(通用)2018年高考数学一轮复习第三章导数及其应用32导数与函数的单调性、极值、最值学案理!

-1-§3.2导数与函数的单调性、极值、最值考纲展示►1.了解函数单调性和导数的关系；能利用导数研究函数的单调性；会求函数的单调区间．2．了解函数在某点取得极值的必要条件和充分条件；会用导数求函数的极大值、极小值；会求闭区间上函数的最大值、最小值．3．会用导数解决实际问题．考点1利用导数研究函数的单调性函数的单调性与导数在(a，b)内的可导函数f(x)，f′(x)在(a，b)任意子区间内都不恒等于0.f′(x)≥0⇔f(x)在(a，b)上为________．f′(x)≤0⇔f(x)在(a，b)上为________．答案：增函数减函数(1)[教材习题改编]函数f(x)＝ex－2x的单调递增区间是________．答案：(ln2，＋∞)(2)[教材习题改编]求f(x)＝x＋cosx，x∈R的单调区间．解：f′(x)＝1－sinx≥0，所以f(x)在(－∞，＋∞)上单调递增，即(－∞，＋∞)是f(x)的单调递增区间．导数符号与单调性．已知函数f(x)＝x3－ax2＋ax是R上的增函数，则实数a的取值范围为__________．答案：[0,3]解析：依题意，f′(x)＝3x2－2ax＋a≥0恒成立，所以Δ＝4a2－12a≤0，解得0≤a≤3.-2-[典题1]设函数f(x)＝13x3－a2x2＋bx＋c，曲线y＝f(x)在点(0，f(0))处的切线方程为y＝1.(1)求b，c的值；(2)求函数f(x)的单调区间；(3)设函数g(x)＝f(x)＋2x，且g(x)在区间(－2，－1)内为单调递减函数，求实数a的取值范围．[解](1)f′(x)＝x2－ax＋b，由题意得f＝1，f＝0即c＝1，b＝0.(2)由(1)，得f′(x)＝x2－ax＝x(x－a)．①当a＝0时，f′(x)＝x2≥0恒成立，即函数f(x)在(－∞，＋∞)内为单调增函数．②当a0时，由f′(x)0得，xa或x0；由f′(x)0得，0xa.即函数f(x)的单调递增区间为(－∞，0)，(a，＋∞)，单调递减区间为(0，a)．③当a0时，由f′(x)0得，x0或xa；由f′(x)0得，ax0.即函数f(x)的单调递增区间为(－∞，a)，(0，＋∞)，单调递减区间为(a,0)．(3)∵g′(x)＝f′(x)＋2＝x2－ax＋2，且g(x)在(－2，－1)上为减函数，∴g′(x)≤0，即x2－ax＋2≤0在(－2，－1)上恒成立，∴g－，g－，即4＋2a＋2≤0，1＋a＋2≤0，解得a≤－3，即实数a的取值范围为(－∞，－3]．[题点发散1]在本例(3)中，若g(x)的单调减区间为(－2，－1)，如何求解？解：∵g(x)的单调减区间为(－2，－1)，∴x1＝－2，x2＝－1是g′(x)＝0的两个根，∴(－2)＋(－1)＝a，即a＝－3.[题点发散2]在本例(3)中，若g(x)在区间(－2，－1)上存在单调递减区间，如何求解？解：g′(x)＝x2－ax＋2，依题意，存在x∈(－2，－1)，使不等式g′(x)＝x2－ax＋20成立，-3-即当x∈(－2，－1)时，ax＋2xmax＝－22，当且仅当x＝2x即x＝－2时等号成立．所以满足要求的a的取值范围是(－∞，－22)．[题点发散3]在本例(3)中，若g(x)在区间(－2，－1)上不单调，如何求解？解：∵g(x)在(－2，－1)上不单调，g′(x)＝x2－ax＋2，∴g′(－2)·g′(－1)0或－2a2－1，Δ0，g－，g－由g′(－2)·g′(－1)0，得(6＋2a)(3＋a)0，无解．由－2a2－1，Δ0，g－，g－，得－4a－2，a2－80，6＋2a0，3＋a0，即－4a－2，a22或a－22，a－3解得－3a－22，即实数a的取值范围为(－3，－22)．[题点发散4]在本例(3)中，若函数g(x)在R上为单调函数，如何求解？解：∵g′(x)＝x2－ax＋2，∴要使g(x)在R上为单调函数，则g′(x)≥0恒成立，∴Δ＝a2－8≤0，即a2≤8，∴－22≤a≤22.即实数a的取值范围为[－22，22]．[点石成金]1.利用导数研究函数的单调性的关键在于准确判定导数的符号，当f(x)含参数时，需依据参数取值对不等式解集的影响进行分类讨论．2．若可导函数f(x)在指定的区间D上单调递增(减)，求参数范围问题，可转化为f′(x)≥0(或f′(x)≤0)恒成立问题，从而构建不等式，要注意“＝”不能省略，否则可能会漏解.-4-已知函数f(x)＝x2＋alnx.(1)当a＝－2时，求函数f(x)的单调递减区间；(2)若函数g(x)＝f(x)＋2x在[1，＋∞)上单调，求实数a的取值范围．解：(1)由题意知，函数的定义域为(0，＋∞)，当a＝－2时，f′(x)＝2x－2x＝x＋x－x，由f′(x)＜0得0＜x＜1，故f(x)的单调递减区间是(0,1)．(2)由题意得g′(x)＝2x＋ax－2x2，函数g(x)在[1，＋∞)上是单调函数．①若g(x)为[1，＋∞)上的单调增函数，则g′(x)≥0在[1，＋∞)上恒成立，即a≥2x－2x2在[1，＋∞)上恒成立，设φ(x)＝2x－2x2，∵φ(x)在[1，＋∞)上单调递减，∴φ(x)max＝φ(1)＝0，∴a≥0.②若g(x)为[1，＋∞)上的单调减函数，则g′(x)≤0在[1，＋∞)上恒成立，不可能．∴实数a的取值范围为[0，＋∞)．考点2利用导数研究函数的极值函数的极值(1)函数的极小值：函数y＝f(x)在点x＝a的函数值f(a)比它在点x＝a附近其他点的函数值都小，f′(a)＝0；而且在点x＝a附近的左侧________，右侧________，则点a叫做函数y＝f(x)的极小值点，f(a)叫做函数y＝f(x)的极小值．(2)函数的极大值：函数y＝f(x)在点x＝b的函数值f(b)比它在点x＝b附近的其他点的函数值都大，f′(b)＝0；而且在点x＝b附近的左侧________，右侧________，则点b叫做函数y＝f(x)的极大值-5-点，f(b)叫做函数y＝f(x)的极大值．极小值点、极大值点统称为极值点，极大值和极小值统称为极值．答案：(1)f′(x)＜0f′(x)＞0(2)f′(x)＞0f′(x)＜0[教材习题改编]若f(x)＝ax3＋3x＋2无极值，则a的取值范围为________．答案：[0，＋∞)易混的一组概念：极值点；极值；最值．(1)函数y＝x＋2x(x0)的极小值点为________；(2)函数y＝x＋2x(x0)的极小值为________；(3)函数y＝x＋2x(x0)的最小值为________．答案：(1)x＝2(2)22(3)22解析：(1)y′＝1－2x2，令y′＝0，得x＝2或x＝－2(舍去)．当x∈(0，2)时，y′0；当x∈(2，＋∞)时，y′0.所以x＝2是函数的极小值点．极值点是函数取得极值时对应的x的值，而不是函数值．(2)由(1)知，当x＝2时，函数取得极小值y＝2＋22＝22.(3)由(1)(2)知，函数的极小值恰好是函数的最小值，即ymin＝22.极值是个“局部”概念，而最值是个“整体”概念．函数在开区间内只有一个极值时，那么极值是相应的最值．[考情聚焦]函数的极值是每年高考的必考内容，题型既有选择题、填空题，也有解答题，难度适中，为中高档题．主要有以下几个命题角度：角度一知图判断函数的极值-6-[典题2]设函数f(x)在R上可导，其导函数为f′(x)，且函数y＝(1－x)f′(x)的图象如图所示，则下列结论中一定成立的是()A．函数f(x)有极大值f(2)和极小值f(1)B．函数f(x)有极大值f(－2)和极小值f(1)C．函数f(x)有极大值f(2)和极小值f(－2)D．函数f(x)有极大值f(－2)和极小值f(2)[答案]D[解析]由题图可知，当x＜－2时，f′(x)＞0；当－2＜x＜1时，f′(x)＜0；当1＜x＜2时，f′(x)＜0；当x＞2时，f′(x)＞0.由此可以得到函数f(x)在x＝－2处取得极大值，在x＝2处取得极小值．角度二求函数的极值[典题3][2017·山东济宁模拟节选]已知函数f(x)＝1＋lnxkx(k≠0)，求函数f(x)的极值．[解]f(x)＝1＋lnxkx，其定义域为(0，＋∞)，则f′(x)＝－lnxkx2.令f′(x)＝0，得x＝1，当k0时，若0x1，则f′(x)0；若x1，则f′(x)0，∴f(x)在(0,1)上单调递增，在(1，＋∞)上单调递减，即当x＝1时，函数f(x)取得极大值1k.当k0时，若0x1，则f′(x)0；若x1，则f′(x)0，∴f(x)在(0,1)上单调递减，在(1，＋∞)上单调递增，即当x＝1时，函数f(x)取得极小值1k.[点石成金]1.求函数f(x)极值的步骤：-7-(1)确定函数的定义域；(2)求导数f′(x)；(3)解方程f′(x)＝0，求出函数定义域内的所有根；(4)列表检验f′(x)在f′(x)＝0的根x0左右两侧值的符号，如果左正右负，那么f(x)在x0处取极大值，如果左负右正，那么f(x)在x0处取极小值．2．可导函数y＝f(x)在点x0处取得极值的充要条件是f′(x0)＝0，且在x0左侧与右侧f′(x)的符号不同，应注意，导数为零的点不一定是极值点．对含参数的求极值问题，应注意分类讨论．角度三已知极值求参数[典题4](1)[2017·浙江金华十校联考]已知函数f(x)＝x(lnx－ax)有两个极值点，则实数a的取值范围是________．[答案]0，12[解析]f′(x)＝(lnx－ax)＋x1x－a＝lnx＋1－2ax，令f′(x)＝0，得2a＝lnx＋1x.设φ(x)＝lnx＋1x，则φ′(x)＝－lnxx2，易知φ(x)在(0,1)上单调递增，在(1，＋∞)上单调递减，所以φ(x)max＝φ(1)＝1，则φ(x)的大致图象如图所示．若函数f(x)有两个极值点，则直线y＝2a和y＝φ(x)的图象有两个交点，所以02a1，得0a12.(2)[2017·辽宁沈阳模拟]设函数f(x)＝lnx－12ax2－bx，若x＝1是f(x)的极大值点，则a的取值范围为________．[答案](－1，＋∞)[解析]f(x)的定义域为(0，＋∞)，f′(x)＝1x－ax－b，由f′(1)＝0，得b＝1－a.-8-∴f′(x)＝1x－ax＋a－1＝－ax2＋1＋ax－xx.①若a≥0，当0x1时，f′(x)0，f(x)单调递增；当x1时，f′(x)0，f(x)单调递减，所以x＝1是f(x)的极大值点．②若a0，由f′(x)＝0，得x＝1或x＝－1a.因为x＝1是f(x)的极大值点，所以－1a1，解得－1a0.综合①②得，a的取值范围是(－1，＋∞)．[点石成金]1.可导函数y＝f(x)在点x0处取得极值的充要条件是f′(x0)＝0，且在x0左侧与右侧f′(x)的符号不同．2．若函数y＝f(x)在区间(a，b)上有极值，那么y＝f(x)在(a，b)上绝不是单调函数，即在某区间上单调的函数没有极值．考点3运用导数解决函数的最值问题函数的最值(1)在闭区间[a，b]上连续的函数f(x)在[a，b]上必有最大值与最小值．(2)若函数f(x)在[a，b]上单调递增，则________为函数的最小值，________为函数的最大值；若函数f(x)在[a，b]上单调递减，则________为函数的最大值，________为函数的最小值．答案：(2)f(a)f(b)f(a)f(b)(1)[教材习题改编]将一条长为2的铁丝截成两段，分别弯成一个正方形，要使两个正方形的面积之和最小，则两段铁丝的长度分别是________，________.答案：11解析：设两段铁丝的长分别为x(0x2)，2－x，则两个正方形的面积之和S＝x216＋－x