等比数列的概念及通项公式(一)

学习目标1.掌握等比数列的定义，理解等比中项的概念．2．掌握等比数列的通项公式及推导过程．3．能应用等比数列的定义及通项公式解决问题．回顾与复习1、等差数列定义：如果一个数列从第二项开始，每一项与前一项的差等于同一个常数，这个数列叫做等差数列。数学表达式：d=an-an-1(n≥2)或d=an+1-an2、等差数列的通项公式：an=a1+(n-1)d(n∈N*)3、等差数列通项公式的推导方法：an=am+(n-m)d(n,m∈N*)归纳法累加法一、引入新课：1.细胞分裂个数组成数列:1,2,4,8,16,鬃?2.“一尺之棰,日取其半,万世不竭.”得到数列:11111,,,,,24816鬃?3.病毒感染的计算机数构成的数列:2341,20,20,20,20,鬃?（1）1，2，22，23，…观察下列数列的相邻两项，并说出它们的特点.1、定义：如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比都等于同一个常数，那么这个数列就叫做等比数列，这个常数叫做公比，记为q(q≠0).数学语言：*11(2N).nnnnaqnnaaqa且或探究：等比数列的定义1nnaaq,161,81,41,21……(2)2341,20,20,20,20,鬃?(3)名称等差数列等比数列定义如果一个数列从第2项起，每一项与前一项的差都等于同一个常数，那么这个数列叫做等差数列.这个常数叫做等差数列的公差，用d表示如果一个数列从第2项起，每一项与它前一项的比都等于同一个常数,那么这个数列叫做等比数列.这个常数叫做等比数列的公比，用q表示.课堂互动(1)1，3，9，27，81，…(3)5，5，5，5，5，5，…(4)1，-1，1，-1，1，…是,公比q=3是,公比q=x是,公比q=-1(7)2341,,,,,(0)xxxxx(2),161,81,41,21是,公比q=12观察并判断下列数列是否是等比数列:是,公比q=1(5)1，0，1，0，1，…(6)0，0，0，0，0，…不是等比数列不是等比数列1.各项不能为零,即0na2.公比不能为零,即0q4.数列a,a,a,…0a时,既是等差数列又是等比数列;0a时,只是等差数列而不是等比数列.3.当q0，各项与首项同号当q0，各项符号正负相间对等比数列的理解等比中项如果在a与b中间插入一个数G，使a，G，b成等比数列，那么G叫做a与b的等比中项。abGabG211{},,,(2).nnnnaaaan2、等比数列中相邻三项的关系)2(112naaannn思考：1、若G2＝ab，则a，G，b一定成等比数列吗？提示：不一定，若a＝G＝b＝0时，不满足．所以a，G，b成等比数列⇔G2＝ab(ab≠0)．等比数列通项公式的推导:等比数列通项公式的推导（归纳法）qaa12qqa)(1qaa2321qaqqa)(21qaa3431qa……11nnqaadaa12dnaan)1(1dda)(1daa23da21dda)2(1daa34da31……等差数列通项公式的推导(归纳法)daann1qaann1归纳法证明：21aqa=32aqa=1nnaqa-=将等式左右两边分别相乘可得：1nq化简得：11nnqaa即：11nnqaa此式对n=1也成立)(11Nnqaann∵……1nqq……12312nnaaaaaa……∴累乘法推导等比数列通项公式的推导:在等比数列｛an｝中，若已知某一项为am,公比为q,求该数列的任意项an。等比数列通项公式的推广公式：an＝amqn-m（am≠0,an≠0,m,n∈Z）+等比数列的通项公式：（n∈N﹡,q≠0）11nnaaq例如：数列{an}的首项是a1=1,公比q=2,则通项公式是：＿＿＿＿＿＿上式还可以写成nna221可见，这个等比数列的图象都在函数的图象上，如右图所示。xy22101234nan87654321····的点函数的图象上一些孤立的图象是其对应的等比数列结论na：思考：等比数列的通项公式与函数有怎样的关系？-12nna结论:等比数列的图象与指数函数之间的关系:11{}.nnnxaaaqqayqq=?=?等比数列通项公式可整理为：，它的图象是函数的图象上的孤立点巩固知识典型例题6.3等比数列31182qq，；412a4112()2nna12124813111222256aaq．58118aa，，na例1在等比数列中，13a．求81,185aa解由有（2）除以（1）得21q将代人（1），得所以，数列的通项公式为本例题求解过程中，通过两式相除求出公比的方法是研究等比数列问题的常用方法．411aq，(1)7118aq，(2)变形１、等比数列{an}中,a1=2,q=-3,求a8与an.变形2、等比数列{an}中,a1=2,a9=32,求q.变形３、等比数列{an}中,a1+a3=10,a4+a6=5/4,求q的值.变形４、等比数列{an}中,a3+a6=36,a4+a7=18,an=1/2,求n.0122222333...?例：9是等比数列，，，的第几项13?m是该数列中的项吗？若是变：，是第几项式0111222113133.nnnaqaaq，，1221933525nnn，即2，，即9为该数列的第项.11233n=2m+3nm分析：令，则解：3{}3,{}nnnnaaa例：已知的通项公式求证：是等比数列.{}31{}.:,nnnnana已知数列的前项和为S求证：数列是式等比数列变定义法，只要看1(nnaqqna是一个与无关的非零常数）1111312naS分析：当时，；111111231(31)3333323nnnnnnnnnnnaSS当时，，1112323.nnnnnaa当时，也满足121233(2).23nnnnana为常数已知数列{an}满足a1＝1，an＋1＝2an＋1.(1)求证：数列{an＋1}是等比数列；(2)求数列{an}的通项公式．【思路点拨】将递推公式变形，然后利用等比数列的定义判定．例4【解】(1)证明：因为an＋1＝2an＋1，所以an＋1＋1＝2(an＋1)．由a1＝1，知a1＋1≠0，可得an＋1≠0.所以an＋1＋1an＋1＝2(n∈N*)．所以数列{an＋1}是等比数列．(2)由(1)知，{an＋1}是以a1＋1为首项，2为公比的等比数列．所以an＋1＝2·2n－1＝2n，即an＝2n－1.【名师点评】已知数列的递推关系求通项公式时，要先判断该数列是否为等差数列或等比数列，若是等差或等比数列，则按等差或等比数列的通项公式求解；若不是等差或等比数列，一般先将递推公式变形，构造一个等差或等比数列，从而求出通项公式．变式训练已知数列{an}的前n项和为Sn，Sn＝13(an－1)(n∈N*)．(1)求a1，a2；(2)求证：数列{an}是等比数列．解：(1)由S1＝13(a1－1)，得a1＝13(a1－1)，∴a1＝－12.又S2＝13(a2－1)，即a1＋a2＝13(a2－1)，得a2＝14.(2)证明：当n≥2时，由an＝Sn－Sn－1＝13(an－1)－13(an－1－1)，得anan－1＝－12，又a2a1＝－12，所以{an}是首项为－12，公比为－12的等比数列．数列等差数列等比数列定义公差（比）定义变形通项公式一般形式小结：填写下表an+1-an=dqaann1d叫公差q叫公比an+1=an+dan+1=anqan=a1+(n-1)dan=a1qn-1an=am+(n-m)dan=amqn-mmnaadmnmnmnaaq你有什么收获？中项