人教版高中数学选修4-5-不等式选讲ppt课件

选修4－5不等式选讲第一节绝对值不等式•一、绝对值三角不等式•1．定理1：如果a，b是实数，则|a＋b|≤，当且仅当时，等号成立．•2．定理2：如果a，b，c是实数，则|a－c|≤，当且仅当时，等号成立．|a|＋|b|ab≥0|a－b|＋|b－c|(a－b)(b－c)≥0•二、绝对值不等式的解法•1．含绝对值的不等式|x|a与|x|a的解集•2.|ax＋b|≤c(c0)和|ax＋b|≥c(c0)型不等式的解法•(1)|ax＋b|≤c⇔.•(2)|ax＋b|≥c⇔.－c≤ax＋b≤cax＋b≥c或ax＋b≤－c•3．|x－a|＋|x－b|≥c(c0)和|x－a|＋|x－b|≤c(c0)•型不等式的解法•(1)利用绝对值不等式的几何意义求解，体现了数形结合的思想；•(2)利用“零点分段法”求解，体现了分类讨论的思想；•(3)通过构造函数，利用函数的图象求解，体现了函数与方程的思想．•1．(课本习题改编)已知2≤a≤3，－3b4，则a－|b|的取值范围是()•A．(－6,3)B．(－6,3]•C．(－6,6)D．(－6,6]•解析：∵－3b4，∴0≤|b|4，•∴a－|b|∈(－6,3]．•答案：B•2．不等式(1＋x)(1－|x|)0的解集是()•A．{x|0≤x1}B．{x|x0且x≠1}•C．{x|－1x1}D．{x|x1且x≠－1}•解析：当x0时，(1＋x)(1＋x)0，∴x0且x≠－1，•当x≥0时，(1＋x)(1－x)0，x21，－1x1，∴0≤x1，•综上所述得x1且x≠－1，故选D.•答案：D•3．(2013年青岛模拟)若不等式x2＋|2x－6|≥a对于一切实数x均成立，则实数a的最大值是()•A．7B．9•C．5D．11•解析：令f(x)＝x2＋|2x－6|，当x≥3时，f(x)＝x2＋2x－6＝(x＋1)2－7≥9；当x＜3时，f(x)＝x2－2x＋6＝(x－1)2＋5≥5.综上可知，f(x)的最小值为5，故原不等式恒成立只需a≤5即可，从而a的最大值为5.•答案：C•4．(课本习题改编)f(x)＝|2－x|＋|x－1|的最小值为________．•解析：∵|2－x|＋|x－1|≥|2－x＋x－1|＝1，•∴f(x)min＝1.•答案：1•5．(2013年西安质检)若关于x的不等式|x－a|1的解集为(1,3)，则实数a的值为________．•解析：原不等式可化为a－1xa＋1，又知其解集为(1,3)，所以通过对比可得a＝2.•答案：2•考向一绝对值不等式的解法•[例1](2012年高考课标全国卷)已知函数f(x)＝|x＋a|＋|x－2|.•(1)当a＝－3时，求不等式f(x)≥3的解集；•(2)若f(x)≤|x－4|的解集包含[1,2]，求a的取值范围．[解析](1)当a＝－3时，f(x)＝－2x＋5，x≤2，1，2x3，2x－5，x≥3.•当x≤2时，由f(x)≥3得－2x＋5≥3，解得x≤1；•当2x3时，f(x)≥3无解；•当x≥3时，由f(x)≥3得2x－5≥3，解得x≥4.•所以f(x)≥3的解集为{x|x≤1}∪{x|x≥4}．•(2)f(x)≤|x－4|⇔|x－4|－|x－2|≥|x＋a|.•当x∈[1,2]时，|x－4|－|x－2|≥|x＋a|•⇔4－x－(2－x)≥|x＋a|•⇔－2－a≤x≤2－a.•由条件得－2－a≤1且2－a≥2，即－3≤a≤0.•故满足条件的a的取值范围为[－3,0]．1．(2013年南京模拟)解不等式|x＋7|－|3x－4|＋3－22＞0.解析：原不等式化为|x＋7|－|3x－4|＋2－1＞0，当x＞43时，原不等式为x＋7－(3x－4)＋2－1＞0，得x＜5＋22，即43＜x＜5＋22；当－7≤x≤43时，原不等式为x＋7＋(3x－4)＋2－1＞0，得x＞－12－24，即－12－24＜x≤43；当x＜－7时，原不等式为－(x＋7)＋(3x－4)＋2－1＞0，得x＞6－22，与x＜－7矛盾；综上，不等式的解为－12－24＜x＜5＋22.•考向二绝对值不等式的证明[例2](2012年高考江苏卷)已知实数x，y满足：|x＋y|13，|2x－y|16，求证：|y|518.[证明]因为3|y|＝|3y|＝|2(x＋y)－(2x－y)|≤2|x＋y|＋|2x－y|，由题设知|x＋y|13，|2x－y|16，从而3|y|23＋16＝56，所以|y|518.2．(2013年临沂模拟)若a，b∈R，求证：|a＋b|1＋|a＋b|≤|a|1＋|a|＋|b|1＋|b|.证明：当|a＋b|＝0时，不等式显然成立．当|a＋b|≠0时，由0＜|a＋b|≤|a|＋|b|⇒1|a＋b|≥1|a|＋|b|，所以|a＋b|1＋|a＋b|＝11|a＋b|＋1≤11＋1|a|＋|b|＝|a|＋|b|1＋|a|＋|b|≤|a|1＋|a|＋|b|1＋|b|.•考向三绝对值不等式的综合应用•[例3]设函数f(x)＝|2x－4|＋1.•(1)画出函数y＝f(x)的图象；•(2)若不等式f(x)≤ax的解集非空，求a的取值范围．[解析](1)由于f(x)＝－2x＋5，x2，2x－3，x≥2，则函数y＝f(x)的图象如图所示．(2)由函数y＝f(x)与函数y＝ax的图象可知，当且仅当a≥12或a－2时，函数y＝f(x)与函数y＝ax的图象有交点．故不等式f(x)≤ax的解集非空时，a的取值范围为(－∞，－2)∪12，＋∞.•3．设函数f(x)＝|x－1|＋|x－2|.•(1)画出函数y＝f(x)的图象；•(2)若不等式|a＋b|＋|a－b|≥|a|f(x)(a≠0，a、b∈R)恒成立，求实数x的取值范围．•解析：(1)当x≤1时，•f(x)＝－(x－1)－(x－2)＝－2x＋3，•当1x≤2时，f(x)＝(x－1)－(x－2)＝1，•当x2时，f(x)＝(x－1)＋(x－2)＝2x－3，所以f(x)＝－2x＋3，x≤1，1，1x≤2，2x－3，x2.•图象如图所示：(2)由|a＋b|＋|a－b|≥|a|f(x)，得|a＋b|＋|a－b||a|≥f(x)．又因为|a＋b|＋|a－b||a|≥|a＋b＋a－b||a|＝2，则有2≥f(x)，解不等式2≥|x－1|＋|x－2|，得12≤x≤52.•【答题模板】含有参数的绝对值不等式•【典例】(10分)(2012年高考辽宁卷)已知f(x)＝|ax＋1|(a∈R)，不等式f(x)≤3的解集为{x|－2≤x≤1}．•(1)求a的值；(2)若fx－2fx2≤k恒成立，求k的取值范围．•【思路导析】(1)利用绝对值不等式的公式求解，注意分类讨论思想的应用；(2)构造函数，转化为函数最值问题．•【规范解答】(1)由|ax＋1|≤3得－4≤ax≤2.………………1分•又f(x)≤3的解集为{x|－2≤x≤1}，所以当a≤0时，不合题意.……………………………………………………………………3分当a0时，－4a≤x≤2a，得a＝2.………………………………………………5分(2)记h(x)＝f(x)－2fx2，…………………………………………………………………6分则h(x)＝1，x≤－1，－4x－3，－1x－12，－1，x≥－12，…………………………………………8分所以|h(x)|≤1，因此k≥1.………………………………………………………………10分•【名师点评】解含有参数的绝对值不等式时，以下几点在备考时要高度关注：•(1)要准确、熟练地利用绝对值的定义或公式法、平方法、几何意义法、零点分段讨论法等去掉绝对值．•(2)去掉绝对值的几种方法应用时各有利弊，在解只含•有一个绝对值的不等式时，用公式法较为简便；但若不等式含有多个绝对值时，则应采用分段讨论法；应用平方法时，要注意只有在不等式两边均为正的情况下才能施行．因此，我们在去绝对值符号时，用何种方法需视具体情况而定．•(3)将绝对值不等式与函数以及不等式恒成立交汇、渗透，这是命题的新动向，解题时强化函数；数形结合与转化化归思想方法的灵活应用．•1．(2012年高考广东卷)不等式|x＋2|－|x|≤1的解集为.•解析：利用零点分段讨论法解绝对值不等式．•①当x≤－2时，原不等式可化为－x－2＋x≤1，该不等式恒成立．•②当－2x0时，原不等式可化为x＋2＋x≤1，∴2x≤－1，∴x≤－12，∴－2x≤－12.③当x≥0时，原不等式可化为x＋2－x≤1，不成立．综上，原不等式的解集为xx≤－12.答案：xx≤－12•2．(2012年高考陕西卷)若存在实数x使|x－a|＋|x－1|≤3成立，则实数a的取值范围是________．•解析：利用绝对值不等式的性质求解．•∵|x－a|＋|x－1|≥|(x－a)－(x－1)|＝|a－1|，•要使|x－a|＋|x－1|≤3有解，•可使|a－1|≤3，∴－3≤a－1≤3，∴－2≤a≤4.•答案：[－2,4]本小节结束请按ESC键返回