一元函数积分学(微积分基本定理)

中南大学开放式精品示范课堂高等数学建设组高等数学A3.2.4牛顿莱布尼兹公式3.2定积分第3章一元函数积分学3.2定积分3.2.4牛顿莱布尼兹公式问题的提出积分上限函数及其导数Newton-Leibniz公式积分上限函数习例2-8Newton-Leibniz公式习例9-16内容小结微积分基本公式一、问题的提出变速直线运动中位置函数与速度函数的联系变速直线运动中路程为21)(TTdttv设某物体作直线运动，已知速度)(tvv是时间间隔],[21TT上t的一个连续函数，且0)(tv，求物体在这段时间内所经过的路程.另一方面这段路程可表示为)()(12TsTs).()()(1221TsTsdttvTT).()(tvts其中二、积分上限函数及其导数1.积分上限函数设函数)(xf在区间],[ba上连续，并且设x为],[ba上的一点，xadxxf)(考察定积分xadttf)(记.)()(xadttfx积分上限函数如果上限x在区间],[ba上任意变动，则对于每一个取定的x值，定积分有一个对应值，所以它在],[ba上定义了一个函数，.)()(00xadttfx且abxyo定理１如果)(xf在],[ba上连续，则积分上限的函数dttfxxa)()(在],[ba上具有导数，且它的导数是)()()(xfdttfdxdxxa)(bxa2.积分上限函数的性质xx证dttfxxxxa)()()()(xxxdttfdttfxaxxa)()()(xxdttfdttfdttfxaxxxxa)()()(,)(xxxdttf由积分中值定理得xf)(],,[xxx,,0xx且),(fxabxyoxx)(xx)(limlim)(00fxxxx).()(lim0xff结论1若f(x)在[a,b]上连续，则原函数一定存在，且xadttfx)()(就是f(x)在[a,b]上的原函数.2sin.xxex分别写出与的一个原函数解,)(22xatxdtexe的一个原函数是.sin)(sinxadtttxxx的一个原函数是例1原函数存在定理结论2).()]([)()()()(xxfdttfdttfdxdxaxa结论3).()]([)()()()(xxfdttfdttfdxdbxbx结论4).()]([)()]([)()()(xxfxxfdttfdxdxx问:?)(badxxfdxd?)(badxxfdbd积分上限函数习例.)cos(2cossin2dttdxdxx计算例.0320202dxdyxydttdtexyt的导数对所确定的隐函数求由例.,)2)(1(402求其极值点设例dxxxyx.lim521cos02xdtextx求例).()(,))(()(,],[)(6xfxFdttxtfxFbaxfxa证明上连续在若例例7设)(xf在),(内连续，且0)(xf.证明函数xxdttfdtttfxF00)()()(在),0(内为单调增加函数.例8设)(xf在]1,0[上连续，且1)(xf.证明1)(20dttfxx在]1,0[上只有一个解.解dttdxdxxcossin2)cos()(sin)sincos()(cos)coscos(22xxxxxxxxcos)sincos(sin)coscos(22.)cos(2cossin2dttdxdxx计算例解方程两边对x求导得，024222xyyey.422yyexdxdy.0320202dxdyxydttdtexyt的导数对所确定的隐函数求由例解,)2)(1(2xxy,2,1,0xxy得令x)1,(1)2,1(2),2(y00y.1x极小值点为.,)2)(1(402求其极值点设例dxxxyx00分析：这是型不定式，应用L’Hospital法则.解xxexdtexxxtx2)(coslimlim22cos021cos0xexxx2sinlim2cos0.21e.lim521cos02xdtextx求例证xaxadtttfdttfxxF)()()(xadttfxF)()()(xxf)(xxfxadttf)().()(xfxF).()(,))(()(,],[)(6xfxFdttxtfxFbaxfxa证明上连续在若例证2000)()()()()()(xxxdttfdtttfxfdttfxxfxF,)()()()(020xxdttftxdttfxf)0(,0)(xxf例7设)(xf在),(内连续，且0)(xf.证明函数xxdttfdtttfxF00)()()(在),0(内为单调增加函数.,,0)(txxf又,0)()(tftx,0)()(0xdttftx从而).0(0)(xxF故)(xF在),0(内为单调增加函数.证,1)(2)(0dttfxxFx令,]1,0[上连续在,01)0(F且10)(1)1(dttfF10)](1[dttf,0;]1,0[0)(上至少有一个解即原方程在由零点定理知xF,1)(xf又,0)(2)(xfxF)(xF在]1,0[上为单调增加函数.所以0)(xF即原方程在]1,0[上只有一个解.例8设)(xf在]1,0[上连续，且1)(xf.证明1)(20dttfxx在]1,0[上只有一个解.三、Newton-Leibniz公式定理2（微积分基本公式）如果)(xF是连续函数)(xf在区间],[ba上的一个原函数，则)()()(aFbFdxxfba.又dttfxxa)()(也是)(xf的一个原函数,已知)(xF是)(xf的一个原函数，CxxF)()(],[bax证,)()(CdttfxFxa即,)(,CaFax得令),()()(aFdttfxFxa),()()(aFdttfbFbxba得再令).()()(aFbFdttfba注意:).()()()()1(aFbFxFdxxfbaba(2)当ba时，)()()(aFbFdxxfba仍成立.).()()()()3(afbfxfdxxfbaba).()()()(aFbFxFdxxfbaba定积分计算习例例9.baxdxe计算例10.112dxx计算例11.)(,313101)(302dxxfxxxxxf求设例12.231dxx计算例13.},max{222dxxx计算例14,2110)(2xxxxxf设xdttfx0)()(求.)2,0()(,]2,0[内的连续性在并讨论上的表达式在x例15,]1,0[)(上连续且单调不增在设xf.)()(),1,0(100dxxfadxxfaa有证明对任意的例16.)()())((:22babadxxfabdxxf证明不等式例9.baxdxe计算解baxbaxedxe.abee例10.112dxx计算解1212ln1xdxx.2ln2ln1ln注意：21111112xdxx例11.)(,313101)(302dxxfxxxxxf求设解311030)()()(dxxfdxxfdxxf31102)3()1(dxxdxx312103)23()3(xxxx)213()299(0)131(.310例12.231dxx计算解322131222dxxdxxdxx3221)2()2(dxxdxx322212)22()22(xxxx.1)42()629()212()24(例13.},max{222dxxx计算解},max{)(2xxxf,21100222xxxxxx21210022dxxxdxdxx原式.211例14,2110)(2xxxxxf设xdttfx0)()(求.)2,0()(,]2,0[内的连续性在并讨论上的表达式在x解,10时当xxdttfx0)()(xdtt02;33x,21时当xxdttfx0)()(xtdtdtt1102.6122x21612103)(23xxxxx,)(,2110连续时或当xxx,313lim)(lim311xxxx而,31)612(lim)(lim211xxxx,31)1(.)2,0()(内的连续在x例15,]1,0[)(上连续且单调不增在设xf.)()(),1,0(100dxxfadxxfaa有证明对任意的证)10(,)(1)(0adxxfaaa设.)()1(10dxxf且20)()()(adxxfaafaa200)()(adxxfdxafaa20)]()([adxxfafa)0()()(axxfaf.0.)(单调递减a).1()(a故.)()(100dxxfadxxfa即例16.)()())((:22babadxxfabdxxf证明不等式证,)()())(()(22xaxadttfaxdttfxF设,0)(aF则xadttfxfxF)()(2)(xadttf)(2)()(2xfaxxadttfxf)()(2xadttf)(2xadtxf)(2xadtxftfxftf)]()()(2)([22xadtxftf2)]()([.0.)(单调递减故xF.0)()(,aFbFab时当3.微积分基本公式1.积分上限函数xadttfx)()(2.积分上限函数的导数)()(xfx)()()(aFbFdxxfba内容小结牛顿－莱布尼茨公式沟通了微分学与积分学之间的关系．,)()(,],[)(xfxFbaCxf且设则有微积分基本公式xxfbad)(积分中值定理))((abF)()(aFbF微分中值定理))((abf牛顿–莱布尼兹公式