三角函数恒等变换

二倍角公式:,tan1tan22tan2sin2α=2sinαcosα,(S2α).cos2α=cos2α-sin2α,(C2α).(T2α).因为sin2α+cos2α=1,所以公式(C2α)可以变形为cos2α=2cos2α-1,或cos2α=1-2sin2α,(C`2α).注意：T2α公式成立的条件2,.()242kkkZ引申：公式变形：2)cos(sin2sin12cos22cos12sin22cos122cos1cos222cos1sin2升幂降角公式降幂升角公式2cos2α-11-2sin2αcos2α=cos2α=21cos2cos,221cos2sin,2升幂降幂例4：化简:2sinx(sinx+cosx).sincosxbxa化为一个角的三角函数形式sincosxbxa222222sincosbabxxababa令2222cossinabbaba22sincoscossinxabx22sinabx22cosabx2.辅助角公式2.辅助角公式asinx+bcosx=sin(x+φ)，其中sinφ=,cosφ=.22ab22bab22aababtan例5:求函数y=sinx+cosx的周期,最大值和最小值.3例6.已知函数y=(sinx+cosx)2+2cos2x.(1)求它的递减区间;(2)求它的最大值和最小值.例7.(1)求函数y=3sinx+4cosx的最大值与最小值.(2)你能用a,b表示函数y=asinx+bcosx的最大值和最小值吗?规律:222222sincos(sincos)abyaxbxabxxabab222222sin()(,sin)ababxabab其中cos从而y=asinx+bcosx的最大值为22aby=asinx+bcosx的最小值为22ab注意:x∈R例613cossin,22xx已知函数f(x)=（1）求f(x)的最小正周期及最大值；（2）求f(x)的单调递增区间。解：（1）、由已知(2)()cos,2],342,2;3334,233xfxzkkkkkxkkk、令z=,由的单调递增区间为[2由2x+解得2因此，f(x)的单调递增区间为[2].cossinsin33xxf(x)=coscos(),3x()2;fxT则的最小正周期为最大值为1.5.函数y=cos4x+sin4x的最小正周期为．【解析】答案：331y3cos4xsin4x2cos4xsin4x22（）2coscos4xsinsin4x2cos4x6662T.42（）（），故2把下列各式化为一个角的三角函数形式sincos(1)231sincos22(2)sincos44xx26(3)44。求已知cos,02,534sin)3(sin10433【通关题组】1.(2011·新课标全国卷)设函数f(x)=则()A.y=f(x)在(0,)内单调递增，其图象关于直线x=对称B.y=f(x)在(0,)内单调递增，其图象关于直线x=对称C.y=f(x)在(0,)内单调递减，其图象关于直线x=对称D.y=f(x)在(0,)内单调递减，其图象关于直线x=对称sin2xcos2x)44（）（，22222244【解析】选D.因为f(x)=所以f(x)在(0,)内单调递减，且图象关于x=对称.sin2xcos2x)44（）（2sin2x2cos2x,44（）22明·角度命题角度1:利用三角恒等变换研究函数的图象变换【典例3】(2014·浙江高考)为了得到函数y=sin3x+cos3x的图象,可以将函数y=sin3x的图象()A.向右平移个单位B.向左平移个单位C.向右平移个单位D.向左平移个单位【解题提示】由函数y=Asin(ωx+φ)的图象平移与变换解决.2π4π4π12π12【规范解答】选D.因为y=sin3x+cos3x故只需将y=sin3x的图象向左平移个单位即可.π2sin(3x)4，2π121.化简：【解析】原式＝答案：2sin22cos.sin4＝（）22sincos2cos22cos.2sincos2＝22cos3.(2013·新课标全国卷Ⅰ)设当x=θ时,函数f(x)=sinx-2cosx取得最大值,则cosθ=.【解析】f(x)=sinx-2cosx=sin(x+φ)，其中tanφ=-2，当x+φ=2kπ+时，函数f(x)取得最大值，即θ=2kπ+-φ.所以cosθ=cos(-φ)=sinφ，又因为tanφ=-2，φ在第四象限，所以sinφ=-，即cosθ=-.答案：-52222552552552.教材改编链接教材练一练(1)(必修4P142T4(2)改编)函数y=2cos2+1的最小正周期为.【解析】因为y=2·+1=cosx+2,所以函数的最小正周期T==4π.答案:4πx4x1cos22122π122.(2013·江西高考)函数y=sin2x+2sin2x的最小正周期T为.【解析】因为y=sin2x+(1-cos2x)=sin2x-cos2x+=2sin(2x-)+,所以最小正周期T==π.答案:π3333π332π2(2)(2014·山东高考)函数y=sin2x+cos2x的最小正周期为____.【解析】因为y=sin2x+cos2x=sin2x+cos2x+=sin(2x+)+，所以T==π.答案：π3232321212π6122π2变式探究3已知函数f(x)＝2cosxsinx＋π3－3sin2x＋sinxcosx.(1)求函数f(x)的最小正周期；(2)求函数f(x)的最大值及最小值；(3)写出函数f(x)的单调递增区间；(4)证明f(x)在－π3，π12上递增．解析：f(x)＝2cosxsinx·12＋cosx·32－32(1－cos2x)＋12sin2x＝sin2x＋3cos2x－32＋32cos2x＝sin2x＋32＋32cos2x－32＋32cos2x＝sin2x＋3cos2x＝2sin2x＋π3.∴(1)T＝π.(2)f(x)max＝2，f(x)min＝－2.(3)令2kπ－π2≤2x＋π3≤2kπ＋π2，得kπ－5π12≤x≤kπ＋π12，k∈Z.∴y＝f(x)的单调递增区间为kπ－5π12，kπ＋π12，k∈Z.(4)令k＝0，可得y＝f(x)的一个单调增区间为－5π12，π12.又因为－π3，π12－5π12，π12，∴y＝f(x)在－π3，π12上单调递增.三、解答题13.已知函数f(x)=23sinxcosx+2cos2x-1(x∈R).(1)求函数f(x)的最小正周期及在区间[0,π2]上的最大值和最小值;(2)若f(x0)=65,x0∈[π4,π2],求cos2x0的值.【解析】(1)由f(x)=23sinxcosx+2cos2x-1,得f(x)=3(2sinxcosx)+(2cos2x-1)=3sin2x+cos2x=2sin(2x+π6),所以函数f(x)的最小正周期为π,因为f(x)=2sin(2x+π6)在区间[0,π6]上为增函数,在区间[π6,π2]上为减函数,又f(0)=1,f(π6)=2,f(π2)=-1,所以函数f(x)在区间[0,π2]上的最大值为2,最小值为-1.(2)由(1)可知f(x0)=2sin(2x0+π6),又因为f(x0)=65,所以sin(2x0+π6)=35,由x0∈[π4,π2],得2x0+π6∈[2π3,7π6],从而cos(2x0+π6)=-1-sin2(2𝑥0+π6)=-45,所以cos2x0=cos[(2x0+π6)-π6]=cos(2x0+π6)cosπ6+sin(2x0+π6)sinπ6=3-4310.3.(2014·天津高考)已知函数f(x)=cosx·sin(x+)-cos2x+x∈R.(1)求f(x)的最小正周期.(2)求f(x)在闭区间上的最大值和最小值.【解题提示】(1)利用三角恒等变换把函数f(x)的解析式化为Asin(ωx+φ)+t的形式,从而求最小正周期.(2)根据x的取值范围求最值.π333,4ππ,]44[－【解析】(1)由已知，有f(x)=cosx·2133(sinxcosx)3cosx224－2133sinxcosxcosx224133sin2x(1cos2x)444131πsin2xcos2xsin(2x).44232πf(x)Tπ.2－－－－所以的最小正周期maxminππ2f(x),]412ππ,].124π1π1π1f()f()f().4412244ππ11f(x),].4442ππ5πππx,],2x,446361π11π1fxsinfxsin().264222方法一：因为在区间[－－上是减函数，在区间[－上是增函数－－，－－，所以，函数在闭区间[－上的最大值为，最小值为－方法二：因为[－所以故，审题路线图列2二审结论会转换审题路线图解析温馨提醒解析温馨提醒审题路线图解析温馨提醒T＝π↓求出ω＝1审题路线图解析温馨提醒解f(x)＝32－3sin2ωx－sinωxcosωx＝32－3×1－cos2ωx2－12sin2ωx＝32cos2ωx－12sin2ωx＝－sin2ωx－π3.依题意知2π2ω＝4×π4，ω0，所以ω＝1.审题路线图6分(2)求f(x)在区间上的最大值和最小值.审题路线图解析温馨提醒π，3π2审题路线图解析温馨提醒审题路线图解析温馨提醒↓↓解由(1)知f(x)＝－sin2x－π3.当π≤x≤3π2时，5π3≤2x－π3≤8π3.所以－32≤sin2x－π3≤1.所以－1≤f(x)≤32.审题路线图解析温馨提醒10分故f(x)在区间π，3π2上的最大值和最小值分别为32和－1.审题路线图解析温馨提醒12分【典例3】(1)(2013·湖北高考)将函数y=cosx+sinx(x∈R)的图象向左平移m(m＞0)个单位长度后，所得到的图象关于y轴对称，则m的最小值是()(2)(2014·汉中模拟)函数的最小正周期等于()35A.B.C.D.12636213ysin2x3cosx22A.B.2C.D.42【规范解答】(1)选B.由已知当m=时，平移后函数为y=2sin(x+)=2cosx，其图象关于y轴对称，且此时m最小.(2)选A.y＝＝所以T＝π.31y2cosxsinx22（）2sinx3（），62133sin2x1cos2x222＋＋－13sin2xcos2xsin2x223＋＝（），3.(2011·上海高考)函数的最大值为.【解析】故函数的最大值是答案：ysinxcosx26（）（）ysinxcosx26（）（）2cosxcosxcosx(coscosxsinsinx)6663131cos2x1cosxsinxcosxsin2x2222413cos2x,264（）（）23.42344.(2012·北京高考)已知函数(1)求f(x)的定义域及最小正周期.(2)求f(x)的单调递减区间.sinxcosxsin2xfx.sinx【解析】(1)由sinx≠0，得x≠kπ,k∈Z，所以定义域为{x|x≠kπ,k∈Z