关于数学物理方法课程的若干问答-吴崇试

第30卷第5期大　学　物　理.30.52011年5月　2011　收稿日期:2010-10-27;修回日期:2011-01-05　作者简介:吴崇试(1938—),男,江苏泰州人,北京大学物理学院教授,博士生导师,一直从事理论物理的教学和科学研究工作.教学研究　　　编者按:在数学物理方法中有一些常见的重要基本问题,在已出版的教材中完全没有展开.教师在教学中对这些问题虽然偶有发现,但也无从查找明确答案.吴崇试教授在准备出版的著作中,对这些问题做了研究,给出了科学的、令人信服的答案.本刊特约吴先生针对这些问题写了如下文章,分3期刊出.我们相信本文的发表对有关教学会大有助益.关于数学物理方法课程的若干问答吴崇试(北京大学物理学院,北京　100871)摘要:围绕教学物理方法课程教学中的若干常见、然而教材中又很少展开的问题,提出了自己的见解.关键词:数学物理方法;解析函数;数学物理方程.中图分类号:411.1　　　文献标识码:　　　文章编号:1000-0712(2011)05-0001-06　　多年的数学物理方法教学生涯,在前辈如王竹溪、郭敦仁等先生的指导下,通过与同行以及学校师生的交流研讨,也包括笔者对于有关问题的研读与思考,积累了关于课程内容的一些观点与看法,它们多半都属于传统教材的篇幅之外,笔者愿意借此机会,向《大学物理》的诸位读者求教.下面列出的关于36个问题的回答,只是笔者的一孔之见,不乏谬误,欢迎各位批评指正.1　为什么不能比较复数的大小?我们知道,两个实数能够比较大小;因此,复数,作为实数的推广,如果能比较大小,则其比较的规则一定不能和实数中的规则矛盾;与之相适应的是,有关不等式的运算法则也必须与实数一致.所谓比较两个复数的大小,完全等价于定义何谓一个复数大于0(“正复数”),何谓一个复数小于0(“负复数”);而且,除了复数0之外,不允许存在既不大于0、又不小于0(即既非“正复数”又非“负复数”)的复数.根据这样的理解,我们不妨考察下列几种可供选择的比较规则:·按照实部的正、负定义“正复数”和“负复数”.这个法则明显不合要求,因为这里遗漏了纯虚数(实部为0).·按照虚部的正、负定义“正复数”和“负复数”这个法则同样明显不合要求,因为这里恰恰又遗漏了实数(虚部为0).·规定“正复数”的实部和虚部必须同时为正,但这样导出一个荒谬的后果:“正复数”自乘可以是“负复数”,只要这个复数的辐角(主值)在π/4与π/2之间.还可以尝试其它的比较规则,也都会导出明显的悖论.尽管两个复数不能比较大小,但是对于两个复数的模(它们是实数),显然可以比较大小.2　关于∞的理解在复数中,∞是一个(复)数,其模大于任意正数.之所以作如此定义,我的理解,原因之一是希望在变换=1/之下,保持(与的)一一对应关系,包括=0与=∞之间(或=∞与=0之间)的一一对应关系,部分原因也与复数不能比较大小这一结论有关.但是,复数∞,毕竟是一个特殊的复数,其特殊性至少表现在:1)所谓“全平面”并不包括∞点,除非明确称为“扩充的全平面”;2)若函数在某一点取值为∞,则该点为函数的奇点,有别于函数值为有限值的情形;3)一些概念(例如解析、留数、…)应2　　　　大　学　物　理　　第30卷用于∞点时,需要重新定义;4)适用于有限远处的结论(定理、公式)不能无条件地推广到包含有∞点的无界区域.3　应该如何定义函数在∞点的导数这或许是一个没有实际意义的问题,因为作为复变函数的核心概念,解析与解析函数的概念,对于∞点来说,与函数是否可导没有任何联系.或许正因为如此,绝大多数教材中都未涉及函数在∞点可导的定义.问题的症结在于如何定义()=在=∞的导数.显然,这个函数在有限远处的任意一点均可导,导数值为常数1.如果规定()=在=∞的导数仍为1,这当然是一个比较自然的选择.如此定义的后果就是尽管=∞是()=的奇点(一阶极点),但函数在∞仍可导.这当然也不是什么了不得的、不可接受的结论,在讨论留数概念时,我们也是面对着同样的状况:函数在∞点的留数来自该函数的正则部分,因此,函数在∞点解析,留数却可以不为0.而如果考虑到解析性的现实,硬性规定()=在∞点不可导,似乎并不是一个理想的解决办法.依我之见,要定义函数()在∞点的导数,前提是该函数在∞点的(空心)邻域内可导(否则∞点就是非孤立奇点,我们无需再追问函数在∞点是否可导),即′()存在,而后我们就根据连续性的要求,用极限※∞′()作为′(∞)的定义.这样做的实质,也就是认为在有限远处的微商法则对于∞点仍然适用.如此定义的后果就是,函数()在=∞点及其邻域内可导,但仍可不在=∞点解析.也可以尝试通过作变换=1/以来定义函数在=∞点的导数.在此变换下,=∞变为=0.我们当然不能简单地将′(∞)定义为(1/)=0,因为这违反了自变量变换下微商运算的变换规则;合理的做法是将′(∞)定义为-2(1/)=0,准确地说,可以定义为※0-2(1/).例如,对于函数()=,(1/)=1/,1/在=0并不可导,但※0-2(1/)=1存在.4　关于解析函数的中值定理“数学分析”中关于(微分)中值定理的叙述为:若一元函数在闭区间[,]上连续,在开区间(,)内可微,则存在ξ∈(,),使()-()=′(ξ)(-)这样表述的中值定理对复变函数不成立:若,是两复数,则满足要求()-()=′(ξ)(-)的ξ点不—定位于,两点的连线-上,例如,()=3+2,′()=32+2,若取=0,=,则由()-(0)=′(ξ)(-0)　即　3ξ2+2ξ=-1+解得的ξ=(-1±-2+3)/3不为纯虚数,显然不在连接0与的线段上.对于复变函数,所谓达布()中值定理成立,其内容为:若·函数()在内具有连续导数·直线段∈,的端点为与则存在λ及ζ(λ≤1,ζ∈),使()-()=λ-′(ζ)由于额外出现的λ是复数,可以起着调节作用,保证了ζ点处在直线段上.5　关于洛必达法则洛必达法则(洛必达法则是发现,而由他的学生.-.-.'ô于1696年发表.)是求∞∞或00型极限的重要法则,它将两个函数的商的极限转化为此二函数的导数的商的极限.就实函数()与()而言,若·函数,在(,)内可微·对所有∈(,),′()≠0·※+()=※+()=0或※+()=※+()=+∞(或-∞)·极限※+′()′()存在则※+()()=※+′()′()类似的结论对※-或※+∞(或-∞)也成立.而且,如果′()/′()仍是0/0或∞/∞型,仍可继续使用这个法则.洛必达法则对于解析函数仍然成立:若=0是函数()与()的零点(或极点),则※0()()=※0′()′()将()与()在=0的邻域内作幂级数展开(泰勒展开或洛朗展开),即可证明.第5期　　　　吴崇试:关于数学物理方法课程的若干问答3　　　　6　任意解析函数的围道积分均为0?一般说来,解析函数的围道积分不一定为0.要判断解析函数的围道积分是否为0,首先要明确界定围道所包围的是无界区域还是有界区域.我们知道,如果积分围道所包围的是无界区域,即使被积函数在区域内(包含∞点)解析,此围道积分也可以不为0.如果积分围道所包围的是有界区域,则又需要区分单连通区域或复连通区域.若函数()在单连通区域内解析,且围道为光滑或分段光滑的简单闭合曲线,则积分∮()一定为0.这就是单连通区域的柯西定理.而复连通区域的柯西定理告诉我们,如果函数()在复连通区域内解析,则围道积分∮()一般不为0.我们这里所说的复连通区域,总是由单连通区域内部挖去若干个“洞”而构成,函数在“洞”内不解析,或者说,函数在“洞”内有奇点.这些“洞”的形状,视奇点为(单值函数的)孤立奇点或是非孤立奇点,或是(多值函数的)枝点而定.如果含有(多值函数的)枝点,则需要作适当的割线(其效果也是将这些枝点挖去).我们不必考虑函数本来在单连通区域内就解析,而故意挖“洞”以形成复连通区域的完全人为之举.在复连通区域的情形下,如果内包含的只是孤立奇点,则可用留数定理计算∮(),无需详述.7　若∮()=0,则()在内解析这个说法当然不对.从留数定理就可以判断,即使内有奇点,只要留数为0,则仍然有∮()=0.8　在不改变求和次序的条件下,收敛级数可以并项,反过来说,能否将收敛级数的项拆为几项之和(例如=+),使得∑∞=1=∑∞=1+∑∞=1?当然不能,即使是绝对收敛级数或一致收敛级数也不能按照上述方式拆成两个或多个级数.原因是,即使级数∑∞=1收敛,并不能保证级数∑∞=1与∑∞=1收敛,甚至不能保证与都满足级数收敛的必要条件.极端例子就是取=1/,=-1/甚至=1,=-1.9　幂级数相乘后的收敛范围若幂级数∑∞=1在1内收敛(因而一定绝对收敛),幂级数∑∞=1在2内收敛(因而也一定绝对收敛),则它们的乘积∑∞=1∑∞=1在1∩2内一定收敛.不仅如此,∑∞=1∑∞=1还可以在更大的区城内收敛,甚至可以超出1∪2(准确说,乘法是在1∩2内有效,但乘积∑∞=1∑∞=1可能在更大的区域内解析).原因是幂级数的收敛范围是由其奇点决定的:在收敛区域的边界上一定有奇点(证明见..梯其玛希,《函数论》(中译本),第156-157页),但两幂级数相乘后奇异性有可能抵消.例如,如果∑∞=0=1-∑∞=012+1,　∑∞=0=1+∑∞=0它们的收敛范围分别为2与1,但它们的乘积∑∞=0∑∞=0=1-∑∞=012+11+∑∞=0=　　1-∑∞=012+1+∑∞=0-　∑∞=0∑∞=012+1+=　1-∑∞=012+1+∑∞=0-　∑∞=0∑∞=012+1=　1-∑∞=012+1+∑∞=0-　∑∞=01-12+1=　1却在全平面收敛.事实上,因为∑∞=0=1-∑∞=012+1=1-2-所以,奇点=2就决定了收敛半径1=2;同样,4　　　　大　学　物　理　　第30卷∑∞=0=1+∑∞=0=2-1-奇点=1就决定了收敛半径2=1.它们的乘积当然在全平面收敛.按照这样的思路,读者不难举例说明下列各种可能出现的情形:·级数∑∞=0∑∞=0只在1∩2内收敛;·级数∑∞=0∑∞=0在1∪2内收敛;·级数∑∞=0∑∞=0的收敛范围,大于1∩2,但小于1∪2;·级数∑∞=0∑∞=0的收敛范围超出1∪2.10　能否举出复函数级数收敛而不绝对收敛的例子?　　不难举出这类级数的例子,它们其实都和实的交错级数或调和级数有关.例如,级数∑∞=1(-)1-1+=∑∞=1(-)1-21+=∑∞=1(-)21+-1就是这样的例子.此级数在单位圆内1或单位圆外1均收敛,但并不绝对收敛.这是因为,若令=θ,则∑∞=1(-)1-1+=∑∞=111-2θ+21+2θ+2=　∑∞=111-4θ1+2θ+2其通项11-4θ1+2θ+2～11-2θ1+2θ+2由此就可以判断,原来的级数在单位圆内1或单位圆外1都不绝对收敛.收敛而不绝对收敛的级数肯定不可能是幂级数,因为幂级数在收敛圆内一定绝对收敛.11　函数在扩充的全平面上的留数和为0?只对于全平面有有限个奇点的单值函数才成立.如果函数有无穷多个奇点(例如),其留数和(无穷级数)甚至不存在(级数不收敛).如果是多值函数,即使是多值函数的—个单值分支,这个结论也不成立.从根本上说,留数概念,只适用于单值函数的孤立奇点.顺便说到,如果略去“扩充的”三字,只表述为“函数在全平面上的留数和为0”,则即使对于在全平面上有有限个奇点的单值函数,这一说法也不一定成立.12　应用留数定理计算定积分∫∞-∞()时,能否直接将此积分看成是围道积分?从原则上说,将此无穷积分看成是围道积分似乎并无不妥,因为∞点是一个点.但这样做并不具有任何实际意义,原因是:1)对于这样的积分围道,留数定理并不成立,因为作为导出留数定理的理论基础,需要用到复连通区域的柯西定理,这只适用于有界区域(这个限制来源于单连通区域柯西定理的证明,需要用到格林公式,将闭合的线积分化为面积分).2)另一方面,回到定积分本身,其定义本来就是∫∞-∞()=1※+∞2※+∞∫2-1()或其主值..∫∞-∞()=※+∞∫-()因此,在计算中自然应当首先考虑积分∫-()(因而相应地补上上半圆以构成闭合