高三数学-专题6-三角恒等变换与解三角形练习

专题6：三角恒等变换与解三角形（两课时）一、前测训练1．(1)已知cos(α＋π6)＝13，α∈(0，π2)，则cosα＝；sin(α＋π3)＝；，cos(2α＋π6)＝．答案：16（3＋22）；13；16（22－3）(2)已知cos(π4＋x)＝35，17π12＜x＜7π4，则xxxtan1sin22sin2＝．答案：2875(3)10cos1)10tan31(80sin50sin2＝．答案：2(4)已知tan(π4＋)＝12．则2cos1cos2sin2＝．答案：－562．(1)在△ABC中，b＝3，B＝60°，c＝1，则C＝；a＝．答案：300；2(2)在△ABC中，A＝1200，a＝7，b＋c＝8，则b＝；c＝．答案：3或5；5或3(3)如图，在四边形ABCD中，已知ADCD，AD＝10，AB＝14，BDA＝60，BCD＝135，则BC＝.答案：823．(1)在△ABC中，acosA＝bcosB，则△ABC的形状为．答案：等腰或直角三角形(2)在△ABC中，sinA＝2cosBsinC，则△ABC的形状为．答案：等腰三角形二、方法联想1．三角变换基本想法(1)角：观察角的联系，实现角的统一．(2)名：弦切互化，异名化同名．形：公式变形与逆用．幂：平方降幂，根式升幂．解题前先观察角的联系，分析角的变化，实现角的统一，从而决定解题方向，再结合三角函数名、公式的变形、幂的升降，做出公式的选择．注意判断角的范围，确定三角函数值的正负或角的值．若在已知范围内不能确定时，利用三角函数值的正负或大小来缩小角的范围．2．三角形中边角计算方法正、余弦定理的本质是六个量中四个量可以建立一些关系式，如涉及三边一角考虑用余弦定理，两边两角考虑用正弦定理．3．边角转化、角角转化方法关于含有边角的关系式，利用(1)a＝2RsinA，b＝2RsinB，c＝2RsinC或(2)cosA＝b2＋c2－a22bc等进行边角互化，即边化角或角化边．方法角角转化，即利用A＋B＋C＝π消元实现三角化两角，若已知一个角，可以将两角化一角．三、例题分析[第一层次]例1、在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知cosA-2cosC2c-a=cosBb.(1)求sinsinCA的值；(2)若cosB=14，△ABC的周长为5，求b的大小．解(1)sinsinCA=2.(2)b=2.〖教学建议〗（1)主要问题归类与方法：边角互化问题①利用a＝2RsinA，b＝2RsinB，c＝2RsinC将边化为角；②利用cosA＝b2＋c2－a22bc等将余弦化为边；③ccosB＋bcosC＝a等化角为边．方法选择与优化建议：1、对于等式cosA-2cosC2c-a=cosBb的右边，我们可以选择方法①，化变为角，推导出sin2sinCA；2、利用cosA＝b2＋c2－a22bc等将等式cosA-2cosC2c-a=cosBb的左边余弦化为边来做，运算量较大，所以不选择方法②．3、等式cosA-2cosC2c-a=cosBb可以化为bcosA＋acosB＝2(bcosC+ccosB),即c=2a,，所以可以选择方法③．(2)主要问题归类与方法：求边长①利用正弦定理求边；②利用余弦定理求边．方法选择与优化建议：因为从第一问已经可以得到c=2a，又a＋b＋c＝5，所以三边可以转化为只含有一个未知量b,利用减元消元解方程的方法解决问题，因此选择方法②的余弦定理解决问题比较方便．例2已知函数f(x)＝2cos2x＋23sinxcosx．（1）求函数f(x)在[－6，3]上的值域；（2）在△ABC中，若f(C)＝2，2sinB＝cos(A－C)－cos(A＋C)，求tanA的值．解（1）函数f(x)在[－6，3]上的值域为[0，3]．（2）tanA＝3＋32．〖教学建议〗（1)主要问题归类与方法：将已知函数转化为函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)+b的形式，使此函数变为只含有一个三角名称的一次三角函数．方法选择与优化建议：平方降幂，将2次变为1次；角统一，化为只含有一个角的三角函数；注意利用角的范围来确定函数的值域，防止学生求值域时只是代入两个端点．（2）主要问题归类与方法：三角形中求某一个角的三角函数值，①正弦定理②余弦定理③三角恒等变形方法选择与优化建议：本题没有边的的条件，所以方法①②不作考虑；注意到角C已知，又A＋B＋C＝π，因此本题可化为只有一个只有未知角A；利用第第二个条件2sinB＝cos(A－C)－cos(A＋C)，化为只有一个未知量角A的方程解决．例3如图所示，在半径为2、圆心为45的扇形AB弧上任取一点P，作扇形的内接平行四边形PNMQ，使点Q在OA上，点M，N在OB上，设∠BOP＝θ,平行四边形PNMQ的面积为s．(1)求这s与之间的函数关系；(2)求s的最大值及相应的的值．解（1）S=(2cos2sin)2sin=24sincos4sin,(0,)4（2）当8时，max222s〖教学建议〗（1)主要问题归类与方法：①平行四边形PNMQ的面积＝MN·QMsin∠QMN；②平行四边形PNMQ的面积＝MN·h(h为MN边上的高)方法选择与优化建议：MN、QM、∠QMN不好表示，所以方法①不作选择；方法②实际上就是分别过点P、Q作,QPDOBEOB垂足分别为D、E，将平行四边形PNMQ转化为矩形PDEQ，这个问题就可以仿照苏教版《数学》（必修4）中的习题解法求解．（2)主要问题归类与方法：转化为函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)+b的形式，此函数只含有一个三角函数．方法选择与优化建议：化为只含有一个角的一次三角函数；注意利用角的范围来确定函数的值域，防止学生求值域时只是代入两个端点．[第二层次]例1、在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知cosA-2cosC2c-a=cosBb.(1)求sinsinCA的值；(2)若cosB=14，△ABC的周长为5，求b的大小．解(1)sinsinCA=2.(2)b=2.〖教学建议〗（1)主要问题归类与方法：边角互化问题①利用a＝2RsinA，b＝2RsinB，c＝2RsinC将边化为角；②利用cosA＝b2＋c2－a22bc等将余弦化为边；③ccosB＋bcosC＝a等化角为边．方法选择与优化建议：1、对于等式cosA-2cosC2c-a=cosBb的右边，我们可以选择方法①，化变为角，推导出sin2sinCA；2、利用cosA＝b2＋c2－a22bc等将等式cosA-2cosC2c-a=cosBb的左边余弦化为边来做，运算量较大，所以不选择方法②．3、等式cosA-2cosC2c-a=cosBb可以化为bcosA＋acosB＝2(bcosC+ccosB),即c=2a,，所以可以选择方法③．(2)主要问题归类与方法：求边长①利用正弦定理求边；②利用余弦定理求边．方法选择与优化建议：因为从第一问已经可以得到c=2a，又a＋b＋c＝5，所以三边可以转化为只含有一个未知量b,利用减元消元解方程的方法解决问题，因此选择方法②的余弦定理解决问题比较方便．例2已知函数f(x)＝2cos2x＋23sinxcosx．（1）求函数f(x)在[－6，3]上的值域；（2）在△ABC中，若f(C)＝2，2sinB＝cos(A－C)－cos(A＋C)，求tanA的值．解（1）函数f(x)在[－6，3]上的值域为[0，3]．（2）tanA＝3＋32．〖教学建议〗（1)主要问题归类与方法：将已知函数转化为函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)+b的形式，使此函数变为只含有一个三角名称的一次三角函数．方法选择与优化建议：平方降幂，将2次变为1次；角统一，化为只含有一个角的三角函数；注意利用角的范围来确定函数的值域，防止学生求值域时只是代入两个端点．（2）主要问题归类与方法：三角形中求某一个角的三角函数值，①正弦定理②余弦定理③三角恒等变形方法选择与优化建议：本题没有边的的条件，所以方法①②不作考虑；注意到角C已知，又A＋B＋C＝π，因此本题可化为只有一个只有未知角A；利用第第二个条件2sinB＝cos(A－C)－cos(A＋C)，化为只有一个未知量角A的方程解决．例3、已知△ABC的面积为S，且ABACS．（1）求tan2A的值；（2）若4B，3CBCA，求△ABC的面积S．解（1）34tan1tan22tan2AAA.(2)3．〖教学建议〗（1)主要问题归类与方法：向量的数量积表示有两种方法，①是数量积的定义，②是数量积的坐标表示．方法选择与优化建议：本题中没有涉及到向量的坐标，同时还需要表示三角形的面积，所以选择方法①．（2）主要问题归类与方法：求三角形的面积问题计算三角形的面积需要三个条件，①已知两条边一夹角；②已知三条边；③已知一条边以及此边上的高等等．方法选择与优化建议：已经知道了两个角一条边，以上的三个方法都可以解决问题，但相对而言，方法①的运算量较小．[第三层次]例1、已知α，β∈(0，π)，且tanα＝2，cosβ＝－7210．（1）求cos2α的值；（2）求2α－β的值．解（1）cos2α＝－35．（2）2α－β＝－π4．〖教学建议〗（1)主要问题归类与方法：问题1、cos2α＝cos2α－sin2α＝2cos2α－1＝1－2sin2α问题2、由于cos2α＝cos2α－sin2α，这可以化为tanα的齐次式．方法选择与优化建议：对于问题1，选择以上三个公式中的任何一个都可以，但在从α∈(0，π)，tanα＝2求cosα、sinα时要注意判断它们的符号．对于问题2，os2α＝cos2α－sin2α＝cos2α－sin2αsin2α＋cos2α＝1－tan2αtan2α＋1，处理起来更加便捷．（2)主要问题归类与方法：求角的问题求角就需要选择一个关于2α－β的三角函数，它可以是正弦、余弦，也可以是正切，关键在于这个三角函数值可以求。另外，2α－β的范围不仅影响角的结果，也影响着选择正弦、余弦、正切中的哪个三角函数．方法选择与优化建议：通过推理，我们得到2α－β∈(－π2，π2)，所以可以选择计算sin(2α－β)值，也可以选择计算tan(2α－β)的值，但不宜选择计算cos(2α－β)，因为在(－π2，π2)上，正弦函数、正切函数都是单调的，而余弦函数却是不单调的．例2设ABC的内角,,ABC的对边分别为,,abc,且()()abcabcac.(1)求B；(2)若31sinsin4AC,求C．解(1)0120B.(2)015C或045C.点评：求角一般要先求值，即求出该角的某一个三角函数值，但求哪一个三角值，要根据条件选择；由值求角，要注意角的取值范围，有时会有多个角．〖教学建议〗主要问题归类与方法：在三角形中求角的大小通常①利用正弦定理，利用已知的两边一对角，求另外一个对角；②是利用余弦定理，已知三条边求任意一个角．方法选择与优化建议：条件()()abcabcac可化为222acbac，所以选择方法②余弦定理可以直接得到角B的大小．（2)主要问题归类与方法：在三角形中求角的大小①由第一问，我们已经得到了0120B，所以060AC，060AC，代入到条件中去，求解关于角C的方程，利求得角C的某个三角函数值；②从01cos()cos602AC，以及31sinsin4AC，可以求得cos()AC，进而得到角C的大小．方法选择与优化建议：方法①代入后化归为03sin(230)2C，这个解法虽然比较麻烦，但是多数学生会采取这个方法，它符合学生的正常思维．方法②解法简洁，但是学生不太容易想到计算cos()AC的值．方法①值得学生选择并掌握．例3在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知cosA-2cosC2c-a=cosBb.(1)求sinsinCA的值；(2)若cosB=14，△ABC的周长为5，求b的大小．解(