2016年全国数学建模b题

小区开放对道路通行的影响摘要：随着经济的高速发展和城市化进程的加快，城市道路交通拥堵问题成为困扰世界各大城市的社会问题之一，小区开放对道路通行的影响成为人们关注的焦点：开放小区能否达到优化路网结构，提高道路通行能力，改善交通状况的目的，以及改善效果如何.针对问题一：本文将车流量，平均行程延误，实际平均速度，道路饱和度和各道路之间的可达路径数作为描述道路通行情况的指标.车流量越大，平均行程延误越少，实际平均速度越大，道路饱和度低，各道路之间的可达路径越多，我们就认为道路通行状况比较好.针对问题二：我们将车辆通行分为三种情况：直行，左转，右转.分别建立了这三种情况的道路通行模型，根据实际情况，对丁字路口和十字路口的道路交通能力建立了等概率模型和非等概率模型，分别予以讨论.针对问题三：小区开放对道路通行产生的效果与小区所处的地理位置、小区面积的大小以及车流量有关.本文主要根据小区的地理位置将小区分成了四种不同类型，然后根据小区面积的大小确定了小区内部建设的道路个数，最后引入了可达矩阵，定量分析了小区开放前后对道路通行的影响.针对问题四：通过引入道路饱和度来衡量道路通行能力.利用问题二建立的等概率模型和非等概率模型计算了可能通行能力与基本通行能力的比值.关键词：车流量；通行能力；连通性；可达矩阵；饱和度1、问题重述2016年2月21日，国务院发布《关于进一步加强城市规划建设管理工作的若干意见》提出，新建住宅要推广街区制，原则上不再建设封闭住宅小区.除了开放小区可能引发的安保等问题外，议论的焦点之一是：开放小区能否达到优化路网结构，提高道路通行能力，改善交通状况的目的，以及改善效果如何.一种观点认为封闭式小区破坏了城市路网结构，堵塞了城市“毛细血管”，容易造成交通阻塞.小区开放后，路网密度提高，道路面积增加，通行能力自然会有提升.也有人认为这与小区面积、位置、外部及内部道路状况等诸多因素有1关，不能一概而论.还有人认为小区开放后，虽然可通行道路增多了，相应地，小区周边主路上进出小区的交叉路口的车辆也会增多，也可能会影响主路的通行速度.1.请选取合适的评价指标体系，用以评价小区开放对周边道路通行的影响.2.请建立关于车辆通行的数学模型，用以研究小区开放对周边道路通行的影响.3.小区开放产生的效果，可能会与小区结构及周边道路结构、车流量有关.请选取或构建不同类型的小区，应用你们建立的模型，定量比较各类型小区开放前后对道路通行的影响.4.根据你们的研究结果，从交通通行的角度，向城市规划和交通管理部门提出你们关于小区开放的合理化建议.2、模型假设1.假设每辆车车距保持不变；2.假设小区道路与外部道路都是都是互相垂直的；3.假设小车的加速过程忽略不计；4.假设通过某一距离的车辆总数不变；5.假设小区内部车道都是双车道；6.假设每个小区均为正方形.三、符号说明2符号含义l小区开放的门口到交叉路口的距离长度t通过l距离所花时间T直行车流量(h/辆)v汽车实际车速（km/h）l安两车之间的安全距离(m)0v这段距离的限制速度(km/h)w平均行程延误v实际的平均速度m可达路径的数目h道路通行的饱和度n一个周期内允许左转的车辆数r主干道的个数x每个主干道的车道数四、模型的建立与求解4.1问题一的求解4.1.1问题的分析选择合适的评价指标体系,用来研究小区开放对周边道路通行的影响.我们根据实际情况可以用车流量、平均行程延误、道路饱和度、道路之间的可达路径、实际平均速度来评价开放小区后这些指标是否发生变化，从而可以看出是否产生影响.4.1.2评价指标(1)车流量1000/()Tvll安车3(2)平均行程延误0()lwtlv(3)实际平均速度lvt(4)道路饱和度道路饱和度是反映道路服务水平的重要指标之一，其计算公式即为人们常说的/VC，其中V为最大交通量，C为最大通行能力.饱和度越低，则道路的通行能力越高，可以通过比较小区开放前后饱和度的变化，判断开放小区后，对周边道路通行的影响/hVC(5)道路之间的可达路径道路之间的可达路径用来表示小区周围的各道路之间可达的路径，各个道路之间的可达路径越多，道路的通行越好.4.2问题二的求解4.2.1问题的分析为了建立车辆通行的数学模型，用以研究小区开放对周边道路通行的影响，我们将车辆通行划分为3种方式，即直行,左转,右转，分别对这3种方式的通行能力建立模型，然后综合分析交叉路口的通行能力.4.2.2基本通行能力【1】基本通行能力是指道路与交通处于理想情况下，每一条车道（或每一条道路）在单位时间内能够通过的最大交通量.作为理想的道路条件，主要是车道宽度应不小于3.65m（我国公路规定为3.75m）路旁的侧向余宽不小于1.75m，纵坡平缓，并有开阔的视野，良好的平面线形和路面状况.作为交通的理想条件，主要是车辆组成单一的标准型汽车，在一条车道上以相同的速度，连续不断的行驶，各车辆之间保持相适应的最小车头间隔，且无任何方向的干扰.在这样的理想道路及交通条件下，建立的车流计算模式，所得出的最大交通通过量，即基本通行能力.基本通行能力为：4c基=01000vl（辆/h）4.2.3城市交叉口通行能力的计算模型一等概率模型模型基于等概率模型，即车辆在通过十字路口的不同转向概率是相等的，且不考虑交叉路口等其他因素对通行能力的影响，显然这是一个简化的模型.交叉口的通行能力是指各相交道路进口处通行能力之和（以进口处车道线作为基准面，凡是通过该断面的车辆被认为已通过交叉口），而每个进口处通行能力分为直行,右转,左转三种情况.1.直行车道通行能力=TN直=c基（辆/h）其中，T表示车流量2.右转车道通行能力(1)一条专用右转车道通行能力N右=N直（辆/h）(2)一条直右混行专用车道通行能力=2NN直直右（辆/h）3.左转车道通行能力(1)一条专用左转车道通行能力=NN左直（辆/h）(2)一条直左混行专用车道通行能力=2NN直直左（辆/h）4.整个交叉口通行能力=N++,NNNNpN可右交叉口直左交叉口5其中，p人道宽条，p为一个折减系数，人当双向过街人数达到500次/h，其折减系数可取人=0.63.条，道宽的折减系数可查阅相关道路资料，查阅标准参见《城市道路设计规范》【2】等相关规范，其中分别见表1，表2.表1车道宽度的通行能力折减系数道宽车道宽度（m）3.503.253.002.75折减系数1.000.940.850.77表2车道数的通行能力的折减系数条车道数第一条第二条第三条第四条第五条折减系数1.000.800.89:0.650.78:0.500.65:0.400.52:5.本文主要针对车辆通行的3种情况来建立模型，分别为直行车道，丁字形车道，以及十字形车道.(1)直行车道车辆通行模型模型计算公式为：=TN直其中，T表示直行车流量.(2)丁字形车道车辆通行模型6模型计算公式为：=N++NNN右交叉口直左（3）十字形车道车辆通行模型模型计算公式为：=N++NNN右交叉口直左城市道路的可能通行能力：pNc可基其中，p为一个折减系数.模型二非等概率模型模型基于非等概率模型，如车辆在十字路口等处转弯的概率不相等，且要考虑交叉路口等其他因素对通行能力的影响.7符号含义T周信号灯周期时间，一般取60~90st绿每个信号周期内的绿灯时间t损表示一个周期内绿灯损失时间，一般只计车辆加速损失时间损失a*2vt加t间前后车连续通过停车线的平均时间间隔2.5sn表示一个周期内允许左转的车辆数t右表示前后两右转车连续驶过停车线的时间间隔，小汽车t右=3.0~3.6s1.直行车道通行能力一条直行车道通行能力：-t3600=tNTt绿损直周间2.右转车道通行能力一条专用右转车道通行能力：N右=3600t右（辆/h）3.左转车道通行能力一条专用左转车道通行能力：3600=NnT左周（辆/h）（设左转信号灯）4.整个交叉口通行能力：=N++NNN右交叉口直左5.城市道路的可能通行能力：NpC可基4.3问题三的求解4.3.1问题的分析8为了分析小区开放对道路通行的影响，我们可以考虑小区开放后是否可以为道路分流，即是否可以使某一道路的车辆数变少.通过道路分流，可以提升道路的流通度.开放小区道路，可以使一个道路到另一条道路的可达路径变多，同样可使原来两个不相通的道路变的相通，本文引入了可达矩阵，用来描述各道路之间有路径数。由于小区内部建设道路与小区的面积有紧密的关系.本文先按小区的地理位置将小区分为了四种类型，然后根据小区面积的大小确定小区内建设的车道数.下面给出几个定义：连通性【5】：从一个结点u出发，到达与之相邻接的结点，在从该邻接结点出发到达其邻接的结点，依次类推，最后可以到达图中的某结点v,从而就得到一条从u到v的通路.可达路径的数目：从一个点到另一个点的路径的数目即使可达路径的数目可达矩阵:行列都表示不方向的道路，矩阵内元素值表示不同道路之间的可达路径的个数.4.3.2小区的分类本文按照小区与外部车道之间的关系，将小区分为4种不同类型，小区周围的车道看成是一个目标点.（1）小区位于两个平行的外部车道之间，如图1所示图1（2）小区位于丁字路口的两个外部车道之间，如图2所示9小区图2（3）小区位于两个十字路口之间，如图3所示图3（4）小区位于四个十字路口之间，如图4所示图44.3.3模型的建立由于对上述4种类型的小区分析模式一样，故本文以讨论小区面积大小对第三种类型的小区道路建设的影响为例.其它三类小区不再陈述.通过查询小区规模，我们将小区面积S分为S1=90000，S2=250000，S3=4900010小区区小区区小区区0，S4=1000000（单位：平方米）四种类型，查阅资料可知，小区的道路面积占小区面积的20%，本文研究将其中15%的面积用于建设车辆通道.根据表1，我们将每个车道宽道宽度设为3.5米，其折减系数为1.0，现分别计算上述四种面积在规定下得出的可以建设的最大道路数，如下表3.表3可见最大道路数类型面积（平方米）边长（米）道路长度（米）可建道路数S19000030091S2250000500152S3490000700213S410000001000304经过上面的分析我们可以定量的得出小区面积S和建设道路条数m的关系:[(20%15%)/7]mS,[x]表示不超过x的最大整数.通过分析小区周围外部道路的连通情况，建立一个可达矩阵来描述小区外部道路之间的可达路径的数量，同时可以很好的说明，小区开放的道路数对小区外部道路之间的连通情况的影响，从而定量的分析了小区开放前后对周边道路通行的影响.4.3.4模型的检验（1）小区不开放时的道路情况，如下图5：图5则各个道路之间的可达路径的可用矩阵表示为110110101111010110,其中，矩阵中行和列实际意义分别表示图5中1,2,3,4节点，节点的意思表示道路的交叉点.（2）当小区面积大小为S1时，小区可以建设一条双人道，当开放小区时，可以在区中建设如图6红色虚线部分的道路:图6则建设一条双人道后，各个道路之间的可达路径的矩阵为0222202222022220.（3）当小区面积大小为S2时，小区可以建设两条道路，当开放小区时，可以在小区中建设如图7红色虚线部分的道路:图7则建设二条双人道后，各个道路之间的可达路径的矩阵为120434404334034330.（4）当小区面积大小为S3时，小区可以建设三条道路，当开放小区时，可以在小区中建设如图8红色虚线部分的道路:图8则建设三条双人道后，各个道路之间的可达路径的矩阵为0877808778078770.（5）当小区面积大小为S4时，小区可以建设四条道路，当开放小区时，可以在小区中建设如图9红色虚线部分的道路：图9则建设四条双人道后，各个道路之间的可达路径的矩阵为0161515160161515160151515150.综上可以看出，对不同面积的小区开放小区后，各个