胡海岩机械振动基础第三章课件

第3章无限自由度系统的振动12多自由度大自由度无限自由度oux,t)(()x,tfxxfNxduu+uxxdN+dxNxlxd3实际振动系统的惯性、弹性和阻尼都是连续分布的，因而称为连续系统或分布参数系统。确定连续系统中无数个质点的运动形态需要无限多个广义坐标，因此连续系统又称为无限自由度系统。研究对象:限于由均匀的、各向同性线弹性材料制成的弦、杆、轴、梁、膜以及板，简称为弹性体。43.1弹性杆的纵向振动圆轴的扭转振动弦的横向振动yxEI,l,M杆的纵向振动同类型的振动：圆轴的扭转振动弦的横向振动*振动微分方程、解法、特性相同*5弹性杆、轴和弦的振动微分方程形式相同，可用相同的方法分析。具体的步骤是：（1）分离变量将偏微分方程转化为常微分方程组;（2）由边界条件得出固有振动;（3）利用固有振型的正交性将系统解耦;（4）用振型叠加法得到系统的自由振动或受迫振动。63.1.1振动微分方程直杆的纵向振动微分方程设有长度为l的直杆，取杆的轴线作为x轴。记杆在坐标x的横截面积为A(x)、材料弹性模量为E(x)、密度为(x)，用u(x,t)表示坐标为x的截面在时刻t的纵向位移，f(x,t)是单位长度杆上分布的纵向作用力。取长为dx的杆微段为分离体，其受力分析如图。oux,t)(()x,tfxxfNxduu+uxxdN+dxNxlxd7oux,t)(()x,tfxxfNxduu+uxxdN+dxNxlxd杆的纵向应变和轴向力分别为xtxutx),(),(xtxftxNxxtxNtxNttxuxxAxd),(),(]d),(),([),(d)()(22dxxduEExStatic)()(xtxuEtxDynamic),(),(xtxuxAxEtxxAxEtxN),()()(),()()(),(根据Newton第二定律8对于均匀材料的等截面直杆，E(x)A(x)为常数222221uxttuxtxAfxt(,)(,)(,)Edef是杆内弹性纵波沿杆纵向的传播速度()()(,)[()()(,)](,)xAxuxttxExAxuxtxfxt22直杆纵向受迫振动微分方程其中9杆的自由振动22222uxttuxtx(,)(,)分离变量法:uxtUxqt(,)()()UxqtqtUx()()()()2()()()()qtqtUxUx2两端必同时等于一常数。可以证明，该常数不会为正数.（1）固有振动的形式22)()()()(xUxUtqtq10UxUxqtqt()()()()()2200Uxaxaxqtbtbt()cossin()cossin1212uxtaxaxbtbt(,)(cossin)(cossin)1212（2）固有振动的确定描述了杆纵向振动幅值沿杆长的分布杆的边界条件是杆两端对变形和轴向力的约束条件，又称作几何边界条件和动力边界条件。11a.在固定端：;b.在自由端：。0u0U0xuEANU0简单边界条件例：试求端固定,端自由的等截面直杆纵向固有振动。解：写出边界条件0xxlUUl(),()000aal1200,cosxaxaxUsincos)(2112这一函数给出了杆各截面的振幅，即杆的振动形态，故称为第r阶固有振型函数。像多自由度系统的固有振型一样，固有振型函数的值具有相对性，即可以是任意常数。不妨取式中，则有rrlr(),,1212,2,1,2)12(sinsin)(22rlxraxaxUrra2a21Uxrxlrr()sin(),,,21212uxtrxlbtbtrrrrrr(,)sin()(cossin),,,2121212求出无穷多个固有频率:cosl0由杆的固有振动解:)21(rlr13上式在时恰好对应自由杆零固有频率和刚体运动振型。此时，杆的运动有别于而两端自由杆的固有频率和固有振型函数为,2,1,sin)(,rlxrxUlrrr,2,1,)1(cos)(,)1(rlxrxUlvrrr对于两端固定杆，类似地可求出其固有频率和固有振型函数为杆的运动为r1uxtaxaxbtbt(,)(cossin)(cossin)1212uxtbbt112(,)10qtbbt112()0)()(02tqtq14xsinsin2sin3coscos2xxxxxsinsinsin22253xxcos0=1三种边界条件下杆的前3阶固有振型固有振型曲线与坐标轴的交点为节点，系统固有振动幅值在节点处为零。对于简单边界条件的杆，第r阶固有振型有r-1个节点。r115复杂边界条件a.一端装有刚度系数为k的拉压弹簧时kutEAutxkultEAultx(,)(,),(,)(,)00kUEAUkUlEAUl()(),()()00NNkuku0),(),(,0),0(),0(xtluEAtlkuxtuEAtkuuxtUxqt(,)()()--反映了杆端的轴力与弹性力（或惯性力）间平衡关系16b.一端装有集中质量m时0),(),(,0),0(),0(2222xtluEAttlumxtuEAttummUEAUmUlEAUl2200()(),()()NNumummuttEAutxmulttEAultx222200(,)(,),(,)(,))()()()(),(2tqtqtqxUtxu17例4.1.2均匀材料等截面直杆的端固定、端具有集中质量m，求其固有频率。x0xl)()(,0)0(2lUEAlUmUyxEI,lmlEAlmacossin,021xaxaxUsincos)(21固有频率方程tandefdefAlml,解：问题的边界条件为18tan10860./l23426./l36437./ltan21lAlmEAmlkmkEAl/1a.如果杆的质量相对于集中质量很小，即是杆的质量与杆端集中质量的比值。rrl/0246810-2026.4373.4260.860gtan1/F1F2F31123其中与将弹性杆视为无质量弹簧得到的单自由度系统固有频率一致。是整根杆的静拉压刚度。19b.若杆质量小于集中质量，但比值不是非常小，可取Taylor展开，将频率方程写作1tan/332213()解出并Taylor展开至二次项12122321431313()/1133lEAlmAlkmAl///STOP相当于将弹性杆视为有质量的弹簧，并用Rayleigh法计入弹簧质量后的单自由度系统固有频率。203.1.2固有振型函数的正交性xxUxUxUxUxUxUxxUxUxxUxUlsrrsllrsllrsrsrd)()()()()(d)(d)()(d)()()(000002UxUxrrr()()()200)()0(lUU固定边界:0)(')0('lUU自由边界:)()()()()(2xUxUxUxUrsrsrllsrsrrxxUxUxxUxU002d)()(d)()()((a)21lsrsrxxUxU02220d)()((a)-(b)同理可得llrsrssxxUxUxxUxU002d)()(d)()()((b)llsrsrrxxUxUxxUxU002d)()(d)()()((a)lsrsrxxUxU00d)()(lsrsrxxUxU00d)()(rs杆的固有频率互异22杆的固有振型函数正交关系，它们分别反映了不同阶次固有振动间既无动能交换又无势能交换.当时，定义杆的第r阶模态质量和模态刚度为rsxxAUMlrdefrd)(02rrrKMr212,,,它们的大小取决于如何对固有振型函数归一化，但其比值总满足:lsrsrxxUxU00d)()(lsrsrxxUxU00d)()(,2,1,d)]([02rxxUEAKlrdefr23更一般地，若杆在端有弹簧和集中质量、在端有弹簧、集中质量，按能量互不交换原则可写出固有振型正交关系对于端点固定或自由的非均匀变截面直杆，其固有振型的加权正交关系式为()()()()()()()()xAxUxUxxMExAxUxUxxKrsrrslrsrrsldd00x0k1m1xlk2m2()()()()()()()()()()()()()()()()xAxUxUxxmUUmUlUlMExAxUxUxxkUUkUlUlKrsrsrsrrslrsrsrsrrsldd1201200000正交性的物理意义：在第r阶振型上的弹性力和惯性力不会在第s阶振型上作功，反之亦然。243.2圆轴扭转振动微分方程Ixp()Gx()材料剪切模量:截面极惯性矩:密度:()x(外扭矩分布)Mxte(,)dx(,)xt),(txMtxxtxMtxMttd),(),(圆轴的扭转角应变和扭矩分别为xtxxIxGtxxIxGtxMxtxtxpptgg),()()(),()()(),(,),(),(25()()(,)[()()(,)](,)xIxxttxGxIxxtxMxtppe22222221(,)~(,)(,)xttxtxIMxtpe~defG是轴内剪切弹性波沿轴纵向的传播速度。根据动量矩定理:()()(,)[(,)(,)](,)(,)xIxxxttMxtMxtxxMxtMxtxpttteddd22对于均匀材料的等截面圆轴:其中圆轴扭转振动微分方程26（3）弦的横向振动微分方程设有长为l、横截面积为A、材料密度为的弦，两端所受张力为。用w(x,t)表示坐标为x的截面在时刻t的横向位移，p(x,t)是单位长度弦上分布的横向作用力。由于只考虑微振动，可认为张力保持不变。取微段后运用Newton第二定律，可得到222221wxttwxtxApxt(,)(,)(,)TdefTA是弦内弹性横波沿纵向传播速度.弦横向振动微分方程:其中ydxxwxxwTT27222221uxttuxtxAfxt(,)(,)(,)直杆纵向振动微分方程圆轴扭转振动微分方程222221(,)~(,)(,)xttxtxIMxtpe弦横向振动微分方程222221wxttwxtxApxt(,)(,)(,)振动微分方程完全相同，都是二阶线性双曲型偏微分方程，可以用相同的方法分析。