双曲线的简单几何性质高频考点习题课

2.2.2双曲线的简单几何性质河北香河一中曹利霞小结ax或axayay或)0,(a),0(axabyxbayace)(222bac其中关于坐标轴和原点都对称性质双曲线)0,0(12222babyax)0,0(12222babxay范围对称性顶点渐近线离心率图象1、填表方程32822yx81922yx422yx1254922yx2a2b范围顶点焦点离心率渐近线|x|≥0,240,6223exy424618|x|≥3(±3,0)0,10310ey=±3x44|y|≥2(0,±2)2e22,0xy1014|y|≥5(0,±5)74,0574exy752824例1:求双曲线的实半轴长,虚半轴长,焦点坐标,离心率.渐近线方程。解：把方程化为标准方程可得:实半轴长a=4虚半轴长b=3半焦距c=焦点坐标是(0,-5),(0,5)离心率:渐近线方程:14416922xy1342222xy5342245acexy34例题讲解巩固练习1.中心在原点，实轴长为10，虚轴长为6的双曲线的标准方程为（）A.192522yxC.16410022yxB.192522yx192522xy或D.16410022yx16410022xy或BA.xy32B.xy94C.xy23D.xy49C2.双曲线的渐近线方程为（）19422yx3.双曲线的虚轴长是实轴长的2倍，则m的值为122ymx411、若双曲线的渐近线方程为则双曲线的离心率为。4,3yx课堂练习.)1(,.55,25,13,12)182.2(,2mmmmm到精确此双曲线方程求出适当的坐标系试选择高为下口半径径为上口半为径半它的最小图旋转所成的曲面虚轴其部分绕的一是双曲线塔的外形双曲线型冷却例8221.图`AABB`C`Cxy8222.图131225O.`||,`||,``,,.,`,,.2252132822BBCCxBBCCxAAxOy且轴都平行于上、下口的直径这时重合圆心与原点轴上在径使小圆的直角坐标系建立直如图解,,0012222babyax设双曲线的方程为.,5525yB的坐标为则点,,yC13的坐标为令点所以在双曲线上因为点,,CB`AABB`C`Cxy8222.图131225O2112131155122522222222.,byby,,负值舍去得由方程1252by..,,25018150275191551251225122222bbbbb用计算器解得化简得得代入方程.,162514422yx所求双曲线的方程为所以12222byax的方程为解：依题意可设双曲线8162aa，即10,45cace又3681022222acb1366422yx双曲线的方程为xy43渐近线方程为)0,10(),0,10(21FF焦点.4516线和焦点坐标程，并且求出它的渐近出双曲线的方轴上，中心在原点，写焦点在，，离心率离是已知双曲线顶点间的距xe例3:⑴与双曲线221916xy有共同渐近线，且过点(3,23)；⑵与双曲线221164xy有公共焦点，且过点(32,2)例4:求下列双曲线的标准方程：例题讲解⑴法一:直接设标准方程,运用待定系数法考虑.(一般要分类讨论)解:双曲线221916xy的渐近线为43yx,令x=-3,y=±4,因234,故点(3,23)在射线43yx（x≤0）及x轴负半轴之间,∴双曲线焦点在x轴上,∴设双曲线方程为22221xyab(a0,b0),∴222243(3)(23)1baab解之得22944ab,∴双曲线方程为221944xy根据下列条件，求双曲线方程:⑴与双曲线221916xy有共同渐近线，且过点(3,23)；法二：巧设方程,运用待定系数法.⑴设双曲线方程为,22(0)916xy22(3)(23)91614221944双曲线的方程为xy法一:直接设标准方程,运用待定系数法⑵解:设双曲线方程为22221xyab(a0,b0)则22222220(32)21abab解之得22128ab∴双曲线方程为221128xy根据下列条件，求双曲线方程:⑵与双曲线221164xy有公共焦点，且过点(32,2).法二：设双曲线方程为221164xykk16040kk且221128xy∴双曲线方程为22(32)21164kk∴,解之得k=4,222221,2012(30)xymmm或设求得舍去“共渐近线”的双曲线的应用222222221(0)xyabxyab与共渐近线的双曲线系方程为，为参数，λ0表示焦点在x轴上的双曲线；λ0表示焦点在y轴上的双曲线。2231492454xye、求与椭圆有公共焦点，且离心率的双曲线方程。.1916,91625,4455,1505.5,252449222222222yxbaaayaxcc可得求得然后由设共焦点的双曲线为），，焦点为（得解：由4.求与椭圆xy221681有共同焦点，渐近线方程为xy30的双曲线方程。解：椭圆的焦点在x轴上，且坐标为），（，，022)022(21FF双曲线的焦点在轴上，且xc22双曲线的渐近线方程为xy33bacabab33822222，而，解出2622ba，双曲线方程为xy22621.,45516:0,5,5的轨迹求点的距离的比是常数的距离和它到直线到定点点例MxlFyxM.45516522xyx由此得.,形成轨迹过程观察动点操作打开的几何画板MHFxyMOd922.图,||,45dMFMPlMd集合所求轨迹就是的距离到到直线是点设解.,,,19161441692222yxyx即得并化简将上式两边平方..,92268图的双曲线、分别为是实轴、虚轴长的轨迹点所以MHFxyMOd922.图典例透析题型一题型二题型三题型四求双曲线的标准方程【例6】已知双曲线的渐近线方程为2x±3y=0.(1)若双曲线过点P(6,2),求双曲线的标准方程;(2)若双曲线的焦距是213,求双曲线的标准方程.典例透析题型一题型二题型三题型四(2)设双曲线的方程为𝑥2𝑎2−𝑦2𝑏2=1或𝑦2𝑎2−𝑥2𝑏2=1(𝑎0,𝑏0).∵c2=a2+b2,∴a2+b2=13.∵渐近线的斜率为𝑏𝑎=23或𝑎𝑏=23,∴𝑏𝑎=23,𝑎2+𝑏2=13或𝑎𝑏=23,𝑎2+𝑏2=13.∴𝑎2=9,𝑏2=4或𝑎2=4,𝑏2=9.故所求双曲线的标准方程为𝑥29−𝑦24=1或𝑦24−𝑥29=1.典例透析题型一题型二题型三题型四解法二:双曲线的渐近线方程为y=±23𝑥,即𝑥3±𝑦2=0.设双曲线的方程为𝑥29−𝑦24=𝜆(𝜆≠0).(1)∵双曲线过点P(6,2),∴69−44=𝜆.∴𝜆=−13.故所求双曲线的标准方程为𝑦243−𝑥23=1.典例透析题型一题型二题型三题型四(2)若λ0,则a2=9λ,b2=4λ,c2=a2+b2=13λ,由题设,知2c=213,则λ=1.故所求双曲线的标准方程为𝑥29−𝑦24=1.若λ0,则a2=-4λ,b2=-9λ,c2=a2+b2=-13λ,由题设,知2c=213,则λ=-1.故所求双曲线的标准方程为𝑦24−𝑥29=1.综上可知所求双曲线的标准方程为𝑥29−𝑦24=1或𝑦24−𝑥29=1.典例透析题型一题型二题型三题型四反思双曲线的方程有两种设法,第一种方法是直接设出双曲线的标准方程,利用条件列出独立的关于a,b,c的等式,解方程组求出待定系数.第二种方法是利用共渐近线的双曲线系,由题设条件建立关于参数λ的关系式并确定λ,但应注意λ的符号与双曲线焦点位置的对应.典例透析题型一题型二题型三题型四【变式训练1】求中心在原点,对称轴为坐标轴,且满足下列条件的双曲线方程:(1)双曲线过点(3,92),离心率𝑒=103;(2)过点P(2,-1),渐近线方程是y=±3x.典例透析解:(1)由e=103,得𝑐2𝑎2=109.设a2=9k(k0),则c2=10k,b2=c2-a2=k.于是,设所求双曲线方程为𝑥29𝑘−𝑦2𝑘=1,①或𝑦29𝑘−𝑥2𝑘=1,②把(3,92)代入①,得k=-161与k0矛盾,无解;把(3,92)代入②,得k=9,故所求双曲线方程为𝑦281−𝑥29=1.(2)由渐近线方程3x±y=0,可设所求双曲线方程为𝑥219−𝑦2=𝜆(𝜆≠0),(*)将点P(2,-1)的坐标代入(*),得λ=35,故所求双曲线方程为𝑥2359−𝑦235=1.典例透析求双曲线的简单几何性质【例2】如图,已知F1,F2为双曲线𝑥2𝑎2−𝑦2𝑏2=1(𝑎0,𝑏0)的焦点,过𝐹2作垂直于𝑥轴的直线交双曲线于点𝑃,且∠PF1F2=30°,求双曲线的渐近线方程.分析:由于PF2⊥x轴,因而可先求得点P的纵坐标,即可知|PF2|的值,再结合△PF1F2为直角三角形及双曲线的定义,可求得a,b间的关系,就可求得渐近线的斜率.典例透析题型一题型二题型三题型四解法一:设F2(c,0)(c0),P(c,y0),则𝑐2𝑎2−𝑦02𝑏2=1,解得y0=±𝑏2𝑎.则|PF2|=𝑏2𝑎.在Rt△PF2F1中,∠PF1F2=30°,则|F1F2|=3|𝑃𝐹2|,即2c=3·𝑏2𝑎,将c2=a2+b2代入,解得b2=2a2,则𝑏𝑎=2.故双曲线的渐近线方程为y=±2𝑥.典例透析题型一题型二题型三题型四解法二:设F2(c,0)(c0),P(c,y0),则𝑐2𝑎2−𝑦02𝑏2=1,解得y0=±𝑏2𝑎.故|PF2|=𝑏2𝑎.在Rt△PF2F1中,∠PF1F2=30°,则|PF1|=2|PF2|.①由双曲线的定义,可知|PF1|-|PF2|=2a,②由①②,得|PF2|=2a,∵|PF2|=𝑏2𝑎,∴2𝑎=𝑏2𝑎,即b2=2a2.∴𝑏𝑎=2.∴双曲线的渐近线方程为y=±2𝑥.典例透析题型一题型二题型三题型四【变式训练3】已知点P为双曲线C1:𝑥2𝑎2−𝑦2𝑏2=1(a0,b0)和圆C2:x2+y2=a2+b2的一个交点,且2∠PF1F2=∠PF2F1,其中F1,F2为双曲线C1的两个焦点,则双曲线C1的离心率为()A.3B.1+2C.3+1D.2典例透析题型一题型二题型三题型四解析:如图所示,∠F1PF2=90°,又2∠PF1F2=∠PF2F1,∴∠PF1F2=30°,∠PF2F1=60°.在△F1PF2中,|F1F2|=2c,|PF1||PF2|,答案:C∴|PF1|=3c,|PF2|=c.由双曲线的定义知,|PF1|-|PF2|=2a,即3c-c=2a,∴e=𝑐𝑎=23-1=3+1,故选C.12byax222（a＞b＞0）12222byax(a＞0b＞0)222ba(a＞0b＞0)c222ba(a＞b＞0)c椭圆双曲线方程abc关系图象yXF10F2MXY0F1F2p小结渐近线离心率顶点对称性范围准线|x|a,|y|≤b|x|≥a，yR对称轴：x轴，y轴对称中心：原点对称轴：x轴，y轴对称中心：原点（-a,0)(a,0)(0,b)(0,-b)长轴：2a短轴：2b(-a,0)(a,0)实轴：2a虚轴：2be=ac(0＜e＜1)ac