1.2 矩阵及其初等变换

矩阵通常用大写字母记之。AB,,矩阵的第i行第j列元素,简称(i,j)元。111212122212nnmmmnaaaaaaaaa(12,12,)ijaimjn，，；，，定义1.1由个数mn排成的m行n列的数表mn称为m行n列矩阵，简称矩阵。ija其中称为该§1.2矩阵及其初等变换或或ijmnAamnAijAa111212122212nnmmmnaaaaaaAaaa为了强调矩阵A的元素或阶数，常把mnija矩阵A简写为特别地(1)当时,称A为n阶方阵或n阶矩阵,即mn121212121122nnnnnnaaaaaaaAaa其中称为A的主对角元。1122,,,nnaaa(2)m=n=1的矩阵视同普通的数a。Aa(3)只有一行的矩阵12,,,nAaaa称为行矩阵或n维行向量，ai称为A的第i个分量。称为列矩阵或m维列向量，ai称为A的第i个分量。(4)只有一列的矩阵12maaBa(5)元素全为零的矩阵称为零矩阵，记为O.几种特殊的方阵记作12diag(,,,)nDddd12nddDd1.对角矩阵(约定:未写出的元素全为零)A2.数量矩阵111E3.单位矩阵4.上(下)三角矩阵11121222nnnnaaaaaAa上三角下三角11212212nnnnaaaAaaa023211313A例如5.对称矩阵设为n阶方阵，如果()ijAa则称A为对称矩阵。),,2,1,(njiaajiijL023201310A例如是3阶反对称矩阵。设为n阶方阵，如果()ijAa(,1,2,,)ijjiaaijn则称A为反对称矩阵。6.反对称矩阵思考:A是反对称矩阵，那么(1,2?,,)iinai),,1;,,1(njmibaijijLL则称A与B相等，记作A=B.定义1.2设是两个矩阵,且满足(),()ijijAaBbmn0000A000000B思考1：零矩阵与零矩阵相等吗？11,,00acABbd思考2：矩阵且A=B,,,?abcd则矩阵的初等变换初等变换是研究矩阵的性质、求矩阵的逆和解线性方程组的重要工具。其核心思想是利用初等变换，把复杂矩阵化成简单矩阵来处理，同时要求简单矩阵还要保留原来矩阵的若干性质。(3)把矩阵的某一行乘上一个数加到另一行上，(1)交换矩阵的某两行，记为jirr(2)以非０数乘矩阵的某一行，记为irk记为jirkr称矩阵的下面三种变换分别为第一、第二、第三种初等行变换:定义1.3类似定义三种初等列变换:jiijikcckkccc)3()0()2()1(以上六种变换统称为矩阵的初等变换。记号rc初等行变换初等列变换初等变换通常,第一种初等行(列)变换又称对调变换；第二种初等行(列)变换又称倍乘变换；第三种初等行(列)变换又称倍加变换。例如结论：初等变换的逆变换仍为初等变换,且变换类型相同.jirrikr逆变换;jirr逆变换1;irkjikrr逆变换().ijrkr初等列变换也有类似的结果…等价关系的性质：具有上述三条性质的关系称为等价。定义1.4就称矩阵A与B等价，记为如果矩阵A经有限次初等变换变成矩阵B，.AB(1)反身性;AA(2)对称性则(3)传递性若则,,ABBC.AC,AB;BA例1把化成上三角矩阵。121210311A解：113012121A121052052121052000212rr32rr上述矩阵具有以下特点：①每个阶梯上只有一行；②每个阶梯上第一个数不等于0；③阶梯的左下方元素全为0.313rr具有以上三个特点的矩阵称为行阶梯形矩阵。121052000121201500011052015000具有特点④的行阶梯形矩阵称为行最简形矩阵。215r122rr④每个阶梯上第一个数为1，并且这些1所在列的其它元素全为零。特点化阶梯形：从上到下，从左到右。化最简形：从下向上，从右到左。注意:箭头不能为等号例2只用初等行变换将矩阵A尽量化简.21112112144622436979A1121421112231123697912rr123r312rr23rr413rr1121402220055360334311214011100553603343122r112140111000026000131121401110000260000014130300000000001110123r1243rr1121401110000130000021rr32rr243rr235rr阶梯形阶梯形最简阶梯形根据例2，不难得到下面定理：定理只用初等行变换必能将矩阵化为行阶梯形矩阵和行最简形矩阵。行阶梯形矩阵不唯一，行最简形矩阵唯一。例3用初等行变换将A化为行阶梯形矩阵，进而化为行最简形矩阵。21112112144622436979A1121421112231123697921rr321r1121402220055360334323rr413rr312rr11214011100002600013122r423rr325rr1121401110000130000010104011030001300000B34rr432rr12rr23rr【问题】如果可以利用初等列变换，矩阵B可以化简成的最简单形式是什么？等价标准形