一元二次方程讲课教案

一元二次方程引入一般形式定义巩固练习1例题巩固练习2小结问题：建造一个面积为20平方米，长比宽多1米的长方形花坛，问它的宽是多少？解：设这个花坛的宽为x米，x则长为（x+1）米，x+1根据题意得：x(x+1)=20即x2+x-20=0一元二次方程首页x+x-20=02观察方程①等号两边都是整式②又只含有一个未知数③并且未知数的最高次数是2这样的方程叫一元二次方程特征如下：有何特征？一元二次方程请判断下列方程是否为一元二次方程：练习(1)2x=y2-1(3)x2--3=02x(2)-y2=1y3(4)3z2+1=z(2z2-1)(5)x2=0以上方程中(1)、(3)、(4)不是一元二次方程(6)(x+2)2=4首页一元二次方程一元二次方程的一般形式任何一个关于x一元二次方程,经过整理都可以化为以下形式ax2+bx+c=0(a≠0)aaabbb一次项系数ccc练习请填写下表:方程二次项系数一次项系数常数项2x2+x-3=0x2+x=1x-7x2=03y2=621-311-1-71030-6说明：要确定一元二次方程的系数和常数项，必须先将方程化为一般形式。首页定义一元二次方程巩固练习:填空题方程3x(x+2)=11+2(3x－5)的二次项系数、一次项系数与常数项的积是3x(x+2)=11+2(3x－5)3x(x+2)=11+2(3x－5)3x2+6x=11+6x－103x2+6x－6x－11＋10=03x2－1=0二次项系数为3，常数项为-1，一次项系数为00000000首页一元二次方程解一元二次方程求一个一元二次方程的根的过程，叫解一元二次方程。使得一个一元二次方程方程左右两边的值相等的未知数的值叫做这个一元二次方程的根。一元二次方程化为一般形式ax2+bx+c=0(a≠0)后，如果它的左边的二次三项式能因式分解，那么就可以用因式分解法解这个方程。首页小结例解方程：(1)x2－３x=0(2)2x2+13x－7=0解题过程巩固练习解题过程(1)3x2－27=0答案一元二次方程(1)x2－３x=0解:把方程左边分解因式,得x(x－３)=0∴x=0或x－3=0∴原方程的根是x1=0,x2=3首页返回一元二次方程(2)2x2+13x－7=0解:把方程左边分解因式,得(2x-１)(x＋７)=0∴2x-1=0,x=0.5或x+7=0,x=-７∴原方程的根是x1=0.5,x2=-7首页返回一元二次方程第（1）题答案：返回3x2－27=0x2－9=0(x+3)(x－3)=0x1=－3,x2=3x+3=0或x－3=0=一元二次方程第（2）题答案：返回(x+4)(x－3)=0x1=－4,x2=3x+4=0或x－3=0一元二次方程第（3）题答案：返回(3x+1)(2x－1)=0x1=?,x2=?3x+1=0或2x－1=0一元二次方程例解方程：(1)x2－３x=0(2)2x2+13x－7=0解题过程巩固练习解题过程(1)3x2－27=0答案一元二次方程例解方程：(1)x2－３x=0(2)2x2+13x－7=0解题过程巩固练习解题过程(1)3x2－27=0答案(2)x2+x－12=0答案(3)6x2－x－1=0答案一元二次方程例解方程：(1)x2－３x=0(2)2x2+13x－7=0解题过程巩固练习解题过程(1)3x2－27=0答案(2)x2+x－12=0答案(3)6x2－x－1=0答案一元二次方程想一想一元二次方程一元二次方程的一般形式任何一个关于x一元二次方程,经过整理都可以化为以下形式ax2+bx+c=0(a≠0)aaabbb一次项系数ccc说明：要确定一元二次方程的系数和常数项，必须先将方程化为一般形式。返回小结一元二次方程•一元二次方程的定义•一元二次方程的一般形式•因式分解法123结束如果a是一元二次方程x2－3x+m=0的一个根，-a是一元二次方程x2+3x－m=0的一个根，那么a的值是多少？•解下列方程：①9x2＝9②(x+5)2＝916x2-13=3(3x+2)2-49=0①2(3x+2)2=2②81(2x-5)2-16=0•知识准备x1=1,x2=-1x1=-2,x2=-8x1=1,x2=-1x1=-3,x2=5/3x1=-3,x2=-1/3x1=49/18,x2=41/18一般地,对于形如x2=a(a≥0)或(mx+n)²=a(a≥0)的方程,根据平方根的定义,直接开平方可求解。这种解一元二次方程的方法叫做直接开平方法。•问题2要使一块长方形场地的长比宽多6m，并且面积为16m²，场地的长和宽应各是多少？解：设场地的宽为xm,则长为.根据长方形面积为16m²，得：（x+6）mx(x+6)=16即x²+6x-16=0怎样解方程x²+6x-16=0？能把方程x²+6x-16=0转化成(mx+n)²=a的形式吗？²+6-16=0xx移项1662xx两边加上32,使左边配成完全平方式22231636xx左边写成完全平方的形式25)3(2x开平方53x35,+=5+-3=xx8,2:21xx得变成了(mx+n)2=a的形式共同探索把一元二次方程的左边配成一个完全平方式,然后用开平方法求解,这种解一元二次方程的方法叫做配方法.配方的作用是？降次•(1)x2＋8x＋=(x＋)2•(2)x2－4x＋=(x－)2•(3)x2－6x＋=(x－)24²42²23²3思考：当二次项系数是1时，常数项与一次项的系数有怎样的关系？规律：当二次项系数是1时，常数项是一次项系数一半的平方。___)(___)(___)(___)(22222222____21)4(_____5)3(_____8)2(_____2)1(yyyyxxxxyyxx121424）（25225）（41241解方程：x2-8x+1=0解：移项得：x2-8x=-1配方得：x2-8x+4²=-1+4²写成完全平方式：(x-4)2=15开方得：x-4=+∴x-4=x-4=-x1=x2=二次项和一次项在等号左边，常数项移到等号右边两边同时加上一次项系数一半的平方注意：正数的平方根有两个配方法•例题15151515415-4①x²+10x+9=0②x²-x-=047③x²=4-2x自我尝试9-x1-x21，2-21x221x21，5-1-x51-x21，④x2－2x＋4＝0方程无实数根1、将方程变为一般形式。2、移项，把常数项移到方程的右边。（变号）3、配方，方程的两边都加上一次项系数一半的平方。（等式的性质）4、方程左边写成完全平方的形式。5、利用直接开平方法开方求得两根。自我测试3.若x2–mx+49是一个完全平方式，则m=。2.关于x的二次三项式x2+4x+k是一个完全平方式，则k的值是。1.将一元二次方程x2-2x-4=0用配方法化成（x+a）2=b的形式为_______，所以方程的根为．4.用配方法将二次三项式a2-4a+5变形结果是（）A．（a-2）2+1B．（a+2）2-1C．（a+2）2+1D．（a-2）2-1(x-1)²=551x51x21，4±14A8.若a2+2a+b2-6b+10=0,则a=，b=。6．若x2+6x+m2是一个完全平方式，则m的值是（）A．3B．-3C．±3D．以上都不对101410105．用配方法解方程x2+4x=10的根为（）A．2±B．-2±C．-2+D．2-BC自我测试7．如果关于x的方程x2+kx+3=0有一个根是-1，那么k=____，另一根为____．4-3-1311.用配方法解下列方程：（1）x2-3x-1=0（2）x2–1/2x-1/2=0（3）(x-1)(x+2)=1自我测试10.证明:代数式x2+4x+5的值不小于1.9.用配方法说明：不论k取何实数，多项式k2－3k＋5的值必定大于零.二、用配方解一元二次方程的步骤是什么？(情境导入)一、用配方法解下列方程:2x²-3x+1=01、化1:把二次项系数化为1;2、移项:把常数项移到方程的右边;3、配方:方程两边都加上一次项系数一半的平方;4、变形:方程左边分解因式,右边合并同类项;5、开方:根据平方根意义,方程两边开平方;6、定解:写出原方程的解.1.理解求根公式的推导过程；2.学生能熟练地运用公式法求解一元二次方程.用配方法解方程ax2+bx+c=0(a≠0)把方程两边都除以20bcxxaa解:a移项，得2bcxxaa配方，得22222bbcbxxaaaa即222424bbacxaa用配方法解一般形式的一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)当时，方程有实数根吗？当呢？b2-4ac0b2-4ac≥0用配方法解一般形式的一元二次方程22424bbacxaa242bbacxa2422bbacxaa即一元二次方程的求根公式特别提醒ax2+bx+c=0(a≠0)a≠0,b2-4ac≥0∵一般地,对于一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0).04.2422acbaacbbx上面这个式子称为一元二次方程的求根公式.用求根公式解一元二次方程的方法称为公式法:,042它的根是时当acb根据例题自己总结出用公式法解一元二方程的一般步骤：1、把方程化成一般形式,并写出a，b，c的值。2、求出b2-4ac的值。3、代入求根公式:4、写出方程的解：x1=?,x2=?(a≠0,b2-4ac≥0)X=05136)2(2yy056).1(2xx2-)22()3(tt随堂练习1:用公式法解下列方程：0169).2(2xx06105).3(2xx0892).1(2xx随堂练习1:用公式法解下列方程：总结用公式法解一元二次方程的解题步骤：３.最后代入求根公式当时，有两个实数根当时，方程无实数根１.先写出a，b，cacb4-.22再求出b2-4ac≥0b2-4ac0