高三寒假复习讲义第10章 第4讲 直线与圆锥曲线的位置关系

高三寒假复习讲义第4讲直线与圆锥曲线的位置关系考点直线与圆锥曲线的位置关系知识点1直线与圆锥曲线的位置关系判断直线l与圆锥曲线C的位置关系时，通常将直线l的方程Ax＋By＋C＝0(A，B不同时为0)代入圆锥曲线C的方程F(x，y)＝0，消去y(或x)得到一个关于变量x(或y)的一元二次方程．即Ax＋By＋C＝0，Fx，y＝0，消去y得ax2＋bx＋c＝0.(1)当a≠0时，设一元二次方程ax2＋bx＋c＝0的判别式为Δ，则Δ0⇔直线与圆锥曲线C相交；Δ＝0⇔直线与圆锥曲线C相切或相交；Δ0⇔直线与圆锥曲线C相离．(2)当a＝0，b≠0时，得到一个一元一次方程，则直线l与圆锥曲线C相交，且只有一个交点，此时，若C为双曲线，则直线l与双曲线的渐近线的位置关系是平行；若C为抛物线，则直线l与抛物线的对称轴的位置关系是平行或重合．2直线与圆锥曲线的相交弦的弦长(1)将直线方程与圆锥曲线方程联立，消去y(或x)后得到关于x(或y)的一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(或ay2＋by＋c＝0)．(2)当Δ0时，直线与圆锥曲线有两个交点A(x1，y1)，B(x2，y2)，由根与系数的关系求出x1＋x2＝－ba，x1x2＝ca，则弦长为|AB|＝1＋k2|x1－x2|＝1＋k2·x1＋x22－4x1x2＝1＋1k2|y1－y2|＝1＋1k2·y1＋y22－4y1y2(k为直线的斜率且k≠0)，当A，B两点坐标易求时也可直接用|AB|＝x1－x22＋y1－y22求出．3圆锥曲线以P(x0，y0)(y0≠0)为中点的弦所在直线的斜率圆锥曲线方程直线斜率椭圆：x2a2＋y2b2＝1(a0，b0)k＝b2x0a2y0双曲线：x2a2－y2b2＝1(a0，b0)k＝b2x0a2y0抛物线：y2＝2px(p0)k＝py0其中k＝y1－y2x1－x2(x1≠x2)，(x1，y1)，(x2，y2)为弦的端点坐标．注意点直线与圆锥曲线的相切与只有一个公共点的关系直线与椭圆(圆)只有一个公共点是直线与椭圆(圆)相切的充要条件，而直线与双曲线(抛物线)只有一个公共点，只是直线与双曲线(抛物线)相切的必要不充分条件.入门测1．思维辨析(1)直线l与椭圆C相切的充要条件是：直线l与椭圆C只有一个公共点．()(2)直线l与双曲线C相切的充要条件是：直线l与双曲线C只有一个公共点．()(3)直线l与抛物线C相切的充要条件是：直线l与抛物线C只有一个公共点．()(4)如果直线x＝ty＋a与圆锥曲线相交于A(x1，y1)，B(x2，y2)两点，则弦长|AB|＝1＋t2|y1－y2|.()(5)若抛物线C上存在关于直线l对称的两点，则需满足直线l与抛物线C的方程联立消元后得到的一元二次方程的判别式Δ0.()答案(1)√(2)×(3)×(4)√(5)×2．椭圆ax2＋by2＝1与直线y＝1－x交于A，B两点，过原点与线段AB中点的直线的斜率为32，则ab的值为()A.32B.233C.932D.2327答案A解析联立椭圆方程与直线方程，得ax2＋b(1－x)2＝1，即(a＋b)x2－2bx＋b－1＝0，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1＋x2＝2ba＋b，y1＋y2＝1－x1＋1－x2＝2－2ba＋b＝2aa＋b，AB中点坐标为ba＋b，aa＋b，AB中点与原点连线的斜率k＝aa＋bba＋b＝ab＝32.故选A.3．直线l经过抛物线y2＝4x的焦点F，与抛物线相交于A，B两点，若|AB|＝8，则直线l的方程为________．答案x－y－1＝0或x＋y－1＝0解析设直线l的斜率为k，则方程为y＝k(x－1)，与y2＝4x联立得：k2x2－(2k2＋4)x＋k2＝0，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1＋x2＝2k2＋4k2，|AB|＝x1＋x2＋p＝2k2＋4k2＋2＝8得k2＝1，∴k＝±1，∴l的方程为：x－y－1＝0或x＋y－1＝0.解题法[考法综述]直线与圆锥曲线位置关系的判断、相交弦的弦长计算、中点弦问题等是考查热点，同时与函数、数列、平面向量等知识综合考查，难度较大．命题法1直线与圆锥曲线的位置关系典例1(1)若直线y＝kx＋2与双曲线x2－y2＝6的右支交于不同的两点，则k的取值范围是()A.－153，153B.0，153C.－153，0D.－153，－1(2)若直线l：y＝(a＋1)x－1与曲线C：y2＝ax恰好有一个公共点，则实数a的取值为()A.－1，－45，0B．{－1,0}C.－1，－45D.－45，0[解析](1)由y＝kx＋2x2－y2＝6，得(1－k2)x2－4kx－10＝0.设直线与双曲线右支交于不同的两点A(x1，y1)，B(x2，y2)，则1－k2≠0Δ＝16k2－41－k2×－100x1＋x2＝4k1－k20x1x2＝－101－k20解得－153k－1.(2)因为直线l与曲线C恰好有一个公共点，所以方程组y＝a＋1x－1y2＝ax有唯一一组实数解，消去y，得[(a＋1)x－1]2＝ax，整理得(a＋1)2x2－(3a＋2)x＋1＝0①(ⅰ)当a＋1＝0，即a＝－1时，方程①是关于x的一元一次方程，解得x＝－1，这时，原方程组有唯一解x＝－1y＝－1.(ⅱ)当a＋1≠0，即a≠－1时，方程①是关于x的一元二次方程，判别式Δ＝(3a＋2)2－4(a＋1)2＝a(5a＋4)，令Δ＝0，解得a＝0或a＝－45.当a＝0时，原方程组有唯一解x＝1y＝0；当a＝－45时，原方程组有唯一解x＝－5y＝－2.综上，实数a的取值集合是－1，－45，0.故选A.[答案](1)D(2)A【解题法】直线与圆锥曲线位置关系的判断(1)直线与圆锥曲线相交或相离时，可直接联立直线与曲线的方程，结合消元后的一元二次方程求解．(2)直线与圆锥曲线相切时，尤其是对于抛物线与双曲线，要结合图形，数形结合求解．(3)当条件中含有参数时，要注意对参数进行讨论，尤其是在双曲线与抛物线中，必须要保证联立后的方程为二次方程才能由“Δ”进行判定．命题法2直线与圆锥曲线的弦长问题典例2已知椭圆E的中心在坐标原点、对称轴为坐标轴，且抛物线x2＝－42y的焦点是它的一个焦点，又点A(1，2)在该椭圆上．(1)求椭圆E的方程；(2)若斜率为2的直线l与椭圆E交于不同的两点B、C，当△ABC的面积最大时，求直线l的方程．[解](1)由已知得抛物线的焦点为(0，－2)，故设椭圆方程为y2a2＋x2a2－2＝1(a2)．将点A(1，2)代入方程得2a2＋1a2－2＝1，整理得a4－5a2＋4＝0，解得a2＝4或a2＝1(舍去)，故所求椭圆方程为y24＋x22＝1.(2)设直线l的方程为y＝2x＋m，B、C的坐标分别为(x1，y1)，(x2，y2)，由y＝2x＋m，y24＋x22＝1，得4x2＋22mx＋m2－4＝0，则Δ＝8m2－16(m2－4)＝8(8－m2)0，∴0≤m28.由x1＋x2＝－22m，x1x2＝m2－44，得|BC|＝3|x1－x2|＝3·16－2m22.又点A到BC的距离为d＝|m|3，故S△ABC＝12|BC|·d＝m216－2m24≤142·2m2＋16－2m22＝2，当且仅当2m2＝16－2m2，即m＝±2时取等号．当m＝±2时，满足0≤m28.故直线l的方程为y＝2x±2.【解题法】直线与圆锥曲线相交时弦长的求法(1)定义法：过圆锥曲线的焦点的弦长问题，利用圆锥曲线的定义可优化解题．(客观题常用)(2)点距法：将直线的方程与圆锥曲线的方程联立，求出两交点的坐标，再运用两点间距离公式求弦长．(不常用)(3)弦长公式法：它体现了解析几何中的设而不求的思想，其实质是利用两点之间的距离公式以及一元二次方程根与系数的关系．(常用方法)命题法3中点弦问题典例3平面直角坐标系xOy中，过椭圆M：x2a2＋y2b2＝1(ab0)右焦点的直线x＋y－3＝0交M于A，B两点，P为AB的中点，且OP的斜率为12.(1)求M的方程；(2)C，D为M上两点，若四边形ACBD的对角线CD⊥AB，求四边形ACBD面积的最大值．[解](1)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，P(x0，y0)，则x21a2＋y21b2＝1，x22a2＋y22b2＝1，y2－y1x2－x1＝－1.由此可得b2x2＋x1a2y2＋y1＝－y2－y1x2－x1＝1.因为x1＋x2＝2x0，y1＋y2＝2y0，y0x0＝12，所以a2＝2b2.又由题意知，M的右焦点为(3，0)，故a2－b2＝3.因此a2＝6，b2＝3.所以M的方程为x26＋y23＝1.(2)由x＋y－3＝0，x26＋y23＝1解得x＝433，y＝－33或x＝0，y＝3.因此|AB|＝463.由题意可设直线CD的方程为y＝x＋n－533n3，设C(x3，y3)，D(x4，y4)．由y＝x＋n，x26＋y23＝1，得3x2＋4nx＋2n2－6＝0.于是x3,4＝－2n±29－n23.因为直线CD的斜率为1，所以|CD|＝2|x4－x3|＝439－n2.由已知，四边形ACBD的面积S＝12|CD|·|AB|＝8699－n2.当n＝0时，S取得最大值，最大值为863.所以四边形ACBD面积的最大值为863.【解题法】弦中点问题的解题策略(1)涉及直线与圆锥曲线相交弦的中点和弦所在直线的斜率问题时，常用“点差法”“设而不求法”，并借助一元二次方程根的判别式、根与系数的关系、中点坐标公式及参数法求解．但在求得直线方程后，一定要代入原方程进行检验．(2)点差法求解弦中点问题的基本步骤为：①设点：即设出弦的两端点坐标．②代入：即代入圆锥曲线方程．③作差：即两式相减，再用平方差公式把上式展开．④整理：即转化为斜率与中点坐标的关系式，然后求解．对点练1．过点P(－2,0)的直线与抛物线C：y2＝4x相交于A、B两点，且|PA|＝12|AB|，则点A到抛物线C的焦点的距离为()A.53B.75C.97D．2答案A解析设A(x1，y1)、B(x2，y2)，分别过点A、B作直线x＝－2的垂线，垂足分别为点D、E.∵|PA|＝12|AB|，∴3x1＋2＝x2＋2，3y1＝y2，又y21＝4x1，y22＝4x2，得x1＝23，则点A到抛物线C的焦点的距离为1＋23＝53.2．设F为抛物线C：y2＝3x的焦点，过F且倾斜角为30°的直线交C于A，B两点，O为坐标原点，则△OAB的面积为()A.334B.938C.6332D.94答案D解析由已知得F34，0，故直线AB的方程为y＝tan30°·x－34，即y＝33x－34.设A(x1，y1)，B(x2，y2)，联立y＝33x－34，①y2＝3x，②将①代入②并整理得13x2－72x＋316＝0，∴x1＋x2＝212，∴线段|AB|＝x1＋x2＋p＝212＋32＝12.又原点(0,0)到直线AB的距离为d＝3413＋1＝38.∴S△OAB＝12|AB|d＝12×12×38＝94.3.已知点A(－2,3)在抛物线C：y2＝2px的准线上，过点A的直线与C在第一象限相切于点B，记C的焦点为F，则直线BF的斜率为()A.12B.23C.34D.43答案D解析由题意可知准线方程x＝－p2＝－2，∴p＝4，∴抛物线方程为y2＝8x.由已知易得过点A与抛物线y2＝8x相切的直线斜率存在，设为k，且k0，则可得切线方程为y－3＝k(x＋2)．联立方程y－3＝kx＋2，y2＝8x，消去x得ky2－8y＋24＋16k＝0.(*)由相切得Δ＝64－4k(24＋16k)＝0，解得k＝12或k＝－2(舍去)，代入(*)解得y＝8，把y＝8代入y2＝8x，得x＝8，即切点B的坐标为(8,8)，又焦点F为(2,0)，故