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基础诊断考点突破课堂总结基础诊断考点突破课堂总结最新考纲1.了解数列的概念和几种简单的表示方法(列表、图象、通项公式);2.了解数列是自变量为正整数的一类函数.第1讲数列的概念及简单表示法基础诊断考点突破课堂总结1.数列的定义按照__________排列的一列数称为数列,数列中的每一个数叫做这个数列的_______.知识梳理一定顺序项基础诊断考点突破课堂总结2.数列的分类分类原则类型满足条件按项数分类有穷数列项数__________无穷数列项数__________按项与项间的大小关系分类递增数列an+1_____an其中n∈N*递减数列an+1_____an常数列an+1=an按其他标准分类有界数列存在正数M,使|an|≤M摆动数列从第二项起,有些项大于它的前一项,有些项小于它的前一项的数列有限无限><基础诊断考点突破课堂总结5.已知数列{an}的前n项和Sn,则an=n=1,n≥2.3.数列的表示法数列有三种表示法,它们分别是__________、__________和__________.4.数列的通项公式如果数列{an}的第n项与__________之间的关系可以用一个式子来表示,那么这个公式叫做这个数列的通项公式.列表法图象法解析法序号nS1Sn-Sn-1基础诊断考点突破课堂总结(1)所有数列的第n项都能使用公式表达.()(2)根据数列的前几项归纳出数列的通项公式可能不止一个.()(3)任何一个数列不是递增数列,就是递减数列.()(4)如果数列{an}的前n项和为Sn,则对∀n∈N*,都有an=Sn-Sn-1.()诊断自测1.判断正误(在括号内打“√”或“×”)精彩PPT展示×√××基础诊断考点突破课堂总结2.(2014·保定调研)在数列{an}中,已知a1=1,an+1=2an+1,则其通项公式为an=()A.2n-1B.2n-1+1C.2n-1D.2(n-1)解析法一由an+1=2an+1,可求a2=3,a3=7,a4=15,…,验证可知an=2n-1.法二由题意知an+1+1=2(an+1),∴数列{an+1}是以2为首项,2为公比的等比数列,∴an+1=2n,∴an=2n-1.答案A基础诊断考点突破课堂总结3.设数列{an}的前n项和Sn=n2,则a8的值为()A.15B.16C.49D.64解析当n=8时,a8=S8-S7=82-72=15.答案A基础诊断考点突破课堂总结4.(2014·新课标全国Ⅱ卷)数列{an}满足an+1=11-an,a8=2,则a1=________.解析由an+1=11-an,得an=1-1an+1,∵a8=2,∴a7=1-12=12,a6=1-1a7=-1,a5=1-1a6=2,…,∴{an}是以3为周期的数列,∴a1=a7=12.答案12基础诊断考点突破课堂总结5.(人教A必修5P33A5改编)根据下面的图形及相应的点数,写出点数构成的数列的一个通项公式an=________.答案5n-4基础诊断考点突破课堂总结考点一由数列的前几项求数列的通项【例1】根据下面各数列前几项的值,写出数列的一个通项公式:(1)-1,7,-13,19,…;(2)23,415,635,863,1099,…;(3)12,2,92,8,252,…;(4)5,55,555,5555,….基础诊断考点突破课堂总结解(1)偶数项为正,奇数项为负,故通项公式必含有因式(-1)n,观察各项的绝对值,后一项的绝对值总比它前一项的绝对值大6,故数列的一个通项公式为an=(-1)n(6n-5).(2)这是一个分数数列,其分子构成偶数数列,而分母可分解为1×3,3×5,5×7,7×9,9×11,…,每一项都是两个相邻奇数的乘积.故所求数列的一个通项公式为an=2n2n-12n+1.基础诊断考点突破课堂总结(3)数列的各项,有的是分数,有的是整数,可将数列的各项都统一成分数再观察.即12,42,92,162,252,…,从而可得数列的一个通项公式为an=n22.(4)将原数列改写为59×9,59×99,59×999,…,易知数列9,99,999,…的通项为10n-1,故所求的数列的一个通项公式为an=59(10n-1).基础诊断考点突破课堂总结规律方法根据所给数列的前几项求其通项时,需仔细观察分析,抓住以下几方面的特征:分式中分子、分母的各自特征;相邻项的联系特征;拆项后的各部分特征;符号特征.应多进行对比、分析,从整体到局部多角度观察、归纳、联想.基础诊断考点突破课堂总结【训练1】(1)数列-11×2,12×3,-13×4,14×5,…的一个通项公式an=________.(2)数列{an}的前4项是32,1,710,917,则这个数列的一个通项公式是an=________.基础诊断考点突破课堂总结解析(1)这个数列前4项的绝对值都等于序号与序号加1的积的倒数,且奇数项为负,偶然项为正,所以它的一个通项公式为an=(-1)n1nn+1.(2)数列{an}的前4项可变形为2×1+112+1,2×2+122+1,2×3+132+1,2×4+142+1,故an=2n+1n2+1.答案(1)(-1)n1nn+1(2)2n+1n2+1基础诊断考点突破课堂总结考点二利用Sn与an的关系求通项【例2】设数列{an}的前n项和为Sn,数列{Sn}的前n项和为Tn,满足Tn=2Sn-n2,n∈N*.(1)求a1的值;(2)求数列{an}的通项公式.基础诊断考点突破课堂总结解(1)令n=1时,T1=2S1-1,∵T1=S1=a1,∴a1=2a1-1,∴a1=1.(2)n≥2时,Tn-1=2Sn-1-(n-1)2,则Sn=Tn-Tn-1=2Sn-n2-[2Sn-1-(n-1)2]=2(Sn-Sn-1)-2n+1=2an-2n+1.因为当n=1时,a1=S1=1也满足上式,所以Sn=2an-2n+1(n≥1),基础诊断考点突破课堂总结当n≥2时,Sn-1=2an-1-2(n-1)+1,两式相减得an=2an-2an-1-2,所以an=2an-1+2(n≥2),所以an+2=2(an-1+2),因为a1+2=3≠0,所以数列{an+2}是以3为首项,公比为2的等比数列.所以an+2=3×2n-1,∴an=3×2n-1-2,当n=1时也成立,所以an=3×2n-1-2.基础诊断考点突破课堂总结规律方法数列的通项an与前n项和Sn的关系是an=S1,n=1,Sn-Sn-1,n≥2.当n=1时,a1若适合Sn-Sn-1,则n=1的情况可并入n≥2时的通项an;当n=1时,a1若不适合Sn-Sn-1,则用分段函数的形式表示.基础诊断考点突破课堂总结【训练2】(1)已知数列{an}的前n项和为Sn,a1=1,Sn=2an+1,则Sn=()A.2n-1B.32n-1C.23n-1D.12n-1(2)已知数列{an}的前n项和Sn=3n2-2n+1,则其通项公式为________.基础诊断考点突破课堂总结解析(1)∵Sn=2an+1,∴当n≥2时,Sn-1=2an,∴an=Sn-Sn-1=2an+1-2an(n≥2),即an+1an=32(n≥2),又a2=12,∴an=12×32n-2(n≥2).当n=1时,a1=1≠12×32-1=13,∴an=1,n=1,1232n-2,n≥2,∴Sn=2an+1=2×12×32n-1=32n-1.基础诊断考点突破课堂总结(2)当n=1时,a1=S1=3×12-2×1+1=2;当n≥2时,an=Sn-Sn-1=3n2-2n+1-[3(n-1)2-2(n-1)+1]=6n-5.显然当n=1时,不满足上式,故数列的通项公式为an=2,n=1,6n-5,n≥2.答案(1)B(2)an=2,n=16n-5,n≥2基础诊断考点突破课堂总结考点三由递推关系求通项【例3】在数列{an}中,(1)若a1=2,an+1=an+n+1,则通项an=________;(2)若a1=1,Sn=n+23an,则通项an=________.解析(1)由题意得,当n≥2时,an=a1+(a2-a1)+(a3-a2)+…+(an-an-1)=2+(2+3+…+n)=2+n-12+n2=nn+12+1.又a1=2=1×1+12+1,符合上式,因此an=nn+12+1.深度思考本题中an+1-an=n+1与an+1an=n+1n中的n+1与n+1n不是同一常数,由此想到推导等差、等比数列通项的方法:累加法与累乘法.基础诊断考点突破课堂总结(2)由题设知,a1=1.当n>1时,an=Sn-Sn-1=n+23an-n+13an-1.∴anan-1=n+1n-1.∴anan-1=n+1n-1,…,a4a3=53,a3a2=42,a2a1=3.以上n-1个式子的等号两端分别相乘,得到ana1=nn+12,又∵a1=1,∴an=nn+12.答案(1)nn+12+1(2)nn+12基础诊断考点突破课堂总结规律方法已知递推关系式求通项,一般用代数的变形技巧整理变形,然后采用累加法、累乘法、迭代法、构造法或转化为基本数列(等差数列或等比数列)等方法求得通项公式.基础诊断考点突破课堂总结【训练3】在数列{an}中,a1=1,an+1=3an+2,则它的一个通项公式为an=________.解析an+1=3an+2,即an+1+1=3(an+1),即an+1+1an+1=3,法一a2+1a1+1=3,a3+1a2+1=3,a4+1a3+1=3,…,an+1+1an+1=3.将这些等式两边分别相乘得an+1+1a1+1=3n.因为a1=1,所以an+1+11+1=3n,即an+1=2×3n-1(n≥1),所以an=2×3n-1-1(n≥2),又a1=1也满足上式,故an=2×3n-1-1.基础诊断考点突破课堂总结法二由an+1+1an+1=3,即an+1+1=3(an+1),当n≥2时,an+1=3(an-1+1),∴an+1=3(an-1+1)=32(an-2+1)=33(an-3+1)=…=3n-1(a1+1)=2×3n-1,∴an=2×3n-1-1;当n=1时,a1=1=2×31-1-1也满足.∴an=2×3n-1-1.法三由an+1+1an+1=3,所以数列{an+1}是首项为2,公比为3的等比数列,所以an+1=2×3n-1,即an=2×3n-1-1.答案2×3n-1-1基础诊断考点突破课堂总结微型专题用函数的思想解决数列问题数列的单调性问题作为高考考查的一个难点,掌握其处理方法非常关键.由于数列可看作关于n的函数,所以可借助函数的单调性,处理有关数列问题,常见的方法如下:一是利用作差法比较an+1与an的大小;二是借助常见函数的性质;三是借助导函数.基础诊断考点突破课堂总结【例4】数列{an}的通项公式是an=n2+kn+4.(1)若k=-5,则数列中有多少项是负数?n为何值时,an有最小值?并求出最小值.(2)对于n∈N*,都有an+1>an,求实数k的取值范围.点拨(1)求使an0的n值;从二次函数看an的最小值.(2)数列是一类特殊函数,通项公式可以看作相应的解析式f(n)=n2+kn+4.f(n)在N*上单调递增,可利用二次函数的对称轴研究单调性,但应注意数列通项中n的取值.基础诊断考点突破课堂总结解(1)由n2-5n+4<0,解得1<n<4.∵n∈N*,∴n=2,3.∴数列中有两项是负数,即为a2,a3.∵an=n2-5n+4=n-522-94,由二次函数性质,得当n=2或n=3时,an有最小值,其最小值为a2=a3=-2.(2)由an+1>an知该数列是一个递增数列,又因为通项公式an=n2+kn+4,可以看作是关于n的二次函数,考虑到n∈N*,所以-k2<32,即得k>-3.基础诊断考点突破课堂总结点评(1)本题给出的数列通项公式可以
本文标题:2016届《创新设计》人教A版高考数学(文)大一轮复习课件 第6章 数列 第1讲数列的概念及简单表示
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