1.1数学物理方程举例和基本概念讲解

工程数学数学物理方程与特殊函数目录上页下页返回结束第一章典型方程与定解条件㈠引言物理过程、物理现象u物理量如：位移、时间、温度、密度、场强，等等.☛在数学中，我们发现真理的主要工具是归纳和模拟。——拉普拉斯☛想要探索自然界的奥秘就得解微分方程——牛顿基本规律或定律变化规律,y,zx空间位置t时间,,,zuutxy物理规律从数量形式上刻画了由相应的物理定律所确立的某些物理量之间的相互制约关系泛定方程偏微分方程边界条件初始条件定解条件+=确定系数定解问题※泛定方程反映的是同一类物理现象的共性，和具体条件无关。目录上页下页返回结束,,uxtPxtxY张应力杨氏模量相对伸长概述性地描述物理系统数学建模中常用的几个物理学定律：Newton;Fma⑴牛顿第二定律：Hooke⑵胡克定律：弹性体的相对和应变成伸长正比，即unn与沿面积元外法线方向的温度变化率成正比，ddtS也与和成正比，即dddtSQ在时间内，通过面积元流入小体积元的热量在弹性限度内，弹性体的张单位横截应力面上的内力ddduQkStn,k其中，为热传导系数，由物体的材料决定。uqknNewton⑷牛顿冷却定律：ku物体冷却时放出的热量，Fourier⑶热传导定律：Fourier实验定律q热流强度与物体和外界的0uu边温度差成正比，即0uH其中为外界介质的温度，为比例系数。0kuHuu边目录上页下页返回结束⑸热量质量守恒定律：⑹费克Fick定律：扩散定律⑺高斯Guass定律：11,,,Dtuxyzt物体内部各点温度由任一时刻的温度221,,,tuxyztQ变化为的温度所吸收或放出的热量，浓度变化所需增加或减少的质量12tt等于从到这段时间内进入或流出物体内部的净23QQ流热量与物体内部的源所产生的热量之和，即123.QQQ❈一般说来，由于浓度的不均匀，物质从浓度高的地方向浓度低的地方转移，这种现象叫扩散。例如：气体、液体、固体中都有扩散现象。S通过任一闭曲面的电通量，等于这个闭曲面所包围的1自由电荷的电量的倍，即其中，为介电常数，为电荷体密度。1dd,SVESVqqku粒子流强度与浓度的下降率成正比，即k其中，为扩散系数，负号表示浓度减少的方向。目录上页下页返回结束参考书目:数学物理方程学习指导与习题解答陈才生科学出版社2010年数学物理方程与特殊函数学习指南王元明高等教育出版社2004年数学物理方程与特殊函数学习指导与习题全解赵振海大连理工大学出版社2003年数学物理方法学习指导姚端正科学出版社2001年数学物理方程与特殊函数导教·导学·导考张慧清西北工业大学出版社2005年超星数字图书馆（注:网络图书馆）目录上页下页返回结束⑴数学物理方程：㈡方程的几个基本概念①定义：主要指从物理学以及其他自然科学、工程技术中所产生的偏微分方程，有时也包括与此有关的一些常微分方程、积分方程、微分积分方程等。例如：1描绘振动和波振动波，电磁波动特征的波动方程:2.ttxxuauf2:热传导反映输或扩运程的散方程过2,Laplace.tuauf其中是算子;3描述稳定过程或状态，如：引力势和Poisso静电势满足n方程的20,Laplace.auh其中是算子0,0.hu若则退化为Laplace方程:双曲型抛物型椭圆型典型方程②数学物理方程的发展历史简述偏微分方程理论的起源可追溯到十八世纪（微积分产生之后），人们将力学中的一些问题，归结为偏微分方程进行研究。例如：1715年，泰勒（1746年，达朗贝尔）研究了弦线振动规律，归结为一维弦振动方程。这一目录上页下页返回结束讨论吸引了众多数学家的注意。例如：欧拉（1759年）和丹·贝努利（1762年）在声波的研究中将该方程推广到二、三维。这样就由对弦振动的研究开创了数学物理方程这门学科。随后，人们陆续地了解了流体的运动、弹性体的平衡与振动、热传导、电磁相互作用、原子核和电子的相互作用、化学反应过程等等自然现象的基本规律，把它们写成偏微分方程的形式，并且求出了典型问题的解。例如：1780年，Laplace在研究引力势的工作中提出了Laplace方程。Euler与Lagrange在流体力学的工作中，Legendre和Laplace在天体力学的工作中都研究了调和方程。所有这些都丰富了这门学科的内容。数学物理问题的研究繁荣起来是在十九世纪，许多数学家都对数学物理问题的解决做出了贡献。如：Fourier（1811年），在研究热的传播中，提出了三维空间的热传导方程。他的研究对偏微分方程的发展产生了重大影响。Cauchy给出了第一个关于解的存在定理，开创了PDE的现代理论。到19世纪末，二阶线性PDE的一般理论已基本建立，PDE这门学科开始形成。从二十世纪开始，随着现代科学和技术的进步，数学物理也有了新的面貌。不断涌现新的数学物理方程、理论（广义函数论和索伯列夫空间）、方法。例如：爱因斯坦方程（引力场），Yang-Mills方程（规范场）目录上页下页返回结束⑵偏微分方程方程中除了含有几个自变量和未知函数外，还含有未知函数的偏导数(也可仅含偏导数)的方程称为偏微分方程。①定义一般形式：1212,,,,,,,,,0.nnuuuFxxxuFxxx，其中为已知函数②方程的阶方程中涉及到的未知函数偏导数的最高阶数称为偏微分方程的阶。③方程的分类●线性偏微分方程如果一个偏微分方程对于未知函数及其各阶偏导数都是线性的（一次的），且其系数仅依赖于自变量，就称之为线性偏微分方程。●非线性偏微分方程如果非线性方程对未知函数的一切最高阶偏导数是线性的（一次的），则称其为拟线性偏微分方程。若非线性方程对未知函数的一切最高阶偏导数是线性的（一次的），而其系数不含未知函数及其低阶偏导数，则称其为半线性偏微分方程。目录上页下页返回结束对线性偏微分方程而言，将方程中不含未知函数及其偏导数的项称之为自由项。线性偏微分方程可分为当自由项为零时齐次方程当自由项为非零时非齐次方程判断下列方程的类型，并指例如：出方程的阶22222221,,,;uuuuafxyzttxyz22222220;uuuxyy222223;uuatx242244,;uuafxttx222222251210;uuuuuuuyxxyxyxy3360;uuucutxx07;0uvxyuvyx208;0uutxxuucutxx2阶2阶2阶4阶2阶1阶1阶3阶线性线性线性线性非线性非线性线性非线性非齐次齐次齐次非齐次齐次半线性拟线性拟线性目录上页下页返回结束判断下列方程的类型，并指例如：出方程的阶222211;puuuuptxy，其中是常数2阶22222,,,,,,,;uuuuuuaxybufxyuxyxyxy2阶2222223;uuuxy2阶非线性半线性非线性拟线性非线性完全非线性④偏微分方程具有3个特点特点1：解的自由度比常微分方程大。这是因为n阶常微分方程的解通常依赖于n个任意常数；而对n阶偏微分方程，其解通常依赖于n个任意函数.注：一般地，任意函数的个数与方程的阶数相等.特点2：偏微分方程解的存在性，较常微分方程相比，有较大的差别。注：常微分方程在相当一般的条件下，解是局部存在的。但偏微分方程也有在条件非常好的情况下，解在非常小的局部范围内也不存在的。特点2：解具有叠加性注：解的叠加原理对任何阶的线性方程都适用，而对非线性方程不成立.目录上页下页返回结束⑶定解条件与定解问题①定解条件的定义定解条件是确定数学物理方程解中所含的任意函数或常数，使解具有唯一性的充分必要条件。②定解条件的种类定解条件初始条件边界条件衔接条件定义：体现物理过程初始状况的数学表达式个数：关于时间t的n阶偏微分方程，要给出n个初始条件才能确定一个特解定义：体现物理过程边界状况的数学表达式种类第一类边值条件第二类边值条件第三类边值条件个数：类似于初始条件的情况由于系统由不同介质组成，在两种不同介质的交界处需给定两个衔接条件其他条件：由于物理上的合理性的需要，有时还需对未知函数附加以单值、有限、周期性等限制，这类附加条件称为自然边界条件.目录上页下页返回结束定解问题初值问题：由泛定方程和初始条件构成的定解问题，也称为柯西（Cauchy）问题.边值问题：由泛定方程和边值条件构成的定解问题.混合问题：由泛定方程和初、边值条件构成的定解问题.注意：泛定方程只能反映和描述同一类现象的共同规律，即共性.定解条件描述物理问题的特性，即个性。二者构成了描述具体物理问题的定解问题（数学模型）.③定解问题、微分方程的解、定解问题的适定性微分方程的解假设方程的阶数为n，若函数u在所考虑的区域内具有n阶的连续偏导数，且代入方程后能使方程成为恒等式，则称u为方程的解（或古典解）.若方程解u的表达式中含有n个任意常数（或函数），则称u是方程的通解（或一般解）.通过定解条件确定了通解中的任一常数（或函数）后所得到的解，称之为定解问题的解。未经过验证的解，称之为形式解。注：除了古典解外，根据实际应用需要，还研究各种广义意义下的解。它们按较弱的意义满足方程，这种解称为广义解。目录上页下页返回结束定解问题的适定性定解问题是否能够反映实际，或者，定解问题的提法是否适合？从数学的角度看主要从下面三个方面来验证：解的存在性：即在给定的定解条件下，定解问题是否有解存在?解的唯一性：即在给定的定解条件下，定解问题的解若存在，是否唯一？若能确定问题解的存在唯一性，就能采用合适的方法去寻找它。解的稳定性：当定解条件及方程中的参数有微小变化时，解也只有微小的变动，则称该定解问题的解是稳定的，否则称之为不稳定的。如果一个定解问题的解存在、唯一、且解连续依赖于定解条件中的初始数据或边界数据，则称该定解问题是适定的，否则称它是不适定的.注：对不适定问题的研究也是非常有意义的！例如：在流体力学、电磁学、金属探矿、气象预报等实际问题中.例如：对于某物体，希望在某时刻具有一个实际的温度分布，那么在初始时刻物体应具有一个什么样的温度分布才能达到此目的？—这是个不适定的问题，它是所谓的数学物理问题的反问题。注：对不适定问题的研究已成为偏微分方程的一个重要研究方向。1923年，阿达马（J.S.Hadamard，法国）提出目录上页下页返回结束基本步骤㈢数学物理方程的导出1、明确要研究的物理量是什么？建立适当的坐标系，从所研究的系统中2、研究物理量遵循哪些物理规律？据此，以数学式子表达这个作用；3、化简、整理即得所研究问题的偏微分方程（泛定方程）。划出任一微元，分析邻近部分与它的相互作用；①弦振动方程和定解条件物理模型（弦的微小横振动问题）l细弦设有一根拉紧的均匀，其长为，线密软度为柔，且在单位长度上受到F垂直于弦向上的力初始小扰动后，在平衡位置附近作微小横振动.试确定该弦上各点的运动规律.分析.如图选择坐标系，xPxxQFxuoA,uxttx设表示弦上各点在时刻沿垂直于方向的位移.利用建微元法立方程.,,xxx任取一弧段它的弧长为21dxxxxPQux.x目录上页下页返回结束xxxxPQFuPTQT,xxx这说明：弧段在整个振动过程中始终没.发生伸长变化HookeTt由定律，张力与时间无关.另一方面，注意到coscosTxTxxc