高等数学上册第五章

§5.1定积分概念与性质二、定积分定义三、定积分的性质一、定积分问题举例iinibaxfxxf)(limd)(10作和iinixf)(1二、定积分定义定积分的定义•在小区间[xi1xi]上任取一点i(i12n)max{x1x2xn}记xixixi1(i12n)ax0x1x2xn1xnb•在区间[ab]内插入分点:设函数f(x)在区间[ab]上有界•如果当0时上述和式的极限存在且极限值与区间[ab]的分法和i的取法无关则称这个极限为函数f(x)在区间[ab]上的定积分记作baxxfd)(即上的定积分记作baxxfd)(即下页定积分各部分的名称————积分符号f(x)———被积函数f(x)dx——被积表达式x————积分变量a————积分下限b————积分上限[ab]———积分区间iinixf)(1———积分和iinibaxfxxf)(limd)(10定积分的定义二、定积分定义下页函数的可积性如果函数f(x)在[ab]上的定积分存在我们就说f(x)在区间[ab]上可积定理1设f(x)在区间[ab]上连续则f(x)在[ab]上可积定理2设f(x)在区间[ab]上有界且只有有限个间断点则f(x)在[ab]上可积iinibaxfxxf)(limd)(10定积分的定义二、定积分定义下页定积分的几何意义当f(x)0时f(x)在[ab]上的定积分表示由曲线yf(x)、两条直线xa、xb与x轴所围成的曲边梯形的面积当f(x)0时f(x)在[ab]上的定积分表示由曲线yf(x)、两条直线xa、xb与x轴所围成的图形面积的负值这是因为baiiniiinibaxxfxfxfxxfd)]([)]([lim)(limd)(1010baiiniiinibaxxfxfxfxxfd)]([)]([lim)(limd)(1010baiiniiinibaxxfxfxfxxfd)]([)]([lim)(limd)(1010baiiniiinibaxxfxfxfxxfd)]([)]([lim)(limd)(1010下页三、定积分的性质两点规定(1)当ab时0d)(baxxf(2)当ab时abbaxxfxxfd)(d)(下页三、定积分的性质性质1bababaxxgxxfxxgxfd)(d)(d)]()([下页性质3bccabaxxfxxfxxfd)(d)(d)(注:值得注意的是不论abc的相对位置如何上式总成立三、定积分的性质性质1bababaxxgxxfxxgxfd)(d)(d)]()([性质2babaxxfkxxkfd)(d)(下页三、定积分的性质性质3bccabaxxfxxfxxfd)(d)(d)(性质1bababaxxgxxfxxgxfd)(d)(d)]()([性质2babaxxfkxxkfd)(d)(性质4abxxbabadd1下页推论1如果在区间[ab]上f(x)g(x)则这是因为g(x)f(x)0从而如果在区间[ab]上f(x)0则性质5baxxf0d)((ab)babaxxgxxfd)(d)((ab)bababaxxfxgxxfxxg0d)]()([d)(d)(所以babaxxgxxfd)(d)(下页这是因为|f(x)|f(x)|f(x)|所以baxxf0d)((ab)babaxxgxxfd)(d)((ab)推论2babaxxfxxfd|)(||d)(|(ab)推论1如果在区间[ab]上f(x)g(x)则如果在区间[ab]上f(x)0则性质5bababaxxfxxfxxfd|)(|d)(d|)(|即babaxxfxxfd|)(||d)(|下页baxxf0d)((ab)babaxxgxxfd)(d)((ab)推论2babaxxfxxfd|)(||d)(|(ab)推论1如果在区间[ab]上f(x)g(x)则如果在区间[ab]上f(x)0则性质5性质6设M及m分别是函数f(x)在区间[ab]上的最大值及最小值则baabMxxfabm)(d)()((ab)下页如果函数f(x)在闭区间[ab]上连续则在积分区间[ab]上至少存在一个点使下式成立:性质7(定积分中值定理)——积分中值公式baabfxxf))((d)(结束§5.2微积分基本公式积分上限的函数及其导数牛顿莱布尼茨公式如果函数f(x)在区间[ab]上连续则函数xxfxxad)()(在[ab]上具有导数并且它的导数为)(d)(dd)(xfttfxxxa(axb)二、积分上限的函数及其导数积分上限的函数定理1(积分上限函数的导数)为积分上限的函数设函数f(x)在区间[ab]上连续x[ab]我们称xxfxad)(或ttfxad)(下页定理2(原函数存在定理)如果函数f(x)在区间[ab]上连续则函数xxfxxad)()(就是f(x)在[ab]上的一个原函数首页例1、求下列函数的导数。变限积分求导)(d)(ddxattfx)()]([xxf练习练习求下列极限三、牛顿莱布尼茨公式定理3(牛顿莱布尼茨公式)若F(x)是连续函数f(x)在区间[ab]上的一个原函数则)()(d)(aFbFxxfba下页若F(x)是f(x)的原函数则)()()]([d)(aFbFxFxxfbaba例3计算102dxx解由于331x是x2的一个原函数所以31031131]31[d33103102xxx解由于arctanx是211x的一个原函数所以π127)4π(3π解由于331x是x2的一个原函数所以31031131]31[d33103102xxx31031131]31[d33103102xxx解由于arctanx是211x的一个原函数所以31231][arctan1dxxx)1arctan(3arctan下页例4计算2311dxx321darctan1xxx31130=3x例4.计算其中§5.3定积分的换元法和分部积分法一、定积分的换元法二、定积分的分部积分法换元积分法分部积分法定积分换元积分法分部积分法不定积分一、定积分的换元法tttfxxfbad)()]([d)(假设函数f(x)在区间[ab]上连续函数x(t)满足条件:(1)()a()b(2)(t)在[](或[])上具有连续导数且其值域不越出[ab]则有定理(换元积分法)下页说明:1)当,即区间换为，时],[定理1仍成立.3)换元公式也可反过来使用,即))((tx令xxfbad)()(t)(dt配元不换限)(t)(t)(t)(t)(t)(t2)必需注意换元必换限,原函数中的变量不必代回.例1.计算tttfxxftxbad)()]([d)()(令(当xa时t当xb时t)提示:tttfxxftxbad)()]([d)()(令(当xa时t当xb时t)例2计算xxxdsincos502π解xxxxxcosdcosdsincos50502π2π61]61[dd106105015costtttttx令当x0时t1当2πx时t0当x0时t1当2πx时t0解xxxxxcosdcosdsincos50502π2π解xxxxxcosdcosdsincos50502π2π61]61[dd106105015costtttttx令61]61[dd106105015costtttttx令61]61[dd106105015costtttttx令61]61[dd106105015costtttttx令提示:换元一定要换积分限不换元积分限不变或xxxxxcosdcosdsincos50502π2π610cos612πcos61]cos61[66062πx610cos612πcos61]cos61[66062πx610cos612πcos61]cos61[66062πx下页讨论例5证明:若f(x)在[aa]上连续且为偶函数则aaaxxfxxf0d)(2d)(若f(x)在[aa]上连续且为奇函数问aaxxfd)(？下页计算：323cosd1xxxx二、定积分的分部积分法设函数u(x)、v(x)在区间[ab]上具有连续导数分部积分过程由(uv)uvuv得uv(uv)uv等式两端在区间[ab]上积分得这就是定积分的分部积分公式xvuuvxvubababad][d或uvuvvubababad][dxvuuvxvubababad][d或uvuvvubababad][dd][d][ddxvuuvuvuvvuxvubabababababa下页例：计算（1）分部积分过程d][d][ddxvuuvuvuvvuxvubabababababa（2）练习（1）分部积分过程d][d][ddxvuuvuvuvvuxvubabababababa（2）（3）§5.4反常积分一、无穷限的反常积分二、无界函数的反常积分一、无穷限的反常积分定义(无穷限的反常积分)在反常积分的定义式中如果极限是存在的则称此反常积分收敛否则称此反常积分发散连续函数f(x)在区间[a)上的反常积分定义为类似地连续函数f(x)在区间(b]上和在区间()的反常积分定义为xxfxxfbabad)(limd)(xxfxxfbaabd)(limd)(xxfxxfxxfbbaad)(limd)(limd)(00下页反常积分的计算如果F(x)是f(x)的原函数则有可采用如下简记形式:一、无穷限的反常积分定义(无穷限的反常积分)连续函数f(x)在区间[a)上的反常积分定义为xxfxxfbabad)(limd)(babbabaxFxxfxxf)]([limd)(limd)()()(lim)()(limaFxFaFbFxb)()(lim)]([d)(aFxFxFxxfxaababbabaxFxxfxxf)]([limd)(limd)()()(lim)()(limaFxFaFbFxb下页类似地有反常积分的计算如果F(x)是f(x)的原函数则有一、无穷限的反常积分定义(无穷限的反常积分)连续函数f(