山东春考数学知识点汇总于老师

1山东春考数学于文军第一章集合与简易逻辑1.1-1.2集合及其运算1.集合定义：把一些确定的元素看成一个整体，这个整体就是由这些元素构成的集合.2.元素的特性：确定性、互异性、无序性.3.元素与集合关系：有属于和不属于两种，表示符号为∈和∉.4.常见集合字母表示：5．集合分类：①按元素个数可分:有限集、无限集；②按元素特征分：数集、点集、坐标集等.6.集合表示法：列表法、性质描述法、图像法（wenn图像、数轴表示、区间表示）．7.集合关系：描述关系文字语言符号语言集合间的基本关系相等集合A与集合B中的所有元素都相同A=B子集A中任意一元素均为B中的元素A⊆B或B⊇A真子集A中任意一元素均为B中的元素，且B中至少有一个元素A中没有A⊊B或B⊋A空集空集是任何集合的子集∅空集是任何非空集合的真子集8.集合运算：集合运算集合的并集集合的交集集合的补集符号表示A∪BA∩B若全集为U，则集合A的补集为CUA.图形表示意义集合A与B的全部元素，A或B.集合A与B的公共元素，A且B.全集U中所有元素，除去集合A中元素的部分.性质A∪B=B∪A；A∪A=A；A∪∅=∅∪A=A；A⊆B⇒A∪B=BA∩B=B∩A；A∩A=A；A∩∅=∅∩A=A；A⊆B⇒A∩B=AA∪CUA.=U；A∪CUA.=∅；CU（CUA）=A；CUA∪CUB=CU（A∩B）；CUA∩CUB=CU（A∪B）；【注意】○1任何一个集合是它本身的子集；○2如果A⊆B，同时B⊇A，那么A=B；如果A⊆B，B⊆C,那么A⊇C；○3n元素集合，有子集2n个；n元素集合，有真子集有2n−1个；n元素集合，有非空真子集有2n−2个.1.3-1.4逻辑用语充要条件1．命题概念:可判断真假的文字或符号的，陈述性语句．命题{不是命题{不具备判断性例：2x+1=5疑问、感叹、祈使等非陈述句是命题{真命题：不符合客观事实判断假命题：符合客观事实判断2、四种命题关系○1命题联系：○2真假关系：互为逆否命题，有相同的真假性；互逆命题或互否命题，真假性不可判断．3、逻辑连接词：且、或、非，符号“∧、∨、≦”.○1且p∧q：一假则假○2或p∨q：一真则真○3非≦p：与原命题真值相反○4原命题变非命题命题{单一命题{简单命题：直接否定判断词量词命题：互换∀和∃，否定判断词复合命题2p∧q⇒≦p∨≦qp∨q⇒≦p∧≦q【注】A、≦p：非命题(命题的否定)，只否结论，与原命题真值相反。B、否命题：条件结论都否定，真值不具备判断性。C、常用的量词有全称量词和存在量词，用符号表示为∀和∃.D、含有全称量词的命题，叫做全称命题，含有存在量词的命题，叫做存在命题。常用判断词否定判断词=是所有的任意的至少有一个至多有一个否定≠≤≥不是至少一个不某个一个也没有至少有两个4、真值判断表格pq≦p≦qp∧qp∨q≦(𝑝∧𝑞)≦(𝑝∨𝑞)≦p≦q≦p∨≦qTTTFFTFF5、充要条件○1如果p⇒q，q⇏p，则p是q的充分不必要条件，q是p的必要不充分条件．○2如果p⇒q，q⇒p，则p是q的充要条件．定义：条件符号表示p是q的q是p的“若p，则q”真，“若q，则p”假p⇒q,且q⇏p充分不必要条件必要不充分条件“若p，则q”假，“若q，则p”真p⇏q,且q⇒p必要不充分条件充分不必要条件“若p，则q”真，“若q，则p”真p⇒q,且q⇒p充要条件“若p，则q”假，“若q，则p”假p⇏q,且q⇏p既不充分又不必要条件集合：A＝{x|p(x)}，B＝{x|q(x)}.条件p是q的q是p的小推大，少推多。A⊊B充分不必要条件必要不充分条件B⊊A必要不充分条件充分不必要条件A＝B充要条件A⊈B且B⊈A既不充分又不必要条件第二章方程与不等式2.1一元二次方程1.一元二次方程：ax2+bx+c=0（a,b,c为常数且a≠0）只含有一个未知数并且未知数的最高次数是2集合自然数集正整数集整数集有理数集实数集表示NN+或N*ZQR2山东春考数学于文军的整式方程，称一元二次方程。【a二次项系数、b一次项系数、c常数项】2.方程的解：使方程左右两边相等的未知数的值，称方程的解；求方程的解或确定方程无解的过程，称解方程。3.一元二次方程解法：开平方（根式）、配方法（系数化一、加一次项系数一半的平方）、因式分解（公式法-平方差完全平方、提公因式法、十字相乘）、求根公式（x=−𝑏±√𝑏2−4𝑎𝑐2𝑎）。4.韦达定理：若方程ax2+bx+c=0(a≠0)的两根为x1,x2,则x1+x2=−ba,x1∙x2=ca。【注：∆0】2.2-2.3不等式性质与绝对值不等式1．不等式基本性质：ab⟺a−b0；ab⟺a−b0；a=b⟺a−b=0.2．不等式证明-作差法：○1作差○2配方○3证明3．不等式性质：○1对称性：ab⟺ba○2传递性：ab、bc⟹ac○3加法法则ab⟹a±cb±d○4移项法则：a+bc⟹ac−b○5同向可加性：ab、cd⟹a+cb+d○6乘法法则：ab、c0⟹acbd；ab、c0⟹acbd○7同向可乘：如果ab0，且cd0⟹acbd○8乘方法则：若ab0⟺anbn.n∈N且n1/○9开方法则：若ab0⟺√an√bn.n∈N且n1/○10取倒数法则：ab，ab0⟺1a1b4．一元一次不等式解法：将一元一次不等式变形为标准形式：例：axb○1当a0时，axb的解集为2𝑥𝑏𝑎3，用区间表示为.𝑏𝑎，+∞/○2当a0时，axb的解集为2𝑥𝑏𝑎3，用区间表示为.−∞，𝑏𝑎/5．一元一次不等式组解法：○1解出每个一元一次不等式.○2在数轴中确定公共部分或确定无解.○3答案表示为集合或区间形式.6．含有绝对值不等式解法○1|𝑥|≥0○2如果m0：大于取两边，小于取中间例：a.|𝑥|m⟺−mxmb.|𝑥|≥m⟺xm或xm○3如果c0：大于取两边，小于取中间例：a.|𝑎𝑥+𝑏|𝑐⟺−𝑐𝑎𝑥+𝑏𝑐b.|𝑎𝑥+𝑏|𝑐⟺𝑎𝑥+𝑏𝑐或𝑎𝑥+𝑏−𝑐【答案写集合或区间】○4如果c0：例：a.|𝑎𝑥+𝑏|𝑐⟺𝑅b.|𝑎𝑥+𝑏|𝑐⟺∅○5如果c=0：例：a.|𝑎𝑥+𝑏|𝑐⟺𝑎𝑥+𝑏≠0b.|𝑎𝑥+𝑏|𝑐⟺∅2.4一元二次不等式1.一元二次不等式：ax2＋bx＋c＞0或ax2＋bx＋c0(𝑎≠0)ax2＋bx＋c≥0或ax2＋bx＋c≤0(𝑎≠0)2.解法：开口、∆、画图3.不等式恒成立：○1不等式ax2＋bx＋c＞0(𝑎≠0)恒成立的条件：a0;∆0.○2不等式ax2＋bx＋c0(𝑎≠0)恒成立的条件:a0;∆0.第三章函数3.1函数及其表示方法1.函数的定义:集合A为非空数集，按照某种确定的对应关系f，A中任意实数x都有唯一确定的实数y与它对应，这种对应法则为集合A上的一个函数，记作：y=f（x）○1f（x）=yx为自变量y为函数值（因变量）x取值集合为定义域y的取值集合叫值域○2函数两要素自变量对应关系○3函数表示方法列表法公式法图像法2.常见函数定义域○1整式函数y=f(x)，定义域R.○2分式函数y=f（x）g（x），定义域g（x）≠0.○3函数y=√f（x）2n(n∈N+)，定义域f（x）≥0.○4函数y=√f（x）2n+1(n∈N+)，定义域R.○5函数y=0f（x）10，定义域f（x）≠0.○6指数函数y=ax(a0且a≠1)，定义域R○7对数函数y=logax（a0且a≠1），定义域x0○8正切函数y=tanx.𝑥≠𝜋2+2𝑘𝜋，𝑘∈𝑍/3.复合函数○1复合函数：如果函数y=f（t）的定义域为A,且t=g（x）的定义域D、值域为C，则当C⊆A时，称函数y=f,g(x)-为f(𝑥)与g(𝑥)在D上的复合函数，t叫做中间变量，t=g（x）叫内函数，y=f（t）叫外函数。○2复合函数求定义域：已知f,𝑔(𝑥)-定义域，求f(𝑥)定义域；已知f(𝑥)定义域，求f,𝑔(𝑥)-定义域。开口a0开口向上a0开口向下判别式Δ＝b2－4acΔ0Δ＝0Δ＜0二次函数ax2＋bx＋c=0(a＞0)的图象[来一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a＞0)的根有两个相异实根x1，x2(x1＜x2)有两个相等实根x1＝x2＝−𝑏2𝑎没有实数根ax2＋bx＋c＞0(a＞0)的解集2𝑥|𝑥𝑥1或𝑥𝑥23*𝑥|𝑥≠0+Rax2＋bx＋c＜0(a＞0)的解集*𝑥|𝑥1𝑥𝑥2+∅∅3山东春考数学于文军4.求值域：直接发、常数分离、配方法、换元法、图像（单调、奇偶、反函数）5.求函数值：直接代入、代换、整体、赋值、配凑、换元、待定系数6.分段函数：在函数定义域内，对于自变量x的不同区间，有着不同的对应法则，这样的函数通常叫做分段函数。（分段函数为一个函数）3.2函数的单调性1．定义：○1y=f(𝑥)定义域的子区间I内任意两个值x1，x2，当时x1x2时，有f（x1）f（x2），那么就说I称为y=f（x）的增区间，当整个定义域都符合以上条件时，称为增函数。○2y=f(𝑥)定义域的子区间I内任意两个值x1，x2，当时x1x2时，有f（x1）f（x2），那么就说I称为y=f（x）的增区间，当整个定义域都符合以上条件时，称为增函数。2.单调性证明○1函数的单调区间,必须先求函数的定义域；○2判断函数单调性的方法步骤：利用定义证明函数f(x)在给定的区间D上的单调性的一般步骤：a任取x1，x2∈M，且x1x2；b作差f(x1)−f（x2）；c变形（通常是因式分解和配方）；d定号0即判断差f(x1)−f（x2）的正负1；e下结论（即指出函数f(x)在给定的区间M上的单调性）。3.单调区间与单调函数○1单调性是定义域的某个子区间，是函数局部性质；○2区间M内的两个自变量x1，x2必须是任意的；○3反映在图象上，沿x轴从左到右，增函数图像递增；减函数图像下降。4.𝐟（𝐱）+𝐠（𝐱）的单调性○1f（x）增，g（x）减，则f(x)−g（x）为增函数○2f（x）减，g（x）增，则f(x)−g（x）为减函数○3f（x）和g（x）都为增（或减）,则f(x)+g（x）为增（或减）函数5.复合函数单调性：同增异减6.常见函数增减区间判断：y=kx+b，y=𝑎𝑥2+𝑏𝑥+𝑐，y=𝑎𝑥，y=log𝑎𝑥，y=±𝑎𝑥，y=x+1𝑥3.3函数的奇偶性1.定义2．常见奇偶函数常见的奇函数常见的偶函数○1f(x)=xn.n=2k+1，k∈Z/○2f(x)=√xn.n=2k+1，k∈Z/○3f(x)=ax−a−xm.a0，a≠1，m≠0/○4f(x)=ax+1ax−1.a0，a≠1/○5f(x)=loga1+x1−x.a0，a≠1，−1x1/○6f(x)sinax○7f(x)=tanax○1f(x)=xn.n=2k，k∈Z/○2f(x)=ax+a−xm.a0，a≠1，m≠0/○3f(x)=|x|○4f(x)=cosnx【注意】①若f(x)具有奇偶性，则定义域关于原点对称②若奇函数f(x)在x=0处有定义，则f(x)=0③定义域关于原点对称，若f(x)=0，则f(x)既奇又偶④若f(x)定义域内f(−m)≠f(m)，则f(x)不是偶函数；若f(x)定义域内f(−m)≠−f(m)，则f(x)不是奇函数。⑤奇函数图象关于原点对称，原点两侧的对称区间上的单调性相同；偶函数图象关于y轴对称，原点两侧的对称区间上的单调性相反．3.奇偶性证明判断函数定义域{定义域不关于原点对称：非奇非偶定义域关于原点对称：计算f(−x)={f(x)偶函数−f(x)奇函数4.复合函数奇偶性○1奇函数±奇函数=奇函数○2偶函数±偶函数=偶函数○3奇函数±偶函数=非奇非偶函数○4y=f(𝑥)𝑔(𝑥)=同偶异奇3.4二次函数的图像和性质1.定义与解析式○1二次函数的定义