裂项相消与放缩法解数列专题

1数列专题3一、裂项求和法裂项法的实质是将数列中的每项（通项）分解，然后重新组合，使之能消去一些项，最终达到求和的目的.通项分解（裂项）如：通项为分式结构，分母为两项相乘，型如：11nnaa，}{na是0d的等差数列。常用裂项形式有：；111)1(1nnnn1111()()nnkknnk；)121121(211)12)(12()2(2nnnnn；])2)(1(1)1(1[21)2)(1(1nnnnnnn；)(11bababa；)(11nknknkn特别地：nnnn111二、用放缩法证明数列中的不等式将不等式一侧适当的放大或缩小以达证题目的方法，叫放缩法。1.常见的数列不等式大多与数列求和或求积有关，其基本结构形式有如下4种：①1niiak（k为常数）；②1()niiafn；③1()niiafn；④1niiak（k为常数）.放缩目标模型→可求和（积）→等差模型、等比模型、裂项相消模型2.几种常见的放缩方法（1）添加或舍去一些项，如：aa12；nnn)1(（2）将分子或分母放大（或缩小）①nnnnn111)1(112；111)1(112nnnnn（程度大）②)1111(21)1)(1(111122nnnnnn)2(n（程度小）③1111111121312111nnnnnnnnn或21221212121312111nnnnnnnnn④nnnnnnn111131211⑤平方型：)121121(2144441222nnnnn；)111(41)1(41441)12(122nnnnnnn⑥立方型：])1(1)1(1[21)1(1123nnnnnnn)2(n⑦指数型：)1()(111babaabannn；)1()(111babaabann⑧kkkkk21111；⑨利用基本不等式，2)1()1(nnnn，如：4lg16lg15lg)25lg3lg(5lg3log22（一）放缩目标模型可求和—等比数列或等差数列例如：（1）求证：)(121212121*32Nnn.（2）求证：)(1121121121121*32Nnn.（3）求证：)(22323222121*32Nnnnn.总结：放缩法证明与数列求和有关的不等式，若1niia可直接求和，就先求和再放缩；若不能直接求和的，一般要先将通项na放缩后再求和.问题是将通项na放缩为可以求和且“不大不小”的什么样的nb才行呢？其实，能求和的常见数列模型并不多，主要有等差模型、等比模型、错位相减模型、裂项相消模型等.实际问题中，nb大多是等比模型或裂项相消模型.（1）先求和再放缩例1.设各项均为正数的数列{an}的前n项和为Sn，满足4Sn＝an＋12－4n－1，n∈N*，且a2，a5，a14构成等比数列．(1)证明：2145aa；(2)求数列{an}的通项公式；(3)证明：对一切正整数n，有1223111112nnaaaaaa.3（2）先放缩再求和例如：求证：)(2131211*222Nnn.例如：函数xxxf414)(，求证：)(2121)()2()1(*1Nnnnfffn.例2.设数列{an}的前n项和为Sn，满足，且a1，a2+5，a3成等差数列．（1）求a1的值；（2）求数列{an}的通项公式；（3）证明：对一切正整数n，有．总结：一般地，形如nnnbaa或baann（这里1ba）的数列，在证明kaaan11121（k为常数）时都可以提取出na利用指数函数的单调性将其放缩为等比模型.4练习：1.设数列}{na满足0na，11a，)2()21(11naaanannnn，数列}{na的前n项和为nS.（1）求数列}{na的通项公式；（2）求证：当2n时，21nSnn；（3）试探究：当2n时，是否有35)12)(1(6nSnnn？说明理由.（3）形如1()niiafn例如：设)1(3221nnSn，求证：)(2)2(2)1(*NnnnSnnn.根据所证不等式的结构特征来选取所需要的不等式，不等式关系：2211222babaabba注：①应注意把握放缩的“度”：上述不等式右边放缩用的是均值不等式2baab，若放缩成1)1(nnn，则得2)1(2)3)(1(121nnnkSniin，就放过“度”了。总结：形如1()niiafn的数列不等式证明：设nS和nT分别为数列}{na和}{nb的前n项和，若)(*Nnbann，利用不等式的“同向可加性”这一基本性质，则有nnTS.要证明不等式1()niiafn，如果记)(nfTn看作是数列}{nb的前n项和，则)2(1nTTbnnn，11Tb，那么只要证其通项满足nnba即可.5（二）放缩目标模型—可求积放缩法证明与数列求积有关的不等式，方法与上面求和相类似，只不过放缩后的nb是可求积的模型，能求积的常见的数列模型是nnnCCb1（分式型），累乘后约简为niniCCb111.姐妹不等式：)00(mabmambab，和)00(mbamambab，记忆口诀：“小者小，大者大”，（解释：看b，若b小，则不等号是小于号，反之）。例如：求证：)(121212654321*Nnnnn.例如：求证：12)1211()511)(311)(11(nn。总结：形如niinfa1)(的数列不等式证明：设nA和nB分别为数列}{na和}{nb的前n项积，若nnba0，利用不等式的“正数同向可乘性”这一基本性质，则有nnBA.要证明不等式niinfa1)(，如果记)(nfBn看作是数列}{nb的前n项积，则)2(1nBBbnnn，11Bb，那么只要证其通项满足nnba0即可.例3.已知数列}{na满足321a，)(322*1Nnaaannn.（1）求证：}11{na是等差数列，并求出}{na的通项na；（2）证明：对于*Nn，11321naaaan.6（二）添加或舍去一些正项（或负项）若多项式中加上一些正的值，多项式的值变大，多项式中加上一些负的值，多项式的值变小。由于证明不等式的需要，有时需要舍去或添加一些项，使不等式一边放大或缩小，利用不等式的传递性，达到证明的目的。例如：已知)(12*Nnann，求证：)(312*13221Nnaaaaaannn.例4.已知数列}{na的各项为正数，其前n项和2)21(nnnaSS满足.（I）求)2(1naann与之间的关系式，并求}{na的通项公式；（II）求证.211121nSSS例5.已知数列：满足：，，记.(I)求证：数列是等比数列；(II)若对任意恒成立，求t的取值范围；(III)证明:.7（三）固定一部分项，放缩另外的项例6.设数列{an}的前n项和为Sn.已知a1＝1，2121233nnSannn，n∈N*.（1）求a2的值；（2）求数列{an}的通项公式；（3）证明：对一切正整数n，有1211174naaa.练习：2.设100131211s，则s的整数部分是（）A.17B.18C.19D.203.已知}{na是各项都为正数的数列，nS为其前n项和，且11a，)1(21nnnaaS.（I）求数列}{na的通项na；（II）求证：)111(2)1(1312121nnSSnSS.8数列专题3一、裂项求和法裂项法的实质是将数列中的每项（通项）分解，然后重新组合，使之能消去一些项，最终达到求和的目的.通项分解（裂项）如：通项为分式结构，分母为两项相乘，型如：11nnaa，}{na是0d的等差数列。常用裂项形式有：；111)1(1nnnn1111()()nnkknnk；)121121(211)12)(12()2(2nnnnn；])2)(1(1)1(1[21)2)(1(1nnnnnnn；)(11bababa；)(11nknknkn特别地：nnnn111二、用放缩法证明数列中的不等式将不等式一侧适当的放大或缩小以达证题目的方法，叫放缩法。1.常见的数列不等式大多与数列求和或求积有关，其基本结构形式有如下4种：①1niiak（k为常数）；②1()niiafn；③1()niiafn；④1niiak（k为常数）.放缩目标模型→可求和（积）→等差模型、等比模型、裂项相消模型2.几种常见的放缩方法（1）添加或舍去一些项，如：aa12；nnn)1(（2）将分子或分母放大（或缩小）①nnnnn111)1(112；111)1(112nnnnn（程度大）②)1111(21)1)(1(111122nnnnnn)2(n（程度小）③1111111121312111nnnnnnnnn或21221212121312111nnnnnnnnn④nnnnnnn111131211⑤平方型：)121121(2144441222nnnnn；)111(41)1(41441)12(122nnnnnnn⑥立方型：])1(1)1(1[21)1(1123nnnnnnn)2(n⑦指数型：)1()(111babaabannn；)1()(111babaabann⑧kkkkk21111；⑨利用基本不等式，2)1()1(nnnn，如：4lg16lg15lg)25lg3lg(5lg3log29（一）放缩目标模型可求和—等比数列或等差数列例如：（1）求证：)(121212121*32Nnn.分析：不等式左边可用等比数列前n项和公式求和。解析：左边=1211211)211(21nn表面是证数列不等式，实质是数列求和。（2）求证：)(1121121121121*32Nnn.分析：左边不能直接求和，须先将其通项放缩后求和，将通项放缩为等比数列。解析：∵nn21121，∴左边1211211)211(212121212132nnn（3）求证：)(22323222121*32Nnnnn.分析：注意到nnnnn22，将通项放缩为错位相减模型。解析：∵nnnnn22，∴左边2222223222132nnnn总结：放缩法证明与数列求和有关的不等式，若1niia可直接求和，就先求和再放缩；若不能直接求和的，一般要先将通项na放缩后再求和.问题是将通项na放缩为可以求和且“不大不小”的什么样的nb才行呢？其实，能求和的常见数列模型并不多，主要有等差模型、等比模型、错位相减模型、裂项相消模型等.实际问题中，nb大多是等比模型或裂项相消模型.（1）先求和再放缩例1.设各项均为正数的数列{an}的前n项和为Sn，满足4Sn＝an＋12－4n－1，n∈N*，且a2，a5，a14构成等比数列．(1)证明：2145aa；(2)求数列{an}的通项公式；(3)证明：对一切正整数n，有1223111112nnaaaaaa.解析：(1)当n＝1