数学必修一第一章 集合

高中数学暑期辅导讲义-第一讲1/4第一讲集合知识梳理知识点1集合的含义与表示1.集合：总体←元素：对象（个体）2.集合中元素的特性确定性：集合中的元素必须是确定的互异性：集合的任何两个元素都是不同的无序性：集合与其中元素的排列次序无关，也就是说集合中的元素是不排序的3.集合与元素的关系属于：不属于：4.集合的表示方法1）列举法：{a,b,c……}2）描述法：描述各元素的共同特征，如{xR|x-32},{x|x-32}3）语言描述法：例：{不是直角三角形的三角形}4）Venn图：用平面上一条封闭曲线的内部代表集合◆常用数集及其记法：非负整数集（即自然数集）记作：N正整数集N*或N+整数集Z有理数集Q实数集R知识点2集合间的基本关系1.子集：对于两个集合A和B，如果集合A中的任何一个元素都是集合B的元素，则说：这两个集合有包含关系，称集合A为集合B的子集，记作AB（或BA），读作“A包含于B”（或“B包含A”）。如果AB，BC，那么AC。反之：集合A不包含于集合B，或集合B不包含集合A，记作AB（或BA），任何一个集合都是它本身的子集。AA2.真子集：如果AB，且AB，那就说集合A是集合B的真子集，记作AB3.相等：对于两个集合A与B，如果集合A中的任何一个元素都是集合B的元素，同时，集合B中的任何一个元素都是集合A的元素，我们就说集合A等于集合B，记作A=B（即如果AB同时BA那么A=B）。4.空集：不含任何元素的集合叫做空集，记作φ，并规定：空集是任何集合的子集。空集是任何非空集合的真子集。◆有n个元素的集合，含有2n个子集，2n-1个真子集知识点3集合的基本运算1.并集：由所有属于集合A或属于集合B的元素所组成的集合，称为集合A和集合B的并集，记作A∪B，即A∪B={x|xA或xB}。2.交集：由属于集合A且属于集合B的所有元素所组成的集合，称为集合A和集合B的交集，记作A∩B，即A∩B={x|xA且xB}。3.全集：如果一个集合U含有我们所要研究的各个集合的全部元素，那么就称这个集合为全集.通常记作U。4.补集：对于一个集合A，由全集U中不属于集合A的所有元素组成的集合称为集合A相对于全集U的补集，简称为集合A的补集，记作：CUA，即CUA={xxU且xA}。要求：结合Venn图理解高中数学暑期辅导讲义-第一讲2/4运算类型交集并集补集定义由所有属于A且属于B的元素所组成的集合,叫做A,B的交集．记作AB（读作‘A交B’），即AB=｛x|xA，且xB｝．由所有属于集合A或属于集合B的元素所组成的集合，叫做A,B的并集．记作：AB（读作‘A并B’），即AB={x|xA，或xB})．设S是一个集合，A是S的一个子集，由S中所有不属于A的元素组成的集合，叫做S中子集A的补集（或余集）记作ACS，即CSA=},|{AxSxx且韦恩图示AB图1AB图2性质AA=AAΦ=ΦAB=BAABAABBAA=AAΦ=AAB=BAABＡABB(CuA)(CuB)=Cu(AB)(CuA)(CuB)=Cu(AB)A(CuA)=UA(CuA)=Φ．典型例题知识点1集合的含义与表示【例1】下列各组对象能组成一个集合的是()①某中学高一年级所有聪明的学生;②在平面直角坐标系中,所有横坐标与纵坐标相等的点;③所有不小于3的正整数;④的所有近似值.A.①②B.③④C.②③D.①③【答案】C【例2】已知x∈R,集合A中含有三个元素3,x,x2-2x.(1)求元素x满足的条件;(2)若-2∈A,求实数x.【答案】解:(1)由集合中元素的互异性可得x≠3,且x2-2x≠x,x2-2x≠3,解得x≠-1,且x≠0,且x≠3.故元素x满足的条件是x≠-1,且x≠0,且x≠3.(2)若-2∈A,则x=-2或x2-2x=-2.由于方程x2-2x+2=0无解,所以x=-2.SASA高中数学暑期辅导讲义-第一讲3/4知识点2集合间的基本关系【例3】已知集合M满足M{1，2，3}，且集合M中至少含有一个奇数，试写出所有的集合M。【答案】所有符合条件的集合M有：{1}，{3}，{1，2}，{1，3}，{2，3}。【例4】已知集合A={x|-1≤x≤6},B={x|m-1≤x≤2m+1},且B⊆A.(1)求实数m的取值集合;(2)当x∈N时,求集合A的子集的个数.【答案】解:(1)①当m-12m+1,即m-2时,B=⌀符合题意.②当m-1≤2m+1,即m≥-2时,B≠⌀.由B⊆A,借助数轴(如图所示),得解得0≤m≤.所以0≤m≤.经验证知m=0和m=符合题意.综合①②可知,实数m的取值集合为.(2)∵当x∈N时,A={0,1,2,3,4,5,6},∴集合A的子集的个数为27=128.知识点3集合的基本运算【例5】如图，设A、B、I均为非空集合，且满足ABI，则下列各式中错误的是（）A.()CABIIB.()()CACBIIIC.ACBI()D.()()CACBCBIII【答案】B【例6】已知，23BxaxaR，若ABA，求实数a的取值范围。高中数学暑期辅导讲义-第一讲4/4【答案】解：①当B时，∵ABA，∴2423aaa，≤，或3123aaa，≤．解得234aa或≤，，②当B时，由32aa，解得3a。综上可知，实数a的取值范围是24aa或。【例7】已知集合A={x|2a+1≤x≤3a-5},B={x|x-1,或x16}.若A⊆(A∩B),求实数a的取值范围.【答案】解:因为A⊆(A∩B),所以A∩B=A,即A⊆B.显然A=⌀满足条件,此时a6.若A≠⌀,如图,则由解得a∈⌀;由解得a.综上,满足条件A⊆(A∩B)的实数a的取值范围是a6或a.课后作业1.满足条件{1，2，3}M{1，2，3，4，5，6}的集合M的个数是（）A.8B.7C.6D.52.定义A－B＝{x|x∈A且xB}，若M＝{1，2，3，4，5}，N＝{2，3，6}，则M－（M－N）＝（）A.M∩NB.N∪NC.{1，4，5}D.{6}3.已知集合A＝｛x｜2a≤x≤a2+1｝，B＝｛x｜x2－3（a+1）x+2（3a+1）≤0｝，求使AB的a的取值范围。4.某班共有学生50名，其中参加数学课外小组的学生有22名，参加物理课外小组的学生有18名，同时参加数学、物理两个课外小组的学生有13名，问：（1）数学和物理两个课外小组至少参加一个的学生有多少名？（2）数学和物理两个课外小组都不参加的学生有多少名？