5第五章---结构的内力、应力计算

第五章结构的内力、应力计算§5–1概述§5–2轴向拉伸与压缩§5–3剪切与挤压§5–4扭转§5–5弯曲内力§5–6强度理论第一节概述•物体在受到外力作用而变形时，其内部各质点间的相对位置将有变化。与此同时，各质点间相互作用的力也发生了改变。这种由外力作用而引起的受力构件内部质点之间相互作用力的该变量称为内力。•内力分析是解决构件强度，刚度与稳定性问题的基础。第一节概述•内力的计算方法主要采用截面法。截面法可用“截开、代替、平衡”六个字来描述：1.截开----在所求内力的截面处截开，任取一部分作为隔离体；隔离体与其周围的约束要全部截断。2.代替----用截面内力代替该截面的应力之和；用相应的约束力代替截断约束。3.平衡----利用隔离体的平衡条件，确定该截面的内力。应力的概念:比较a、b图杆两杆①应力定义：截面上一点处内力的聚集程度FmmFNFFmmFNF)(a)(b两杆的材料、长度均相同。所受的内力相同，为FN显然粗杆更为安全。构杆的强度与内力在截面上的分布和在某点处的聚集程度有关。一、应力是反映一点处内力的强弱程度的基本量2应力的概念•一点的应力：当面积趋于零时，平均应力的大小和方向都将趋于一定极限，得到dAdFAFplim0A应力的国际单位为Pa1N/m2=1Pa（帕斯卡）1MPa=106Pa1GPa=109Pa应力总量P可以分解成:垂直于截面的分量σ－－正应力平行于截面的分量τ－－切应力应力目录A4F3FFC4F3FpCAFpm平均应力:某范围内单位面积上内力的平均集度杆原长为l，直径为d。受一对轴向拉力F的作用，发生变形。变形后杆长为l1，直径为d1。其中：拉应变为正，压应变为负。lllll1轴向(纵向)应变：研究一点的线应变：取单元体积为Δx×Δy×Δzxxxxxxddlim0该点沿x轴方向的线应变为：x方向原长为Δx，变形后其长度改变量为Δδx应变Oxyzx横向应变：ddddd1'GPaE200钢的弹性模量：GPaE120铜的弹性模量：四、虎克定律——应力应变之间的相互关系实验结果表明：在弹性范围内加载，正应力与正应变存在线性关系：——虎克定律E称为材料的弹性模量E实验结果表明：在弹性范围内加载，切应力与切应变存在线性关系：——剪切虎克定律G称为材料的切变模量,也称剪切弹性模量GGPaG80钢的切变模量：一点的应力与一点的应变之间存在对应的关系单向正应力作用下的变形切应力作用下的变形切应力互等定理第二节轴向拉伸与压缩•工程中有很多构件，除连接部分外都是等直杆，作用于杆上的外力（或合外力）的作用线重合。等直杆在这种受力情况下，其主要变形是纵向伸长或缩短。这种变形形式就是轴向拉伸或压缩。这类构件称为拉（压）杆。拉杆压杆FFFF第二节轴向拉伸与压缩一、轴向拉压杆的内力（轴力）其作用线与杆的轴线重合,用符号ＦＮ表示FF、切开；1、代力；2NFNF、平衡。3FFN第二节轴向拉伸与压缩•轴力的箭头背离截面为拉力，对应杆段伸长；轴力的箭头指向截面为压力，对应杆段缩短。NFNFNF拉力为正NFNFNF压力为负20KN20KN40KN112220KN20KN1NF01NF20KN20KN40KN112NFkNFN402例：一直杆受力如图示,试求1-1和2-2截面上的轴力。求图示直杆1-1和2-2截面上的轴力FF2F2F1122F2F22F第二节轴向拉伸与压缩•当杆受到多个轴向外力作用时，在杆的不同横截面上的轴力将各不相同。为了表明横截面上的轴力随横截面位置而变化的情况，可用平行于杆轴线的坐标表示横截面的位置，用垂直于杆轴线的坐标表示横截面上的轴力的数值，从而绘出表示轴力与截面位置关系的图线，称为轴力图。第二节轴向拉伸与压缩•轴力图表示轴力与截面位置关系的图形。•习惯上将正值的轴力画在上侧，负值画在下侧。•轴力只与外力有关，截面形状变化不会改变轴力大小。F2FF2F2F例题FAB113F22C2F4KN9KN3KN2KN4KN5KN2KNF2F150kN100kN50kNFN+作图示杆件的轴力图，并指出|FN|maxIIIIII|FN|max=100kNFN2=100kN100kNIIIIFN2FN1=50kNIFN1I50kN50kN100kN图示砖柱，高h=3.5m，横截面面积A=370×370mm2，砖砌体的容重γ=18KN/m3。柱顶受有轴向压力F=50KN，试做此砖柱的轴力图。y350FnnAyGFFNy0NyFAyFyAyFFNy46.2505058.6kNFF11221122假设：①平面假设②横截面上各点处仅存在正应力并沿截面均匀分布。AFAFN拉应力为正，压应力为负。对于等直杆当有多段轴力时，最大轴力所对应的截面-----危险截面。危险截面上的正应力----最大工作应力AFmax,NmaxFNFFNF拉压杆横截面上的应力FN:横截面上的轴力A：横截面的面积横截面----是指垂直杆轴线方向的截面；斜截面----是指任意方位的截面。5kN|N|max=5kNN2kN1kN1kN++f20f10f302kN4kN6kN3kN113322做轴力图并求各个截面应力2kNMPa8.2)1030(4102ANMPa7.12)1010(4101ANMPa9.15)1020(4105AN233333233222233111f20f10f302kN4kN6kN3kN试计算图示杆件1-1、2-2、和3-3截面上正应力.已知横截面面积A=2×103mm220KN20KN40KN40KN332211例题20kN40kNMPa1011022MPa2033FFFNFppcoscos0AFp2coscosp2sin2sin0p①全应力：②正应力：③切应力：1）α=00时，σmax＝σ2）α＝450时，τmax=σ/2拉压杆斜截面上的应力三、轴向拉压杆的强度计算1.拉压杆的强度计算max强度条件AFNmax强度计算的三类问题：(1)、强度校核AFNmax(2)、截面设计maxNFA(3)、确定许用荷载AFNmax一钢制直杆受力如图所示，已知[]=160MPa,σ21300mmA22140mmA=试校核此杆的强度。解：（1）运用截面法计算出杆件各段的轴力，并作出轴力图如图所示。（2）计算杆件的最大工作应力，并校核强度。由于本题杆件为变截面、变轴力，所以应分段计算。AB段]σ[)(200102103001060σ8631拉MPaPaAFNABAB]σ[143101401020σ632压MPaAFNBCBCBC段因为AB段不能满足强度条件，所以杆件强度不够。CD段]σ[)(100103001030σ6-31拉MPaAFNCDAB一根由Q235钢制成的圆形截面等直杆，受轴向拉力P=20kN的作用，已知直杆的直径为D=15mm，材料的容许应力为[]=160MPa，试校核杆件的强度。σ解：由截面法可知，该杆的轴向力为N=P=20kN（拉），杆的横截面面积为26-2107.1764πmDAMPaMPaAFN160]σ[2.113107.1761020σ6-3杆件满足强度要求。圆截面等直杆沿轴向受力如图示，材料为铸铁，抗拉许用应力＝60Mpa，抗压许用应力＝120MPa，设计横截面直径。ct20KN20KN30KN30KN20KN例题30KNtd41020213mmdt6.201020431mmd6.201cd41030223mmdc8.171030432mmd8.172mmd21第三节剪切与挤压(一)剪切的概念1、受力特点作用于构件某一截面（剪切面）两侧的力，大小相等、方向相反且相距很近。FFFFFFFFs2、变形特点构件的两部分沿剪切面发生相对错动。(二)剪切的强度计算假设切应力在剪切面上均匀分布，则：ssAF其中As为剪切面的面积。为名义切应力。剪切强度条件为:ssAF许用切应力[]通过试验可以得到。(一)挤压的概念1、受力特点在外力的作用下，连接件和被连接件在接触面上将相互压紧，这种局部受压的情况称为挤压。FF2、变形特点在接触处的局部区域产生塑性变形或压潰。三、挤压的强度计算(二)挤压的实用计算lhh/2bsbsbsAF假设挤压应力在挤压面上均匀分布，则：其中Abs为挤压面的计算面积。挤压强度条件为:bsbsbsbsAF当接触面为平面时，Abs就是接触面的面积；2/bslhA当接触面为圆柱面时（如铆钉与钉孔间的接触面），Abs应取圆孔或圆钉的直径平面面积。dlAbs例：拖车挂钩用销钉连接，已知挂钩部分的钢板厚度t=8mm,销钉的材料为20钢，其许用切应力[]=60MPa，许用挤压应力[σbs]=100MPa，拖车的拉力F=18KN。试选择销钉的直径。解：取销钉为研究对象，其受力如图。①按剪切强度条件进行设计销钉有两个剪切面，这种情况称为双剪。s9kN2FF由剪切强度条件42ssdFAF3s644(910N)13.8mm3.14(6010Pa)Fd②按挤压强度条件进行设计销钉的挤压面的计算面积dtAbs挤压力为2bsFF由挤压强度条件3bsbsbs33bs1810N81.5MPa22(810m)(13.810m)FFAdt销钉的挤压强度满足。综合考虑剪切和挤压强度，选用d=14mm的销钉。lhh/2FF轴齿轮键h/2例：一减速机上齿轮与轴通过平键连接。已知键受外力F=12KN，所用平键的尺寸为b=28mm,h=6mm,l=60mm,键的许用切应力[]=87MPa，许用挤压应力[σbs]=100MPa.试校核销键的强度。①校核剪切强度3s1210N7.14MPa(0.028m)(0.06m)FFAbl②校核挤压强度3bsbsbs2bs1210N25MPa0.0080.06m2FFhAl所以满足强度校核。四、应力集中Dd/2d/2rmaxnomDdrmaxnom构件几何形状不连续应力集中：几何形状不连续处应力局部增大的现象。应力集中与杆件的尺寸和所用的材料无关，仅取决于截面突变处几何参数的比值。drdrDdor应力集中程度与外形的骤变程度直接相关，骤变越剧烈，应力集中程度越剧烈。静载下，塑性材料可不考虑，脆性材料（除特殊的，如铸铁）应考虑。动载下，塑性和脆性材料均需考虑。理想应力集中系数:nommaxk其中：----最大局部应力----名义应力（平均应力）nommax第五节弯曲内力受力特点：力偶或外力作用垂直于轴线。变形特点：杆件的轴线由直线变为曲线。弯曲为主要变形的杆称为梁。MMFRARB梁按支承方法的分类悬臂梁简支梁外伸梁固定梁连续梁半固定梁弯曲内力•以弯曲为主要变形的杆件，通常称为梁。梁是一类常用的构件几乎在工程中都占有重要地位。•静定梁：支座反力可以由静力平衡方程来求解的梁。•超静定梁：支座反力仅由静力平衡方程不能求解的梁。A端B端杆端内力FQABFNABMAB正FNBAFQBAMBA正轴力和剪力图可绘在杆件的任一侧，但需标明正负号。弯矩图习惯绘在杆件受拉的一侧，不需标正负号。截面的内力分量及正负号的规定轴力FN—拉力为正剪力FQ—使隔离体顺时针方向转动者为正弯矩M—使梁的下侧纤维受拉者为正①剪力—平行于横截面的内力，符号：FS，正负号规定：剪力以绕隔离体顺时针方向转动者为正，反之为负。（使梁有左上右下错动趋势的剪力为正，反之为负）。MMMMFSFSFSFS②弯矩—绕截