二次函数复习讲义(整理)

提分快找品凸品凸教育1二次函数知识点复习知识点1.二次函数的定义1、一般地，如果y=ax2+bx+c（a，b，c是常数且a≠0），那么y叫做x的二次函数，它是关于自变量的次式，二次项系数必须是非零实数时才是二次函数，这也是判断函数是不是二次函数的重要依据．2、当b=c=0时，二次函数y=ax2是最简单的二次函数．练习（1）下列函数中，二次函数的是（）A．y=ax2+bx+cB。2)1()2)(2(xxxyC。xxy12D。y=x(x—1)练习（2）如果函数1)3(232mxxmymm是二次函数，那么m的值为知识点2.二次函数的图像及性质1、已知一个二次函数，确定它的图象名称、开口方向、对称轴、顶点坐标、增减范围、极值。已知条件中含二次函数开口方向或对称轴、顶点坐标、增减范围、极值，求解析中待定系数的取值。（1）、二次函数cbxaxy2的图像是对称轴平行于(包括重合)y轴的抛物线.（2）、二次函数cbxaxy2，当0a时抛物线开口向上顶点为其最低点；当0a时抛物线开口向下顶点为其最高点（3）、对于y=ax2+bx+c而言，其顶点坐标为（，）．对于y=a（x－h）2+k而言其顶点坐标为（，）。二次函数cbxaxy2用配方法或公式法（求h时可用代入法）可化成：khxay2)(的形式，其中h=,k=练习（３）抛物线1822xxy的图象的开口方向是_____,顶点坐标是____.练习（４）若抛物线232)1(2mmxxmy的最低点在x轴上，则m的值为（4）、二次函数cbxaxy2的对称轴为直线x=－2ba运用抛物线的对称性求对称轴，由于抛物线是以对称轴为轴的轴对称图形，所以对称点的连线段的垂直平分线是抛物线的对称轴，对称轴与抛物线的交点是顶点.若抛物线上有两点A（m,n）、B(p,n)的纵坐标相等,则它的对称轴为直线x=－2pm练习（５）已知A、B是抛物线243yxx上位置不同的两点，且关于抛物线的对称轴对称，则点A、B的坐标可能是_____________．（写出一对即可）（5）增减性：二次函数cbxaxy2的增减性分对称轴左右两侧描述（数形结合理解它的增减提分快找品凸品凸教育2性）若0a，当x时（在对称轴侧），y随x的增大而增大，当x时（在对称轴侧），y随x的增大而减小，若0a，当x时（在对称轴侧），y随x的增大而增大，当x时（在对称轴侧），y随x的增大而减小，练习（６）已知抛物线2yaxbxc（a＞0）的对称轴为直线1x，且经过点212yy1，，，，试比较1y和2y的大小：1y_2y（填“”，“”或“=”）练习（７）二次函数542mxxy，当2x时，y随x的增大而减小；当2x时，y随x的增大而增大。则当2x时，y的值是。（6）最大（小）值：①若顶点横坐标在自变量的取值范围内当a0时，函数有最值，并且当x=时，y最值=；当a0时，函数有最值，并且当x=时，y最值=；②若顶点横坐标不在自变量的取值范围内，只考虑在端点处是否取得最值。练习（８）二次函数y=m2x2-4x+1有最小值-3,则m等于()A.1B.-1C.±1D.±12练习（９）已知二次函数的图象(0≤x≤3)如图所示．关于该函数在所给自变量取值范围内，下列说法正确的是()A．有最小值0，有最大值3B．有最小值－1，有最大值0C．有最小值－1，有最大值3D．有最小值－1，无最大值练习（10）填表：开口方向对称轴顶点坐标最值增减性2)3(2xy+412322xxy练习（11）若二次函数2()1yxm．当x≤l时，y随x的增大而减小，则m的取值范围是（）A．m=lB．mlC．m≥lD．m≤l练习（12）、若二次函数y=ax2+bx+c的x与y的部分对应值如下表：X-7-6-5-4-3-2y-27-13-3353则当x=1时，y的值为（可用多种解法）特性函数提分快找品凸品凸教育32、画二次函数的图象：首先将一般式化为顶点式①画对称轴②确定顶点③确定与y轴交点关于对称轴对称的点④确定与x轴的交点或另选一组较简的对称点⑤连线练习（13）已知二次函数215222yxx.画出它的图象3、抛物线的平移、对称、旋转：首先化二次函数的解析式为顶点式，抓住关键点顶点的变化，顶点决定抛物线的位置.几个不同的二次函数，如果二次项系数a相同，那么抛物线的形状大小完全相同，只是顶点的位置不同.反之，若几条抛物线的形状大小相同，则二次项系数a的绝对值相同。抛物线的平移、对称、旋转过程中，a的值不变。①抛物线y=ax2+bx+C向上平移n（n＞0）个单位后的解析式y=②抛物线y=ax2+bx+C向左平移n（n＞0）个单位后的解析式y=③抛物线y=ax2+bx+c关于X轴对称的抛物线解析式是（方法是将原解析式中的不变，把转换为，再整理）④抛物线y=ax2+bx+c关于Y轴对称的抛物线解析式是（方法是将原解析式中的不变，把转换为，再整理）练习（14）将抛物线23xy绕原点按顺时针方向旋转180°后，再分别向下、向右平移1个单位，此时该抛物线的解析式为（）A.1)1(32xyB.1)1(32xyC.1)1(32xyD.1)1(32xy※二次函数cbxxy2的图像向右平移3个单位，再向下平移2个单位，得到函数图像的解析式为122xxy，则b与c分别等于（）提分快找品凸品凸教育4A、6、4B、－8、14C、4、6D、－8、－144、抛物线y=ax2+bx+c的位置与参数a、b、c及相关特殊代数式的符号的关系：①a的符号判别---开口向上a0；开口向下a0；②c的符号判别---由抛物线的与Y轴的交点来确定：若交点在y轴的正半轴c0；若交点在y轴的负半轴c0；若交点在原点c0；③b的符号由对称轴来确定：（左同右异)对称轴在Y轴的左侧a、b同号；对称轴在Y轴的右侧a、b异号。④a+b+c的符号由x=1时的点的位置决定;a－b+c的符号由x=－1时的点的位置决定点（1，a+b+c）在x轴上方a+b+c0点（1，a+b+c）在x轴下方a+b+c0点（-1，a-b+c）在x轴上方a-b+c0点（-1，a-b+c）在x轴下方a-b+c0⑤b+2a的符号由对称轴与1的大小关系确定；b－2a或2a-b的符号由对称轴与-1的大小关系确定⑥△的符号由抛物线与x轴的交点个数确定0△＜个交点00=△个交点10△＞个交点2轴有抛物线与x练习（16）已知二次函数的图像如图所示，下列结论：⑴a+b+c﹤0⑵a-b+c﹥0⑶abc﹥0⑷b=2a其中正确的结论的个数是（）A1B2C3D4知识点3：确定二次函数的解析式1、二次函数解析式常用的有三种形式：(1)当已知抛物线上任意三点（题设中直接或间接给出）时，通常设一般式y＝ax2＋bx＋c形式。(2)当已知抛物线的顶点与抛物线上另一点时，通常设为顶点式y＝a(x－h)2＋k形式。(3)当已知抛物线与x轴的交点或交点横坐标时，通常设为两根式y＝a(x－x1)(x－x2)练习（17）有一个运算装置，当输入值为x时，其输出值为y，且y是x的二次函数，已知输入值为2,0,1时,相应的输出值分别为5,3,4．此二次函数的解析式是_____练习（18）抛物线与x轴一个交点的横坐标为－2，顶点为(2,8),它的关系式为练习（19）直线33xy交x轴于A点，交y轴于B点，过A、B两点的抛物线交x轴于另一点C（3,0）.抛物线的解析式为练习（20）已知抛物线2yxbxc经过点（0，－3），请你确定一个b的值，使该抛物线与x轴-11y提分快找品凸品凸教育5的一个交点在(1，0)和(3，0)之间你所确定的b的值是．练习（21）抛物线2yaxbxc上部分点的横坐标x，纵坐标y的对应值如下表：x…－2－1012…y…04664…你能得到抛物线的哪些特征？（至少写出四条）解析式是什么？知识点4：二次函数与一元二次方程1、二次函数与一元二次方程的关系：(1)二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的值等于m的自变量x的值就是一元二次方程ax2+bx+c=m(即ax2+bx+c-m=0)的解。反过来,解方程ax2+bx+c=0(a≠0)又看作已知二次函数y=ax2+bx+c值为0时求自变量x的值.(2)二次函数cbxaxy2的图象与x轴的交点的横坐标就是一元二次方程02cbxax的根．二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)与一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的关系.一元二次方程ax2+bx+c=0根的情况二次函数y=ax2+bx+c与x轴的交点情况b2-4ac0有两个不相等的根有两个不同的交点b2-4ac=0有两相等的根只有惟一的一个交点b2-4ac0无实数根无交点练习（23）二次函数2(0)yaxbxca的图象如图所示，（1）根据图象写出方程20axbxc的两个根．（2）根据图象写出不等式20axbxc的解集．（4）若方程2axbxck有两个不相等的实数根，求k的取值范围．练习（24）已知二次函数22yxxm的部分图象如图所示，则关于x的一元二次方程220xxm的解为．xy3322114112O提分快找品凸品凸教育6练习（25）已知函数2yaxbxc的图象如图所示，那么关于x的方程220axbxc的根的情况是（）A．无实数根B．有两个相等实数根C．有两个异号实数根D．有两个同号不等实数根练习（26）已知二次函数y=x2+x+m,当x取任意实数时,都有y0,则m的取值范围是()A.m≥14;B.m14;C.m≤14;D.m14练习（26）已知关于x的函数y＝（m－1）x2＋2x＋m图像与坐标轴有且只有2个交点，则m＝练习（26）已知抛物线mmxxy222的图象与x轴有两个交点为),0,(1x)0,(2x，且52221xx，m=练习（27）已知抛物线y＝－x2＋mx－m＋2.（1）若抛物线与x轴的两个交点A、B分别在原点的两侧，并且AB＝5，试求m的值；（2）设C为抛物线与y轴的交点，若抛物线上存在关于原点对称的两点M、N，并且△MNC的面积等于27，试求m的值.练习（28）如图，抛物线的对称轴是直线x=1，它与x轴交于A、B两点，与y轴交于C点，点A、C的坐标分别是（-1，0）（0，1.5）（1）求此抛物线的函数关系式。（2）若点P是此抛物线上位于x轴上方的一个动点，求三角形ABP面积的最大值。（3）问：此抛物线位于x轴的下方是否存在一点Q，，使△ABQ的面积与△ABP的面积相等？如果有，求出该点坐标，如果没有请说明理由。提分快找品凸品凸教育7知识点5：二次函数的应用：1、解决实际问题时的基本思路：(1)分析理解问题；(2)分析问题中的变量和常量；(3)设谁为自变量x，谁为函数y，，找到变量间的相等关系，用函数表达式表示出y与x之间的关系；(4)利用二次函数的有关性质进行求解；(5)检验结果的合理性，对问题加以拓展等2、二次函数常用来解决最优化问题，这类问题实际上就是求函数的最大(小)值，运用二次函数的性质求实际问题的最大为自变量，“什么”要设为函数；（2）问题的求解依靠方配法或最值公式，而不是解方程。值或最小值的一般步骤:（1）列出二次函数的解析式，并根据自变量的实际意义，确定自变量的取值范围；（2）在自变量的取值范围内，运用公式法或通过配方求出二次函数的最大值或最小值。（３）检查求得的最大值或最小值对应的自变量的值必须在自变量的取值范围内。练习（29）某宾馆客房部有60个房间供游客居住，当每个房间的定价为每天200元时，房间可以住满．当每个房间每天的定价每增加10元时，就会有一个房间空闲．对有游客入住的房间，宾馆需对每个房间每天支出20元的各种费用．设每个房间每天的定价增加x元．求：（1）房间每天的入住量y（间）关于x（元）的函数关系式．（2）该