名师推荐高二定积分及其简单应用

定积分及其简单应用定积分∫ba[f(x)－g(x)]dx(f(x)g(x))的几何意义是什么？提示：由直线x＝a，x＝b和曲线y＝f(x)，y＝g(x)所围成的曲边梯形的面积．②一般情况下，定积分∫baf(x)dx的几何意义是介于x轴、曲线f(x)以及直线x＝a，x＝b之间的曲边梯形面积的代数和(右上图中阴影所示)，其中在x轴上方的面积等于该区间上的积分值，在x轴下方的面积等于该区间上积分值的相反数．3．直线x＝0，x＝2，y＝0与曲线y＝x2所围成的曲边梯形的面积为________．解析：∫20x2dx＝13x3|20＝83.答案：834．∫101－x2dx＝________.解析：由定积分的几何意义可知，∫101－x2dx表示单位圆x2＋y2＝1在第一象限内部分的面积，所以∫101－x2dx＝14π.答案：14π例1、利用微积分基本定理求下列定积分：(1)∫21(x2＋2x＋1)dx；(2)∫π0(sinx－cosx)dx；(3)∫20x(x＋1)dx；(4)∫21e2x＋1xdx；(5)20sin2x2dx.[解答](1)∫21(x2＋2x＋1)dx＝∫21x2dx＋∫212xdx＋∫211dx＝x33|21＋x2|21＋x|21＝193.(2)∫π0(sinx－cosx)dx＝∫π0sinxdx－∫π0cosxdx＝(－cosx)|π0－sinx|π0＝2.(3)∫20x(x＋1)dx＝∫20(x2＋x)dx＝∫20x2dx＋∫20xdx＝13x3|20＋12x2|20＝13×23－0＋12×22－0＝143.(4)∫21e2x＋1xdx＝∫21e2xdx＋∫211xdx＝12e2x|21＋lnx|21＝12e4－12e2＋ln2－ln1＝12e4－12e2＋ln2.(5)20sin2x2dx＝2012－12cosxdx＝2012dx－1220cosxdx＝12x20－12sinx20＝π4－12＝π－24.变式练习1．求下列定积分：(1)∫20|x－1|dx；(2)201－sin2xdx.解：(1)|x－1|＝1－x，x∈[0，1x－1，x∈[1，2]故∫20|x－1|dx＝∫10(1－x)dx＋∫21(x－1)dx＝x－x22|10＋x22－x|21＝12＋12＝1.(2)201－sin2xdx＝20|sinx－cosx|dx＝40(cosx－sinx)dx＋24(sinx－cosx)dx＝(sinx＋cosx)40＋(－cosx－sinx)24＝2－1＋(－1＋2)＝22－2.例2、∫10－x2＋2xdx＝________.[解答]∫10－x2＋2xdx表示y＝－x2＋2x与x＝0，x＝1及y＝0所围成的图形的面积．由y＝－x2＋2x得(x－1)2＋y2＝1(y≥0)，又∵0≤x≤1，∴y＝－x2＋2x与x＝0，x＝1及y＝0所围成的图形为14个圆，其面积为π4.∴∫10－x2＋2xdx＝π4.在本例中，改变积分上限，求∫20－x2＋2xdx的值．解：∫20－x2＋2xdx表示圆(x－1)2＋y2＝1在第一象限内部分的面积，即半圆的面积，所以∫20－x2＋2xdx＝π2.变式练习2．(2013·福建模拟)已知函数f(x)＝∫x0(cost－sint)dt(x0)，则f(x)的最大值为________．解析：因为f(x)＝∫x02sinπ4－tdt＝2cosπ4－t|x0＝2cosπ4－x－2cosπ4＝sinx＋cosx－1＝2sinx＋π4－1≤2－1，当且仅当sinx＋π4＝1时，等号成立．答案：2－1归纳1、利用几何意义求定积分的方法(1)当被积函数较为复杂，定积分很难直接求出时，可考虑用定积分的几何意义求定积分．(2)利用定积分的几何意义，可通过图形中面积的大小关系来比较定积分值的大小．四、拓展延伸能力升华利用定积分求平面图形的面积例1、(2012·山东高考)由曲线y＝x，直线y＝x－2及y轴所围成的图形的面积为()A.103B．4C.163D．6[解答]由y＝x及y＝x－2可得，x＝4，即两曲线交于点(4,2)．由定积分的几何意义可知，由y＝x及y＝x－2及y轴所围成的封闭图形面积为∫40(x－x＋2)dx＝23x32－12x2＋2x|40＝163.[答案]C若将“y＝x－2”改为“y＝－x＋2”，将“y轴”改为“x轴”，如何求解？解：如图所示，由y＝x及y＝－x＋2可得x＝1.由定积分的几何意义可知，由y＝x，y＝－x＋2及x轴所围成的封闭图形的面积为∫20f(x)dx＝∫10xdx＋∫21(－x＋2)dx＝23x32|10＋2x－x22|21＝76.变式练习3．(2013·郑州模拟)如图，曲线y＝x2和直线x＝0，x＝1，y＝14所围成的图形(阴影部分)的面积为()A.23B.13C.12D.14解析：选D由y＝14，y＝x2⇒x＝12或x＝－12(舍)，所以阴影部分面积S＝12014－x2dx＋112x2－14dx＝14x－13x3120＋13x3－14x112＝14.定积分在物理中的应用例2、列车以72km/h的速度行驶，当制动时列车获得加速度a＝－0.4m/s2，问列车应在进站前多长时间，以及离车站多远处开始制动？[解答]a＝－0.4m/s2，v0＝72km/h＝20m/s.设ts后的速度为v，则v＝20－0.4t.令v＝0，即20－0.4t＝0得t＝50(s)．设列车由开始制动到停止所走过的路程为s，则s＝∫500vdt＝∫500(20－0.4t)dt＝(20t－0.2t2)|500＝20×50－0.2×502＝500(m)，即列车应在进站前50s和进站前500m处开始制动．变式练习4．一物体在力F(x)＝100≤x≤23x＋4x2(单位：N)的作用下沿与力F(x)相同的方向运动了4米，力F(x)做功为()A．44JB．46JC．48JD．50J解析：选B力F(x)做功为∫2010dx＋∫42(3x＋4)dx＝10x|20＋32x2＋4x42＝20＋26＝46.例3、(2012·上海高考)已知函数y＝f(x)的图象是折线段ABC，其中A(0,0)，B12，5，C(1,0)．函数y＝xf(x)(0≤x≤1)的图象与x轴围成的图形的面积为________．[解析]由题意可得f(x)＝10x，0≤x≤12，10－10x，12x≤1，所以y＝xf(x)＝10x2，0≤x≤12，10x－10x2，12x≤1，与x轴围成图形的面积为12010x2dx＋112(10x－10x2)dx＝103x3120＋5x2－103x3112＝54.[答案]54变式练习1．由曲线y＝x2，y＝x3围成的封闭图形面积为()A.112B.14C.13D.712解析：选A由y＝x2，y＝x3，得x＝0或x＝1，由图易知封闭图形的面积＝∫10(x2－x3)dx＝13－14＝112.2．(2012·山东高考)设a0.若曲线y＝x与直线x＝a，y＝0所围成封闭图形的面积为a2，则a＝________.解析：由题意∫a0xdx＝a2.又23x32′＝x，即23x32|a0＝a2，即23a32＝a2.所以a＝49.五、课后作业巩固提高1.∫e11＋lnxxdx＝()A．lnx＋12ln2xB.2e－1C.32D.12解析：选C∫e11＋lnxxdx＝lnx＋ln2x2e1＝32.2．(2012·湖北高考)已知二次函数y＝f(x)的图象如图所示，则它与x轴所围图形的面积为()A.2π5B.43C.32D.π2解析：选B由题中图象易知f(x)＝－x2＋1，则所求面积为2∫10(－x2＋1)dx＝2－x33＋x10＝43.3．设f(x)＝x2，x∈[0，1]，2－x，x∈1，2]，则∫20f(x)dx＝()A.34B.45C.56D．不存在解析：选C如图．∫20f(x)dx＝∫10x2dx＋∫21(2－x)dx＝13x3|10＋2x－12x2|21＝13＋4－2－2＋12＝56.4．以初速度40m/s竖直向上抛一物体，t秒时刻的速度v＝40－10t2，则此物体达到最高时的高度为()A.1603mB.803mC.403mD.203m解析：选Av＝40－10t2＝0，t＝2，∫20(40－10t2)dt＝40t－103t3|20＝40×2－103×8＝1603(m)．5．(2013·青岛模拟)由直线x＝－π3，x＝π3，y＝0与曲线y＝cosx所围成的封闭图形的面积为()A.12B．1C.32D.3解析：选D结合函数图象可得所求的面积是定积分33cosxdx＝sinx33＝32－－32＝3.6．设a＝∫π0sinxdx，则曲线y＝f(x)＝xax＋ax－2在点(1，f(1))处的切线的斜率为________．解析：∵a＝∫π0sinxdx＝(－cosx)|π0＝2，∴y＝x·2x＋2x－2.∴y′＝2x＋x·2xln2＋2.∴曲线在点(1，f(1))处的切线的斜率k＝y′|x＝1＝4＋2ln2.答案：4＋2ln27．在等比数列{an}中，首项a1＝23，a4＝∫41(1＋2x)dx，则该数列的前5项之和S5等于________．解析：a4＝∫41(1＋2x)dx＝(x＋x2)|41＝18，因为数列{an}是等比数列，故18＝23q3，解得q＝3，所以S5＝231－351－3＝2423.答案：24238．(2013·孝感模拟)已知a∈0，π2，则当∫a0(cosx－sinx)dx取最大值时，a＝________.解析：∫a0(cosx－sinx)dx＝(sinx＋cosx)|a0＝sina＋cosa－1＝2sina＋π4－1，∵a∈0，π2，∴当a＝π4时，2sina＋π4－1取最大值．答案：π49．计算下列定积分：(1)20sin2xdx；(2)∫32x＋1x2dx；(3)120e2xdx.解：(1)20sin2xdx＝201－cos2x2dx＝12x－14sin2x20＝π4－14sinπ－0＝π4.(2)∫32x＋1x2dx＝∫32x＋1x＋2dx＝12x2＋2x＋lnx|32＝92＋6＋ln3－(2＋4＋ln2)＝92＋ln3－ln2＝92＋ln32.(3)120e2xdx＝12e2x120＝12e－12.10．如图所示，直线y＝kx分抛物线y＝x－x2与x轴所围图形为面积相等的两部分，求k的值．解：抛物线y＝x－x2与x轴两交点的横坐标为x1＝0，x2＝1，所以，抛物线与x轴所围图形的面积S＝∫10(x－x2)dx＝x22－13x3|10＝16.又y＝x－x2，y＝kx，由此可得，抛物线y＝x－x2与y＝kx两交点的横坐标为x3＝0，x4＝1－k，所以，S2＝∫1－k0(x－x2－kx)dx＝1－k2x2－13x3|1－k0＝16(1－k)3.又知S＝16，所以(1－k)3＝12，于是k＝1－312＝1－342.11．如图，设点P从原点沿曲线y＝x2向点A(2,4)移动，直线OP与曲线y＝x2围成图形的面积为S1，直线OP与曲线y＝x2及直线x＝2围成图形的面积为S2，若S1＝S2，求点P的坐标．解：设直线OP的方程为y＝kx，点P的坐标为(x，y)，则∫x0(kx－x2)dx＝∫2x(x2－kx)dx，即12kx2－13x3|x0＝13x3－12kx2|2x，解得12kx2－13x3＝83－2k－13x3－12kx2，解得k＝43，即直线OP的方程为y＝43x，所以点P的坐标为