15.3-正弦型函数

§15.3正弦型函数复习一两角和与差的正弦、余弦公式sinsincoscos)cos(sinsincoscos)cos(sincoscossin)sin(sincoscossin)sin(二倍角公式2222sin211cos2sincos2coscossin22sinyx–11O2322复习二正弦函数：sinyx“五点法”作图xsinyx02322010-10yx–11O定义域值域奇偶性周期性单调性R[11]，奇函数=2Tmax212xky时，min3212xky时，图象关于原点对称减区间]232,22[kk增区间]22,22[kk23222探究观察下列四图，比较它们的函数和图象的共同点与不同点观览车问题：sinyRx（）xy0ppyxOx转动x秒后，射线OP的转角为点P的纵坐标y与x的函数关系为设观览车转轮的半径长为R，0P0XOP为初始位置，此时转动的角速度（角频率）为定义：sin(),002yAxxRAAATAA形如的函数（，，，，都是常数）叫做正弦型函数，其曲线叫做正弦型曲线，其中叫做振幅，叫做角速度（或角频率），叫做初相位.函数的周期是，大值是，最小值是，其图象与正弦曲线相似。正弦型函数的概念1=1=0sin()sinAyAxyx当，，时，正弦型函数就是正弦函数、最小值。初相位、周期、最大值求它的振幅、角速度、：已知正弦型函数例),35sin(21xy22522352，最小值为，最大值为周期，，初相位，角速度解：振幅TA正弦型函数的概念取得最大值、最小值？函数分别为何值时，正弦型：当例)35sin(22xyxZkkxkxxyxZkkxkxxyx,30752,232352)35sin(21)35sin(,3052,22352)35sin(21)35sin(即些时，取得最小值时，当即些时，取得最大值时，解：当正弦型函数的概念练习正弦型函数的概念取得最大值和最小值？函数分别为何值时，正弦型、当、、、最小值：周期、初相位、最大值、求下列函数的振幅、xyxxyxy31sin52)531sin(21)2()64sin(3)1(1问题解决工业用电与民用电常用的是正弦交流电，其电压u(V)与时间t(s)之间的函数关系式为2202sin100.ut试求其周期、频率、最大值及有效值。对于正弦交流电而言，最大值除以2即为有效值3sin.yx例3用五点法作正弦型函数在一个周期内的简图正弦型函数的图象的图象、一)0(sin)(AxAy3sin2.yxT解：正弦型函数的周期（1）列表xsinx3sinyx023220001100033yx–1–2–31232322O（2）描点、连线3sinsin3yxyx从图可见，的图象可以看作把图象上所有点的纵坐标扩大倍而得到.再观察y=2sinx、y=sinx与y=sinx的图象间的关系21y0xπ2π12-1-2xsinx2sinxsinx21010-10020-2001/20-1/200π/2π3π/22πy0xπ2π12-1-2再观察y=2sinx、y=sinx与y=sinx的图象间的关系212sinsin1sin21sin2yxyxyxyx从图可见，的图象可以看作把图象上所有点的纵坐标扩大2倍而得到.的图象可以看作把图象上所有点的纵坐标缩小倍而得到.倍而得到。到原来的或缩小标扩大横坐标保持不变，纵坐图象上所有点的可以看作把的图象归纳：函数AAAxyAxAy)10()1(sin)0(sin，称为振幅变换。，的值域为AAAxAy)0(sin的图象、二)0(sin)(xysin2.yx例4用五点法作正弦型函数在一个周期内的简图2sin2=.2yxT解：正弦型函数的周期（1）列表2xxsin2yx023220000114234（2）描点、连线yx–1–212O2322O434Osin2sin1122yxyxx从图可见，的图象可以看作把图象沿轴向原点压缩到原来的而得到，其实质是周期变为原来的。x02x0234sinx010-1022321211sinsin2yxyx再观察与的图象的关系yx–1–212O342Oy0xπ2π3π4π1-1ω的作用：使正弦函数的周期发生变化。观察y=sin2x、y=sinx与y=sinx的图象间的关系21sin(0)sin(01)(1)112.yxyx归纳：函数的图象可以看作图象上所有点的纵坐标保持不变，横坐标扩大或缩小到原来的倍而得到，周期也变为原来的倍，即正弦型函数的图象思考:如何由正弦函数y=sinx的图象，通过振幅变换、周期变换的方法得到正弦型函数y=2sinx，y=2sin4x的图象？练习用五点法作下列函数在一个周期内的简图：3sin)2(sin23)1(xyxy正弦型函数的图象（1）列表（2）描点、连线的图象、三)sin()(xy个单位。了的图象向左平移相当于的图象从图可见，3sin)3sin(xyxy变。其值域和周期均保持不个单位而得到，平移向右或图象向左看作把的图象可以归纳：函数)0()0(sin)sin(xyxy的图象、三)sin()(xysin+3.yx例5用五点法作正弦型函数（）在一个周期内的简图（1）列表yx-11O232236237653（2）描点、连线sin()sin33yxyx从图可见，的图象相当于的图象向左平移了个单位。y0xπ2π1-1与y=sinx的图象间的关系再观察y=sin（x+）、y=sin（x－）22xxx+π/20π/2π3π/22πX-π/20π/2π3π/22πSin(x+π/2)010-10Sin(x-π/2)010-10-π/20π/2π3π/2π/2π3π/22π5π/2-π/25π/2y0xπ2π1-1的作用：使正弦函数的图象发生平移。与y=sinx的图象间的关系再观察y=sin（x+）、y=sin（x－）22π/25π/2-π/2sin()sin(0)(0)yxyx归纳：函数的图象可以看作把图象向左或向右平移个单位而得到，其值域和周期均保持不变。y0xπ2π3π4π1-1y=sin2xy=sinxy=sinx21ωAy0xπ2π1-1y=sin（x＋）y=sin（x－）y=sinx3y=2sinxy=sinxy=sinxy0xπ2π12-1-2213336567相位变换振幅变换周期变换x2x+0π2π3sin(2x+)030–30画出函数y＝3sin(2x＋)，x∈R的简图3解：(五点法)由T＝，得T＝π列表2261231276532233问题解决yx–1–2–3123O612312765（3）横坐标不变纵坐标伸长到原来的3倍y=3Sin(2x+)的图象3y=Sin(2x+)的图象321（1）横坐标缩短到原来的倍纵坐标不变6（2）向左平移函数y=Sinx方法1：如何由变换得的图象？xysin)32sin(3xyy=Sin2x的图象1-１2-2oxy3-32653635y=sin(2x+)3y=sinxy=sin2xy=3sin(2x+)3方法1：),,(顺序变换按A3函数y=sinx（3）横坐标不变纵坐标伸长到原来的3倍y=3sin(2x+)的图象3y=sin(2x+)的图象3（1）向左平移3纵坐标不变（2）横坐标缩短到原来的倍21方法2：3y=sin(x+)的图象1-１2-2oxy3-326536335y=sin(2x+)3y=3sin(2x+)3方法2：),,(顺序变换按Ay=sin(x+)3y=sinx61276732正弦型函数的图象思考:练习1、用五点法作下列函数在一个周期内的简图：)32sin(3)2()3sin()1(xyxy)00()sin(sin，的图象正弦型函数变换、平移的方法得到、周期的图象，通过振幅变换如何由函数AxAyxy2、如图所示为某正弦型函数的图象，请写出其函数表达式。sin()A00||27(,2)(,2)1212yAx例6、已知正弦型函数，（，，）在一个周期内的图象的最高点为，最低点为，求此函数的表达式。=2A解：由题意，7212122T，=2.T所以，2sin(2).yx所以函数的表达式为212因为函数图象经过点（，），2sin(2)212所以sin()16所以，+=262k，23kkZ即，||2又因为，3所以正弦型函数的应用的相位关系。与的相位关系；与的相位关系；与求：，电流电压正弦交流电的电动势例：ieiuuetitute)3()2()1(),120314sin(4314sin2220),210314sin(23809090)60(150)3(6060)60(0)60314sin(4)2(1501500150)150314sin(2380)210314sin(2380)1(ieiutiuetteieeiiuuiueeu滞后故相位差超前故相位差滞后故相位差解：正弦型函数的应用例：如图，试写出正弦交流电的电动势e(V)随时间t(s)变化的表达式，并求出t=0时的初始值e0sradTTVEtEeetemm/42819100)sin(角速度周期则电动势的最大值的表达式为型函数关系，故电动势的变化满足正弦随时间解：电动势43,0,232431)43sin(,1003得取即时，当kZkketVetttEem7.7025043sin100,0)434sin(100)sin(0时当正弦型函数的应用1、将一个悬挂在弹簧上的小球从平衡位置向下拉0.2m的距离，小球在t=0时被放开开始振动，小球在1s后又回到这一位置。（1）若小球运动的函数为正弦型函数，求其表达式（2）求当t=6.5s时小球所在的位置。2、已知正弦型交流电i1=6sin(314t-1200)，i2=8sin(314t+1200)，求：（1）i1与i2的最大值、有效值、角速度、频率、周期、初相位；（2）t=0时i1和i2的电流值i01、i02；（3）i1与i2的相位关系3、交流电的电压u(V)随时间t(s)按正弦型曲线的规律变化，如图所示，求交流电压的最大值、周期和初相位。