圆与三角函数及相似结合

1圆和三角函数及相似练习题1、如图11，AB是⊙O的弦，D是半径OA的中点，过D作CD⊥OA交弦AB于点E，交⊙O于F，且CE=CB。（1）求证：BC⊙O是的切线；（2）连接AF、BF，求∠ABF的度数；（3）如果CD=15，BE=10，sinA=135，求⊙O的半径。2、如图，AB是⊙0的直径，C是⊙0上的一点，直线MN经过点C，过点A作直线MN的垂线，垂足为点D，且∠BAC=∠DAC．（1）猜想直线MN与⊙0的位置关系，并说明理由；（2）若CD=6，cos=∠ACD=，求⊙0的半径．3、已知：如图，AB是O⊙的直径，C是O⊙上一点，ODBC⊥于点D，过点C作O⊙的切线，交OD的延长线于点E，连结BE．（1）求证：BE与O⊙相切；（2）连结AD并延长交BE于点F，若9OB，2sin3ABC，求BF的长．24、如图，已知⊙O的直径AB与弦CD相交于点E，AB⊥CD，⊙O的切线BF与弦AD的延长线相交于点F．（1）求证：CD∥BF；（2）若⊙O的半径为5，cos∠BCD=，求线段AD的长．5、如图，PB为⊙O的切线，B为切点，直线PO交⊙O于点E，F，过点B作PO的垂线BA，垂足为点D，交⊙O于点A，延长AO与⊙O交于点C，连接BC，AF．（1）求证：直线PA为⊙O的切线；（2）试探究线段EF，OD，OP之间的等量关系，并加以证明；（3）若BC＝6，tan∠F＝12，求cos∠ACB的值和线段PE的长．6、如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于H，过CD延长线上一点E作⊙O的切线交AB的延长线于F．切点为G，连接AG交CD于K．（1）求证：KE=GE；（2）若2KG=KD·GE，试判断AC与EF的位置关系，并说明理由；（3）在（2）的条件下，若sinE=35，AK=23，求FG的长．545题图ACBDEFOP37、如图11，AB是⊙O的弦，D是半径OA的中点，过D作CD⊥OA交弦AB于点E，交⊙O于F，且CE=CB。（1）求证：BC⊙O是的切线；（2）连接AF、BF，求∠ABF的度数；（3）如果CD=15，BE=10，sinA=135，求⊙O的半径。43、【解析】圆与直线的位置关系；相似和三角函数【答案】（1）证明：连结OC∵OD⊥BC所以∠EOC=∠EOB在△EOC和△EOB中OCOBEOCEOBOEOE∴△EOC≌△EOB（SAS）∴∠OBE=∠OCE=90°∴BE与⊙O相切（2）解：过点D作DH⊥AB∵△ODH∽△OBD∴OD：OB=OH：OD=DH：BD又∵sin∠ABC=23∴OD=6∴OH=4，OH=5，DH=25又∵△ADH∽△AFB∴AH：AB=DH：PB13:18=25:FB∴FB=36513【点评】（1）利用全等三角形求出角度为90°，即得到相切的结论。（2）利用三角形相似和三角函数求出三角形各线段的长。4分析】（1）由BF是圆O的切线，AB是圆O的直径，根据切线的性质，可得到BF⊥AB，然后利用平行线的判定得出CD∥BF（2）由AB是圆O的直径，得到∠ADB=90º，由圆周角定理得出∠BAD=∠BCD，再根据三角函数cos∠BAD=cos∠BCD==即可求出AD的长【解析】（1）证明：∵BF是圆O的切线，AB是圆O的直径54ADABDCOBEADCOBEAH5∴BF⊥AB∵CD⊥AB∴CD∥BF（2）解：∵AB是圆O的直径∴∠ADB=90º∵圆O的半径5∴AB=10∵∠BAD=∠BCD∴cos∠BAD=cos∠BCD==∴=8∴AD=8【点评】本题考查了切线的性质、圆周角定理和解直角三角形，此题难度适中。圆是一个特殊的几何体，它有很多独到的几何性质，知识点繁多而精粹。圆也是综合题中的常客，不仅会联系三角形、四边形来考察，代数中的函数也是它的友好合作伙伴。因此圆在中考中占有重要的地位，是必考点之一。在近几年各地的中考中,圆的有关性质,如垂径定理、圆周角、切线的判定与性质等一般以计算或证明的形式考查，与圆有关的应用题、阅读理解题、探索存在性问题仍是中考命题的热点.5【解析】（1）要证PA是⊙O的切线，只要连接OB，再证∠PAO＝∠PBO＝90°即可．（2）OD，OP分别是Rt△OAD，Rt△OPA的边，而这两个三角形相似且这两边不是对应边，所以可证得OA2＝OD·OP，再将EF＝2OA代入即可得出EF，OD，OP之间的等量关系．（3）利用tan∠F＝12，得出AD，OD之间的关系，据此设未知数后，根据AD＝BD，OD＝12BC＝3，AO＝OC＝OF＝FD－OF，将AB，AC也表达成含未知数的代数式，再在Rt△ABC中运用勾股定理构建方程求解．【答案】解：（1）证明：如下图，连接OB，∵PB是⊙O的切线，∴∠PBO＝90°．∵OA＝OB，BA⊥PO于D，∴AD＝BD，∠POA＝∠POB．又∵PO＝PO，∴△PAO≌△PBO．∴∠PAO＝∠PBO＝90°．∴直线PA为⊙O的切线．（2）EF2＝4OD·OP．证明：∵∠PAO＝∠PDA＝90°，45ADAB1054cosABBADADACBDEFOP6∴∠OAD＋∠AOD＝90°，∠OPA＋∠AOP＝90°．∴∠OAD＝∠OPA．∴△OAD∽△OPA．∴ODOA＝OAOP，即OA2＝OD·OP．又∵EF＝2OA，∴EF2＝4OD·OP．（3）∵OA＝OC，AD＝BD，BC＝6，∴OD＝12BC＝3．设AD＝x，∵tan∠F＝12，∴FD＝2x，OA＝OF＝2x－3．在Rt△AOD中，由勾股定理，得(2x－3)2＝x2＋32．解之得，x1＝4，x2＝0（不合题意，舍去）．AD＝4，OA＝2x－3＝5．∵AC是⊙O的直径，∴∠ABC＝90°．而AC＝2OA＝10，BC＝6，∴cos∠ACB＝610＝35．∵OA2＝OD·OP，∴3(PE＋5)＝25．∴PE＝103．【点评】本题考查了切线的判定、相似三角形的判定和性质以及勾股定理等知识，综合性很强，并富有探究性．要证某线是圆的切线，若已知此线过圆上某点，连接圆心与这点（即为半径），再证垂直即可；若此线与圆的切点未知，可以过圆心作这条直线的垂线段（即为垂直），再证半径即可．另外，与圆有关的探究、计算问题，多与相似三角形和勾股定理有关，上来从这方面着手分析思考，有利于思路的快速打开．6、解析：利用切线的性质和等边对等角可以证明∠EGK=∠EKG，然后根据等角对等边，即可证明第（1）小题；对于第（2）小题，可以先由等积式得到比例式，然后得到三角形相似，根据角的关系可以判断两条直线的位置关系；对于第（3）小题，可以先利用方程的思想求出相关线段的长，然后利用三角函数求FG的长。答案：（1）如下图，连接OG，∵EG是⊙O的切线∴OG⊥GE∴∠OGK+∠EGK＝90°∵CD⊥AB∴∠OAG+∠AKH＝90°∵OG=OA∴∠OGK=∠OAG∴∠EGK=∠AKH=∠EKG∴KE=GE；（2）AC∥EF理由如下：∵2KG=KD·GE，GE=KE∴KGKEKDKG∴△KGD∽△KGE∴∠KGD＝∠E7∠KGD＝∠C∴∠E＝∠C∴AC∥EF（3）∵在（2）的条件下，∴AC∥EF∴∠CAF＝∠F，∠E＝∠C∵sinE=35∴sinC=35,sinF=45,tanE=tanC=34连接BG，过G作GN⊥AB于N，交⊙O于Q则弧BQ=弧BG∴∠BGN＝∠BAG设AH=3k，则CH=4k于是BH=221616==33CHkkAHk，OG=+25=26BHAHk∵EG是切线，CD⊥AB∴∠OGF＝90°∴∠FOG+∠F=∠E+∠F∴∠FOG=∠E∴NG=OGsin∠FOG=25365k=52k∴BN=OB-ON=OG-OGcos∠FOG=25451-=656kk∴BG=22510+=6kNGBN点评：本题的第（3）小题是一道大型综合题，且运算量较大，属于较难题；但是，前两个小题比较基础，同学们应争取做对。7、【解析】（1）连接OB，证OB⊥BC，即证∠OBE+∠EBC=90°。通过OA=OB，CE=CB，∠AED=∠BEC，可将∠OBE、∠EBC分别转化为∠A、∠AED，结合CD⊥OA可证∠OBE+∠EBC=90°；（2）连接OF，由CD垂直平分OA得AF=OF=OA，再结合圆心角与圆周角关系易求∠ABF的度数；，∴QN8（3）作CG⊥BE于G，得∠A=∠ECG，CG是BE垂直平分线，由CD=15，BE=10，sinA=135，可求EG、CE、CG、DE长度，通过△ADE∽△CGE可求AD，从而计算半径OA。【答案】（1）证明：连接OB。∵OA=OB，∴∠A=∠OBE。∵CE=CB，∴∠CEB=∠EBC，∵∠AED=∠EBC，∴∠AED=∠EBC，又∵CD⊥OA∴∠A+∠AED=∠OBA+∠EBC=90°，∴BC⊙O是的切线；（2）∵CD垂直平分OA，∴OF=AF，又OA=OF，∴OA=OF=AF，∴∠O=60°，∴∠ABF=30°；（3）作CG⊥BE于G，则∠A=∠ECG。∵CE=CB，BD=10，∴EG=BG=5，∵sinECG=sinA=135，∴CE=13，CG=12.又CD=15，∴DE=2。∵ADE∽△CGE，∴EGDECGAD，即5212AD，∴AD=524，∴OA=548，即⊙O的半径是548。【点评】本题将多个知识点结合在一起，问题设计层层递进，梯度鲜明，是一道中档偏上的题，有一定区分度．我们必须学会由已知条件寻找相应的定理、性质的基本图形，以及在不能直接根据已知条件解决问题时，要学会运用转化的思想。