高三寒假复习讲义第10章 第1讲 椭圆及其性质

高三寒假复习讲义圆锥曲线与方程第1讲椭圆及其性质考点一椭圆的标准方程知识点1椭圆的定义(1)定义：在平面内到两定点F1，F2的距离的和等于常数(大于|F1F2|)的点的轨迹(或集合)叫椭圆．这两定点叫做椭圆的焦点，两焦点间的距离叫做椭圆的焦距．(2)集合语言：P＝{M||MF1|＋|MF2|＝2a，且2a|F1F2|}，|F1F2|＝2c，其中ac0，且a，c为常数．2椭圆的焦点三角形椭圆上的点P(x0，y0)与两焦点构成的△PF1F2叫做焦点三角形．如图所示，设∠F1PF2＝θ.(1)当P为短轴端点时，θ最大．(2)S△PF1F2＝12|PF1||PF2|·sinθ＝b2·sinθ1＋cosθ＝b2tanθ2＝c|y0|，当|y0|＝b，即P为短轴端点时，S△PF1F2取最大值，为bc.(3)焦点三角形的周长为2(a＋c)．3椭圆的标准方程椭圆的标准方程是根据椭圆的定义，通过建立适当的坐标系得出的．其形式有两种：(1)当椭圆的焦点在x轴上时，椭圆的标准方程为x2a2＋y2b2＝1(ab0)．(2)当椭圆的焦点在y轴上时，椭圆的标准方程为y2a2＋x2b2＝1(ab0)．4特殊的椭圆系方程(1)与椭圆x2m2＋y2n2＝1共焦点的椭圆可设为x2m2＋k＋y2n2＋k＝1(k－m2，k－n2)．(2)与椭圆x2a2＋y2b2＝1(ab0)有相同离心率的椭圆可设为x2a2＋y2b2＝k1(k10，焦点在x轴上)或y2a2＋x2b2＝k2(k20，焦点在y轴上)．注意点对椭圆定义的理解当2a|F1F2|时，轨迹为椭圆；当2a＝|F1F2|时，轨迹为线段F1F2；当2a|F1F2|时，轨迹不存在.入门测1．思维辨析(1)平面内与两个定点F1，F2的距离之和等于常数的点的轨迹是椭圆．()(2)方程mx2＋ny2＝1(m0，n0，m≠n)表示的曲线是椭圆．()(3)y2a2＋x2b2＝1(a≠b)表示焦点在y轴上的椭圆．()(4)x2a2＋y2b2＝1(ab0)与y2a2＋x2b2＝1(ab0)的焦距相同．()答案(1)×(2)√(3)×(4)√2．已知方程x25－m＋y2m＋3＝1表示椭圆，则m的取值范围为()A．(－3,5)B．(－3,1)C．(1,5)D．(－3,1)∪(1,5)答案D解析方程表示椭圆的条件为5－m0，m＋30，5－m≠m＋3，解得m∈(－3,1)∪(1,5)．故选D.3．若一个椭圆长轴的长度、短轴的长度和焦距依次成等差数列，则该椭圆的离心率是()A.45B.35C.25D.15答案B解析由题意知2a＋2c＝2(2b)，即a＋c＝2b，又c2＝a2－b2，消去b整理得5c2＝3a2－2ac，即5e2＋2e－3＝0，∴e＝35或e＝－1(舍去)．解题法命题法椭圆的定义和标准方程典例(1)已知椭圆E：x2a2＋y2b2＝1(ab0)的右焦点为F(3,0)，过点F的直线交E于A，B两点．若AB的中点坐标为(1，－1)，则E的方程为()A.x245＋y236＝1B.x236＋y227＝1C.x227＋y218＝1D.x218＋y29＝1(2)椭圆x24＋y23＝1的左焦点为F，直线x＝m与椭圆相交于点A，B.当△FAB的周长最大时，△FAB的面积是________．[解析](1)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x21a2＋y21b2＝1，x22a2＋y22b2＝1，两式作差并化简变形得y1－y2x1－x2＝－b2x1＋x2a2y1＋y2，而y1－y2x1－x2＝0－－13－1＝12，x1＋x2＝2，y1＋y2＝－2，所以a2＝2b2，又a2－b2＝c2＝9，于是a2＝18，b2＝9.故选D.(2)如图所示，设椭圆右焦点为F′，直线x＝m与x轴相交于点C.由椭圆的定义，得|AF|＋|AF′|＝|BF|＋|BF′|＝2a＝4.而|AB|＝|AC|＋|BC|≤|AF′|＋|BF′|，所以当且仅当AB过点F′时，△ABF的周长最大．此时，由c＝1，得A1，32，B1，－32，即|AB|＝3.所以S△ABF＝12|AB||FF′|＝3.[答案](1)D(2)3【解题法】1.椭圆定义的应用的类型及方法(1)利用定义确定平面内的动点的轨迹是否为椭圆．(2)利用定义解决与焦点三角形相关的周长、面积及最值．利用定义和余弦定理可求得|PF1|·|PF2|，再结合|PF1|2＋|PF2|2＝(|PF1|＋|PF2|)2－2|PF1|·|PF2|进行转化，进而求得焦点三角形的周长和面积．2．椭圆方程的求法(1)定义法根据椭圆的定义确定a2，b2的值，再结合焦点位置求出椭圆方程．其中常用的关系有：①b2＝a2－c2.②椭圆上任意一点到椭圆两焦点的距离之和等于2a.③椭圆上一短轴顶点到一焦点的距离等于实半轴长a.(2)待定系数法一般步骤①判断：根据已知条件确定椭圆的焦点在x轴上，还是在y轴上，还是两个坐标轴上都有可能．②设：根据①中判断设出所需的未知数或者标准方程．③列：根据题意列关于a，b，c的方程或者方程组．④解：求解得到方程．对点练1.已知椭圆C：x2a2＋y2b2＝1(ab0)的左、右焦点为F1、F2，离心率为33，过F2的直线l交C于A、B两点．若△AF1B的周长为43，则C的方程为()A.x23＋y22＝1B.x23＋y2＝1C.x212＋y28＝1D.x212＋y24＝1答案A解析∵x2a2＋y2b2＝1(ab0)的离心率为33，∴ca＝33.又∵过F2的直线l交椭圆于A，B两点，△AF1B的周长为43，∴4a＝43，∴a＝3.∴b＝2，∴椭圆方程为x23＋y22＝1，选A.2．设F1，F2分别是椭圆E：x2＋y2b2＝1(0b1)的左、右焦点，过点F1的直线交椭圆E于A，B两点．若|AF1|＝3|F1B|，AF2⊥x轴，则椭圆E的方程为________．答案x2＋32y2＝1解析不妨设点A在第一象限，∵AF2⊥x轴，∴A(c，b2)，又|AF1|＝3|F1B|，∴AF1→＝3F1B→，得B－5c3，－b23将其代入椭圆方程化简得25c29＋b29＝1，又c2＝1－b2，得b2＝23，故椭圆E的方程为x2＋32y2＝1.3．已知椭圆C：x29＋y24＝1，点M与C的焦点不重合．若M关于C的焦点的对称点分别为A，B，线段MN的中点在C上，则|AN|＋|BN|＝________.答案12解析如图，设MN的中点为P，则由F1是AM的中点，可知|AN|＝2|PF1|.同理可得可知|BN|＝2|PF2|.∴|AN|＋|BN|＝2(|PF1|＋|PF2|)．根据椭圆定义得|PF1|＋|PF2|＝2a＝6，∴|AN|＋|BN|＝12.4.已知椭圆x2a2＋y2b2＝1(ab0)的左焦点为F(－c,0)，离心率为33，点M在椭圆上且位于第一象限，直线FM被圆x2＋y2＝b24截得的线段的长为c，|FM|＝433.(1)求直线FM的斜率；(2)求椭圆的方程；(3)设动点P在椭圆上，若直线FP的斜率大于2，求直线OP(O为原点)的斜率的取值范围．解(1)由已知有c2a2＝13，又由a2＝b2＋c2，可得a2＝3c2，b2＝2c2.设直线FM的斜率为k(k0)，则直线FM的方程为y＝k(x＋c)．由已知，有kck2＋12＋c22＝b22，解得k＝33.(2)由(1)得椭圆方程为x23c2＋y22c2＝1，直线FM的方程为y＝33(x＋c)，两个方程联立，消去y，整理得3x2＋2cx－5c2＝0，解得x＝－53c或x＝c.因为点M在第一象限，可得M的坐标为c，233c.由|FM|＝c＋c2＋233c－02＝433，解得c＝1，所以椭圆的方程为x23＋y22＝1.(3)设点P的坐标为(x，y)，直线FP的斜率为t，得t＝yx＋1，即y＝t(x＋1)(x≠－1)，与椭圆方程联立y＝tx＋1，x23＋y22＝1，消去y，整理得2x2＋3t2(x＋1)2＝6.又由已知，得t＝6－2x23x＋122，解得－32x－1或－1x0.设直线OP的斜率为m，则m＝yx，即y＝mx(x≠0)，与椭圆方程联立，整理可得m2＝2x2－23.①当x∈－32，－1时，有y＝t(x＋1)0，因此m0，于是m＝2x2－23，得m∈23，233.②当x∈(－1,0)时，有y＝t(x＋1)0，因此m0，于是m＝－2x2－23，得m∈－∞，－233.综上，直线OP的斜率的取值范围是－∞，－233∪23，233.5．平面直角坐标系xOy中，已知椭圆C：x2a2＋y2b2＝1(ab0)的离心率为32，左、右焦点分别是F1，F2.以F1为圆心以3为半径的圆与以F2为圆心以1为半径的圆相交，且交点在椭圆C上．(1)求椭圆C的方程；(2)设椭圆E：x24a2＋y24b2＝1，P为椭圆C上任意一点．过点P的直线y＝kx＋m交椭圆E于A，B两点，射线PO交椭圆E于点Q.(ⅰ)求|OQ||OP|的值；(ⅱ)求△ABQ面积的最大值．解(1)由题意知2a＝4，则a＝2.又ca＝32，a2－c2＝b2，可得b＝1，所以椭圆C的方程为x24＋y2＝1.(2)由(1)知椭圆E的方程为x216＋y24＝1.(ⅰ)设P(x0，y0)，|OQ||OP|＝λ，由题意知Q(－λx0，－λy0)．因为x204＋y20＝1，又－λx0216＋－λy024＝1，即λ24x204＋y20＝1，所以λ＝2，即|OQ||OP|＝2.(ⅱ)设A(x1，y1)，B(x2，y2)．将y＝kx＋m代入椭圆E的方程，可得(1＋4k2)x2＋8kmx＋4m2－16＝0.由Δ0，可得m24＋16k2.①则有x1＋x2＝－8km1＋4k2，x1x2＝4m2－161＋4k2.所以|x1－x2|＝416k2＋4－m21＋4k2.因为直线y＝kx＋m与y轴交点的坐标为(0，m)，所以△OAB的面积S＝12|m||x1－x2|＝216k2＋4－m2|m|1＋4k2＝216k2＋4－m2m21＋4k2＝24－m21＋4k2m21＋4k2.设m21＋4k2＝t.将y＝kx＋m代入椭圆C的方程，可得(1＋4k2)x2＋8kmx＋4m2－4＝0，由Δ≥0，可得m2≤1＋4k2.②由①②可知0t≤1.因此S＝24－tt＝2－t2＋4t.故S≤23，当且仅当t＝1，即m2＝1＋4k2时取得最大值23.由(ⅰ)知，△ABQ面积为3S，所以△ABQ面积的最大值为63.6．已知椭圆C：x2a2＋y2b2＝1(ab0)的离心率为22，点P(0,1)和点A(m，n)(m≠0)都在椭圆C上，直线PA交x轴于点M.(1)求椭圆C的方程，并求点M的坐标(用m，n表示)；(2)设O为原点，点B与点A关于x轴对称，直线PB交x轴于点N.问：y轴上是否存在点Q，使得∠OQM＝∠ONQ？若存在，求点Q坐标；若不存在，说明理由．解(1)由题意得b＝1，ca＝22，a2＝b2＋c2.解得a2＝2.故椭圆C的方程为x22＋y2＝1.设M(xM,0)．因为m≠0，所以－1n1.直线PA的方程为y－1＝n－1mx，所以xM＝m1－n，即Mm1－n，0.(2)因为点B与点A关于x轴对称，所以B(m，－n)．设N(xN,0)，则xN＝m1＋n.“存在点Q(0，yQ)使得∠OQM＝∠ONQ”等价于“存在点Q(0，yQ)使得|OM||OQ|＝|OQ||ON|”，即yQ满足y2Q＝|xM||xN|.因为xM＝m1－n，xN＝m1＋n，m22＋n2＝1，所以y2Q＝|xM||xN|＝m21－n2＝2.所以yQ＝2或yQ＝－2.故在y轴上存在点Q，使得∠OQM＝∠ONQ.点Q的坐标为(0，2)或(0，－2)．考点二椭圆的几何性质知识点1椭圆的几何性质标准方程x2a2＋y2b2＝1(ab