高考数学艺体生百日突围：专题(01)三角函数综合(综合篇,含答案)

【2016年高考备考艺体生文化课精选好题突围系列】专题一三角函数综合三角函数求值【背一背基础知识】1.三角函数定义：在直角坐标系中，的顶点与原点重合，始边与x轴非负半轴重合，是一个任意角，P(,)xy是终边上一点（不与原点重合），它与原点的距离为2222(||||0)rrxyxy，那么sinyr，cosxr，tanyx.2.三角函数在各象限的符号：3.同角三角函数的基本关系：（1）平方关系：22sincos1，2sincos12sincos1sin2（2）商数关系：sintan,cos2kkZ.4.诱导公式：奇变偶不变，符号看象限【公式一】sin2sink，cos2cosk，tan2tankkZ；【公式二】sinsin，coscos，tantan；【公式三】sinsin，coscos，tantan；【公式四】sinsin，coscos，tantan；【公式五】sincos2，cossin2；【公式六】sincos2，cossin2；【公式七】3sincos2，3cossin2；【公式八】3sincos2，3cossin2；5.两角和与差的三角函数：（1）和角：sinsincoscossin，coscoscossinsin，tantantan1tantan；（2）差角：sinsincoscossin，coscoscossinsin，tantantan1tantan；6.二倍角公式：sin22sincos，2222cos2cossin2cos112sin，22tantan21tan.【讲一讲基本技能】1.必备技能：利用同角三角函数的基本关系求值时，一般先确定角的范围，确定所求角的三角函数值的正负，然后利用同角三角函数的平方关系或商数关系进行求解；利用两角和与差的三角函数或二倍角公式求值时，先观察已知角与未知角之间的关系，用已知角将未知角表示出来，再利用同角三角函数的基本关系求出相关角的相关三角函数值，选择相应的公式（和差角公式或二倍角公式）进行展开求解.2.典型例题例1已知角的终边经过点P（-4，3），（1）求tancos)sin(的值;（2）求1sincoscossin22的值.分析：（1）根据三角函数定义，由角的终边经过点P（-4，3），所以r=5，54cos,53sin，所以由诱导公式化简原式代入得154435453tancossin；（2）由（1）中可知54cos,53sin，直接代入1sincoscossin22中可得原式=45.【解析】例2已知函数cos46xfxA，xR，且23f.（1）求A的值；（2）设、0,2，4304317f，28435f，求cos的值.分析：本题是考查三角函数求值问题，主要考查利用诱导公式与和差角公式以及同角三角函数基本关系求值问题.第（1）问是利用题干中的已知条件代数计算求出A的值；第（2）问也是利用题干中的已知条件代数进行计算，借助诱导公式进行化简，然后利用同角三角函数的基本关系求出其它的三角函数值，最后利用和角公式展开求值.【解析】（1）cos46xfxA，12coscos2343642fAAA，2A；（2）由（1）知2cos46xfx，所以4143042cos42cos2sin3436217f，因此15sin17，212842cos42cos34365f，所以4cos5，、0,2，所以cos0，sin0，所以22158cos1sin11717，2243sin1cos155，8415313coscoscossinsin17517585.例3已知tan是关于x的方程2210xx的一个实根，且是第三象限角．（1）求2sincossincos的值；（2）求cossin的值．分析：（1）先解一元二次方程：121,12xx，再根据α范围，确定tanα取值：1tan2，最后将所求式子化为切，代入正切值计算结果：2sincos2tan12111sincostan1112（2）利用同角三角函数关系解方程组22sintan1cossincos1，注意α范围，在开方时取负值：2sin22cos2，因此代入可求cossin的值【解析】【练一练趁热打铁】1.已知25sin5，且tan0.（1）求tan的值；（2）求2sincos23cossin22的值.【答案】（1）2；5.【解析】2.已知函数12sin36fxx，xR.（1）求54f的值；（2）设、0,2，103213f，6325f，求cos的值.【答案】（1）524f；（2）16cos65.【解析】（1）12sin36fxx，所以5152sin2sin243464f；（2）110532sin32sinsin23261313f，163322sin322sin2coscos36255f，、0,2，所以22512cos1sin11313，2234sin1cos155，所以1235416coscoscossinsin13513565.3.已知函数()sin12fxx，xR.（1）求4f的值；（2）若4cos5，0,2，求23f.【答案】（1）142f；（2）23f17250.【解析】三角函数的基本性质【背一背基础知识】1.降幂公式：21cos2cos2，21cos2sin2，sin2sincos2；2.辅助角公式：22sincossin0axbxabxa，其中由tanba确定；3.三角函数的基本性质：函数正弦函数sinyx余弦函数cosyx图象yx-11O-3π2-π2-π-2π3π2π2π2πOyx-11-32π32π-π2π2-2π2π-ππ定义域RR值域1,11,1最值当22xkkZ时，max1y当22xkkZ时，min1y当2xkkZ时，max1y当21xkkZ时，min1y周期性周期函数，最小正周期2T周期函数，最小正周期2T奇偶性奇函数，图象关于原点对称偶函数，图象关于y轴对称单调性增区间2,222kkkZ减区间32,222kkkZ增区间21,2kkkZ减区间2,21kkkZ对称中心,0kkZ,02kkZ对称轴,2xkkZ,xkkZ4.三角函数图像变换（1）平移变换：sinyx0)((0))||向左(向右平移单位sin()yxsinyx(0)0)((0))||向左(向右平移单位sin()yx（2）周期变换：sinyx1向横坐标变为原来的单位，纵坐标不变sinyx(0)（3）振幅变换：sinyxA纵坐标变为原来的单位，横坐标不变sin(0)yAxA【讲一讲基本技能】1.必备技能：①在求解三角函数的基本性质时，首先一般要将三角函数解析式利用和差角公式、降幂公式和辅助角公式将三角函数解析式化为sinAxb或cosAxb，然后利用整体法ux并借助正弦函数或余弦函数进行求解；在求函数sinfxAxb在xD上的最值时，首先求出ux的取值范围D，然后作出正弦函数在区间D的图象，确定sinu的最值，然后代入解析式进行求解.②在解已知三角函数图像求解析式问题时，常有两种思路，思路1：先根据图像求出周期和振幅，利用周期公式求出，再由特殊点（常用最值点）求出；思路2：先根据图像求出振幅A，再利用sin()yAx“五点点作图法”列出关于，的方程，即可求出，.③在处理图像变换问题时，先把函数化成系数为正同名三角函数，再利用图像变换知识解题，注意用“加左减右，加上减下”判定平移方向，先平移后周期变换和先周期变换后平移平移单位不同.2.典型例题例1已知函数()2sin(2)1.4yfxx（1）求函数)(xf的最大值和最小值以及取最大、最小值时相应x的取值集合；（2）写出函数)(xf的单调递增区间．（3）作出此函数在一个周期内的图像。分析：本题是考查三角函数的基本性质，对于此类问题的求解首先应该是利用相关公式将三角函数解析式化简为sinfxAxb，利用公式2T求最小正周期，在xR时，分别令sinx为1或1代入解析式求得相应的最值，在0A的前提条件下，将x放在正弦函数的单调减区间内，解出x的取值范围即作为函数fx的单调递减区间，三角函数sinfxAxb在一个周期内的图象可用五点法作图.【解析】（3）用五点法先列出表格x8838587824x02322(x)f12112114π3π2πππ2π3π4π86422468BA例2已知函数()2sinsin()6fxxx.（1）求函数()fx的最小正周期、对称轴、对称中心；（2）当[0,]2x时，求函数()fx的值域.分析：（1）研究三角函数性质，先利用两角和公式、二倍角公式、配角公式将其化为基本三角函数：231()2sin(sincos)3sinsincos22fxxxxxxx313(1cos2)sin2sin(2)2232xxx，再根据正弦函数性质求最小正周期和单调递增区间：2||T，由2=32xk，得5212kx，即可()fx的对称轴为5212kx，kZ，令2=3xk，解得2kx，kZ，即可写出()fx对称中心.（2）同（1）先利用两角和公式、二倍角公式、配角公式将其化为基本