解析:(3)设圆锥底面半径为r,母线长为l,母线与轴夹角为θ,则22π122rlrlr=2π,rl=32,即sinθ=32,θ=π3.答案:(3)π3(4)四棱锥S-ABCD中,底面ABCD是边长为2的正方形,侧面SAD是以SD为斜边的等腰直角三角形,若四棱锥S-ABCD的体积取值范围为[433,83],则该四棱锥外接球表面积的取值范围是.解析:(4)四棱锥S-ABCD中,可得AD⊥SA,AD⊥AB⇒AD⊥平面SAB⇒平面SAB⊥平面ABCD,过S作SO⊥AB于O,则SO⊥平面ABCD,设∠SAB=θ,故SABCDV=13SABCD·SO=83sinθ,所以sinθ∈[32,1]⇒θ∈[π3,2π3]⇒-12≤cosθ≤12,在△SAB中,SA=AB=2,则有SB=221cos，所以△SAB的外接圆半径r=2sinSB=21cos2sin,将该四棱锥补成一个以SAB为一个底面的直三棱柱,得外接球的半径R=21r⇒S=4πR2=4π(21cos+1),所以S∈[28π3,20π].答案:(4)[28π3,20π]反思归纳(1)已知几何体的三视图求其表面积,一般是先根据三视图判断空间几何体的形状,再根据题目所给数据与几何体的表面积公式,求其表面积.(2)多面体的表面积是各个面的面积之和,组合体的表面积应注意重合部分的处理.(3)圆柱、圆锥、圆台的侧面是曲面,计算侧面积时需要将这个曲面展开成平面图形计算,而表面积是侧面积与底面圆的面积之和.迁移训练1.某四棱锥的三视图如图所示,则该四棱锥的表面积为()A(A)8+42(B)6+2+23(C)6+42(D)6+22+23解析:把该三视图还原成直观图后的几何体是如图的四棱锥A-BCDE,其表面积为2×2+2×12×2×2+2×12×2×22=8+42.故选A.2.正四棱锥的顶点都在同一球面上.若该棱锥的高为4,底面边长为2,则该球的表面积为()(A)81π4(B)16π(C)9π(D)27π4A解析:易知球心在正四棱锥的高上,设球的半径为R,则(4-R)2+(2)2=R2,解得R=94,所以球的表面积为4π×(94)2=814π.故选A.考点二几何体的体积【例2】(1)已知某几何体的三视图(单位:cm)如图所示,则该几何体的体积是()(A)12cm3(B)1cm3(C)16cm3(D)13cm3解析:(1)由题意,根据给定的三视图可知,该几何体表示一个底面为腰长为1的等腰直角三角形,高为1的三棱锥,如图所示,所以该三棱锥的体积为V=13×12×1×1×1=16(cm3),故选C.答案:(1)C(2)(2018·天津卷)已知正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为1,除面ABCD外,该正方体其余各面的中心分别为点E,F,G,H,M(如图),则四棱锥M-EFGH的体积为.解析:(2)依题意,易知四棱锥M-EFGH是一个正四棱锥,且底面边长为22,高为12.故MEFGHV=13×(22)2×12=112.答案:(2)112反思归纳(1)若所给定的几何体是柱体、锥体或台体等规则几何体,则可直接利用公式进行求解,其中,等积转换法多用来求三棱锥的体积.(2)若所给定的几何体是不规则几何体,则将不规则的几何体通过分割或补形转化为规则几何体,再利用公式求解.(3)若以三视图的形式给出几何体,则应先根据三视图得到几何体的直观图,然后根据条件求解.迁移训练(2016·宁波二模)某几何体的三视图如图所示(单位:cm),则此几何体的体积为cm3.解析:该几何体是一个边长为4的正方体内,挖掉了半径为4的18球,故几何体的体积为43-18×43π×43=64(1-π6).答案:64(1-π6)考点三与面积、体积相关的综合问题【例3】(1)若一个正四面体的表面积为S1,其内切球的表面积为S2,则12SS=;解析:(1)设正四面体棱长为a,则正四面体的表面积为S1=4·34·a2=3a2,正四面体的高h=2233aa=63a,由13r·S1=13·34a2·h知r=14h=612a.因此内切球的表面积为S2=4πr2=2π6a,则12SS=223π6aa=63π.答案:(1)63π(2)将边长为a的正方形ABCD沿对角线AC折起,点A、B、C、D折叠后对应点A′、B′、C′、D′,使B′D′=a,则三棱锥D′-A′B′C′的体积为.解析:(2)如图所示正方形ABCD及折叠后的直观图.易知在直观图中,A′B′=B′C′=C′D′=D′A′=a,且A′D′⊥D′C′,A′B′⊥B′C′,取A′C′的中点E,连接D′E,B′E,则D′E⊥A′C′,D′E=EB′=22a,所以D′E⊥EB′,所以D′E⊥平面A′B′C′.D′E即为三棱锥D′-A′B′C′底面A′B′C′上的高.故DABCV=13S△A′B′C′·D′E=13×12×a×a×22a=212a3.答案:(2)212a3反思归纳(1)①解决与球有关问题的关键是球心及球的半径,在球中球心与截面圆圆心的连线、截面圆圆心与截面圆周上一点、该点与球心的连线构成一个直角三角形.②解决多面体(或旋转体)的外接球、内切球问题的关键是确定球心在多面体(或旋转体)中的位置,找到球半径(或直径)与几何体相关元素之间的关系.有时将多面体补形为正(长)方体再求解.(2)求几何体表面上两点间的最短距离的常用方法是选择恰当的母线或棱将几何体展开,转化为求平面上两点间的最短距离.迁移训练解析:如图,由球心作平面ABC的垂线,则垂足为BC的中点M.又AM=12BC=52,OM=12AA1=6,所以球O的半径R=OA=22562=132.故选C.1.已知直三棱柱ABC-A1B1C1的6个顶点都在球O的球面上,若AB=3,AC=4,AB⊥AC,AA1=12,则球O的半径为()(A)3172(B)210(C)132(D)310C2.(2016·浙江卷)某几何体的三视图如图所示(单位:cm),则该几何体的表面积是cm2,体积是cm3.解析:几何体为两个相同长方体组合,长方体的长宽高分别为4,2,2,所以体积为2×(2×2×4)=32(cm3),由于两个长方体重叠部分为一个边长为2的正方形,所以表面积为2(2×2×2+2×4×4)