【走向高考】(新课标)2017高考数学一轮复习-第二章-函数、导数及其应用-第2讲-函数的单调性与最

12017高考数学一轮复习第二章函数、导数及其应用第2讲函数的单调性与最值习题A组基础巩固一、选择题1．(2014·北京理)下列函数中，在区间(0，＋∞)上为增函数的是导学号25400202()A．y＝x＋1B．y＝(x－1)2C．y＝2－xD．y＝log0.5(x＋1)[答案]A[解析]A项，函数y＝x＋1在[－1，＋∞)上为增函数，所以函数在(0，＋∞)上为增函数，故正确；B项，函数y＝(x－1)2在(－∞，1)上为减函数，在[1，＋∞)上为增函数，故错误；C项，函数y＝2－x＝(12)x在R上为减函数，故错误；D项，函数y＝log0.5(x＋1)在(－1，＋∞)上为减函数，故错误．2．已知函数f(x)＝2ax2＋4(a－3)x＋5在区间(－∞，3)上是减函数，则a的取值范围是导学号25400203()A．(0，34)B．(0，34]C．[0，34)D．[0，34][答案]D[解析]当a＝0时，f(x)＝－12x＋5，在(－∞，3)上是减函数，当a≠0时，由a＞0，－a－4a≥3，得0＜a≤34，综上a的取值范围是0≤a≤34.3．函数f(x)＝log12(x2－4)的单调递增区间是导学号25400204()A．(0，＋∞)B．(－∞，0)C．(2，＋∞)D．(－∞，－2)[答案]D[解析]因为y＝log12t在定义域上是减函数，所以求原函数的单调递增区间，即求函数2t＝x2－4的单调递减区间，结合函数的定义域，可知所求区间为(－∞，－2)．4．已知f(x)为R上的减函数，则满足f(1x)＞f(1)的实数x的取值范围是导学号25400205()A．(－∞，1)B．(1，＋∞)C．(－∞，0)∪(0,1)D．(－∞，0)∪(1，＋∞)[答案]D[解析]依题意得1x＜1，即x－1x＞0，所以x的取值范围是x＞1或x＜0.5．(2015·山西太原模拟)已知f(x)＝x2－cosx，则f(0.6)，f(0)，f(－0.5)的大小关系是导学号25400206()A．f(0)＜f(0.6)＜f(－0.5)B．f(0)＜f(－0.5)＜f(0.6)C．f(0.6)＜f(－0.5)＜f(0)D．f(－0.5)＜f(0)＜f(0.6)[答案]B[解析]∵f(－x)＝(－x)2－cos(－x)＝x2－cosx＝f(x)，∴f(x)是偶函数．∴f(－0.5)＝f(0.5)．又∵f′(x)＝2x＋sinx，当x∈(0,1)时，f′(x)＞0.∴f(x)在(0,1)上是增函数，∴f(0)＜f(0.5)＜f(0.6)，即f(0)＜f(－0.5)＜f(0.6)，故选B．6．(2015·福建福州一模)如果函数f(x)对任意的实数x，都有f(1＋x)＝f(－x)，且当x≥12时，f(x)＝log2(3x－1)，那么函数f(x)在[－2,0]上的最大值与最小值之和为导学号25400207()A．2B．3C．4D．－1[答案]C[分析]由f(1＋x)＝f(－x)得函数f(x)关于x＝12对称，进而求得f(x)在各区间的单调性，可得函数f(x)的最大值与最小值．[解析]根据f(1＋x)＝f(－x)，可知函数f(x)的图象关于直线x＝12对称．又函数f(x)3在[12，＋∞)上单调递增，故f(x)在(－∞，12]上单调递减，则函数f(x)在[－2,0]上的最大值与最小值之和为f(－2)＋f(0)＝f(1＋2)＋f(1＋0)＝f(3)＋f(1)＝log28＋log22＝4.二、填空题7．函数f(x)＝(13)x－log2(x＋2)在区间[－1,1]上的最大值为________.导学号25400208[答案]3[解析]由于y＝(13)x在R上单调递减，y＝log2(x＋2)在[－1,1]上递增，所以f(x)在[－1,1]上单调递减，故f(x)在[－1,1]上的最大值为f(－1)＝3.8．(2015·四川成都高三月考)已知函数f(x)＝1，x＞0，0，x＝0，－1，x＜0，g(x)＝x2f(x－1)，则函数g(x)的递减区间是________.导学号25400209[答案][0,1)[解析]由条件知g(x)＝x2，x＞1，0，x＝1，－x2，x＜1.其函数图象如图所示，其递减区间是[0,1)．9．已知函数f(x)＝x2＋ax(a＞0)在(2，＋∞)上为单调递增函数，则实数a的取值范围为________.导学号25400210[答案](0,4][解析]方法一(定义法)：在区间(2，＋∞)上任取x1，x2，且x1＜x2，则f(x1)－f(x2)＝x21＋ax1－x22＋ax2＝(x1＋ax1)－(x2＋ax2)＝(x1－x2)＋(ax1－ax2)4＝(x1－x2)＋ax2－x1x1x2＝(x1－x2)(1－ax1x2)．∵f(x)在(2，＋∞)上为增函数，∴(x1－x2)(1－ax1x2)＜0.又x1＜x2，即x1－x2＜0，∴ax1x2＜1，即a＜x1x2.∵x1，x2∈(2，＋∞)，且x1＜x2，∴x1·x2＞4.∴a≤4.又a＞0，∴a的取值范围为(0,4]．方法二(导数法):f(x)＝x＋ax，f′(x)＝1－ax2≥0，由题意知f(x)≥0在(2，＋∞)上恒成立，∴a≤x2，∴0＜a≤4.10．已知函数f(x)＝e|x－a|(a为常数)．若f(x)在区间[1，＋∞)上是增函数，则a的取值范围是________.导学号25400211[答案](－∞，1][分析]思路一：先求出f(x)的单调增区间，再根据已知条件找出已知区间与单调区间的关系，求字母的范围；思路二：求出f(x)的导数，利用f′(x)≥0在[1，＋∞)上恒成立，求a的范围．[解析]方法一：∵f(x)＝e|x－a|＝ex－ax≥a，e－x＋ax＜a，∴f(x)在[a，＋∞)上为增函数，则[1，＋∞)⊆[a，＋∞)，∴a≤1.方法二：∵f(x)＝e|x－a|＝ex－ax≥a，e－x＋ax＜a，当x≥a时，f(x)＝ex－a，f′(x)＝ex－a.由题意知f′(x)＝ex－a≥0在[1，＋∞)上是恒成立的，此结论显然成立．∴a≤xmin，∴a≤1.当x＜a时，f′(x)＝－ex－a＜0恒成立，不符合题意．综上所述，a≤1.5三、解答题11．已知f(x)＝xx－a(x≠a).导学号25400212(1)若a＝－2，试证f(x)在(－∞，－2)内单调递增；(2)若a＞0且f(x)在(1，＋∞)内单调递减，求a的取值范围．[答案](1)略(2)(0,1][解析](1)证明：任取x1＜x2＜－2，则f(x1)－f(x2)＝x1x1＋2－x2x2＋2＝x1－x2x1＋x2＋.∵(x1＋2)(x2＋2)＞0，x1－x2＜0，∴f(x1)－f(x2)＜0，即f(x1)＜f(x2)，∴f(x)在(－∞，－2)内单调递增．(2)解：任设1＜x1＜x2，则f(x1)－f(x2)＝x1x1－a－x2x2－a＝ax2－x1x1－ax2－a.∵a＞0，x2－x1＞0，∴要使f(x1)－f(x2)＞0，只需(x1－a)(x2－a)＞0恒成立，∴a≤1.综上所述，a的取值范围是(0,1]．12．已知定义在区间(0，＋∞)上的函数f(x)满足f(x1x2)＝f(x1)－f(x2)，且当x＞1时，f(x)＜0.导学号25400213(1)求f(1)的值；(2)证明：f(x)为单调递减函数；(3)若f(3)＝－1，求f(x)在[2,9]上的最小值．[答案](1)0(2)略(3)－2[解析](1)令x1＝x2＞0，代入得f(1)＝f(x1)－f(x1)＝0，故f(1)＝0.(2)证明：任取x1，x2∈(0，＋∞)，且x1＞x2，则x1x2＞1，由于当x＞1时，f(x)＜0，所以f(x1x2)＜0，即f(x1)－f(x2)＜0，因此f(x1)＜f(x2)，所以函数f(x)在区间(0，＋∞)上是单调递减函数．6(3)∵f(x)在(0，＋∞)上是单调递减函数．∴f(x)在[2,9]上的最小值为f(9)．由f(x1x2)＝f(x1)－f(x2)得，f(93)＝f(9)－f(3)，而f(3)＝－1，所以f(9)＝－2.∴f(x)在[2,9]上的最小值为－2.B组能力提升1．(2015～2016学年重庆市南开中学高三月考试题)函数函数y＝3x2－2x的单调递增区间为导学号25400214()A．(－∞，1)B．(－∞，－1)C．(1，＋∞)D．(3，＋∞)[答案]C[解析]可以看出原函数是由y＝3t和t＝x2－2x复合而成的复合函数，y＝3t为增函数，从而t＝x2－2x的增区间便是原函数的增区间，从而求二次函数t＝x2－2x的增区间即可．令x2－2x＝t，y＝3t为增函数；∴t＝x2－2x的单调递增区间为原函数的单调增区间；∴原函数的单调递增区间为(1，＋∞)．故选：C．[点拨]考查复合函数的单调性，以及指数函数、二次函数的单调性，清楚复合函数是由哪两个函数复合而成的．2．设函数f(x)＝2x＋1x－1(x＜0)，则f(x)导学号25400215()A．有最大值B．有最小值C．是增函数D．是减函数[答案]A[解析]当x＜0时，－x＞0，－(2x＋1x)＝(－2x)＋(－1x)≥2－2x－1x＝22，即2x＋1x≤－22，2x＋1x－1≤－22－1，即f(x)≤－22－1，当且仅当－2x＝－1x，即x＝－22时取等号，此时函数f(x)有最大值，选A．3．(2015·辽宁联考)定义在区间(－1,1)上的函数f(x)满足：f(x)－f(y)＝f(x－y1－xy)，7x∈(－1,0)时f(x)＞0.若P＝f(15)＋f(17)，Q＝f(12)，R＝f(0)，则P，Q，R的大小关系为导学号25400216()A．R＞Q＞PB．R＞P＞QC．P＞R＞QD．Q＞P＞R[答案]B[解析]令x＝y＝0得f(0)＝0，令x＝0得f(－y)＝－f(y)，所以f(x)为奇函数．由x∈(－1,0)时f(x)＞0知：x∈(0,1)时f(x)＜0.令x1，x2∈(0,1)且x2＞x1，则f(x2)－f(x1)＝f(x2－x11－x2x1)，又x2－x1－(1－x1x2)＝(x1＋1)(x2－1)＜0，x2－x1＞0,1－x1x2＞0，所以x2－x11－x2x1∈(0,1)，故f(x2－x11－x2x1)＜0，即f(x2)＜f(x1)，从而f(x)在(0,1)上单调递减．又P＝f(15)－f(－17)＝f15＋171＋15×17＝f(13)，12＞13＞0，所以Q＜P＜R，故选B．4．已知f(x)的定义域为(－2,2)，且f(x)＝2x＋3＋ln2－x2＋x，－2＜x≤1－4x2－5x＋23，1＜x＜2，如果f[x(x＋1)]＜23，那么x的取值范围是导学号25400217()A．－2＜x＜－1或0＜x＜1B．x＜－1或x＞0C．－2＜x＜－54D．－1＜x＜0[答案]A[解析]依题意得，函数y＝2x＋3＋ln2－x2＋x＝2x＋3＋ln(－1＋42＋x)在(－2,1]上是减函数(注：函数y＝2x＋3，y＝ln(－1＋42＋x)在(－2,1]上均是减函数)；函数y＝－4x2－5x＋23在(1,2)上是减函数，且21＋3＋ln2－12＋1＝12－ln3＞－4×12－5×1＋23，因此函数f(x)在(－2,2)上是减函数，且f(0)＝23，于是不等式f[x(x＋1)]＜23＝f(0)等价于0＜x(x＋1)＜2，解得－2＜x＜－1或0＜x＜1，选A．5．(2015·内蒙古巴彦淖尔第一中学10月月考)已知函数f(x)＝x2＋mx＋n的图象过点(1,3)，且f(－1＋x)＝f(－1－x)对任意实数都成立，函数y＝g(x)与y＝f(x)的图象关于原8点对称.导学号25400218(1)求f(x)与g(x)的解析式；(2)若F(x)＝g(x)－λf(x)在[－1,1]上是增函数，求实数λ的取值范围．[答案](1)f(x)＝x2＋2x，g(x)＝－x2＋2x(2)λ≤0[解析](1)因为f(1)＝1＋m＋n＝3，所以m