高考数学艺体生百日突围：专题(05)解析几何的第一问(综合篇,含答案)

【2016年高考备考艺体生文化课精选好题突围系列】专题五解析几何的第一问圆的概念与方程【背一背基础知识】1.标准方程：圆心坐标(,)ab，半径r，方程222()()xaybr，一般方程：22xyDxEy0F(其中2240DEF)；2．直线与圆的位置关系：相交、相切、相离，代数判断法与几何判断法；3.圆与圆的位置关系：相交、相切、相离、内含，代数判断法与几何判断法.【讲一讲基本技能】1.必备技能：①会用配方法把圆的一般方程化为标准方程；②直线和圆的位置可用方程组的解来判断，但主要是应用圆心到直线的距离d和圆半径r比较，dr相离，dr相切，dr相交；③圆与圆的位置关系一般也是用圆心距12OO与两圆的半径之和(或差)比较，12OORr相离，12OORr外切，12RrOORr相交，12OORr内切，12OORr内含．④直线和圆的位置关系是这部分的重点考查内容．⑤对直线被圆截得弦长问题，求出圆的半径r，圆心到直线的距离为d，则直线被圆截得弦长为222rd2.典型例题例1在平面直角坐标系xOy中，点)3,0(A，直线42:xyl,设圆C的半径为1，圆心在l上．若圆心C也在直线1xy上，过点A作圆C的切线，求切线的方程；【分析】求圆的切线方程，一般设出直线方程为ykxb（斜率存在），再利用圆心到切线的距离等于圆的半径来求出其中的参数值.【解析】例2已知圆22:4230Pxyxy和圆外一点(4,8)M．（1）过点M作圆的割线交圆于,AB两点，若||4AB，求直线AB的方程；（2）过点M作圆的两条切线，切点分别为,CD，求切线长及CD所在直线的方程．【答案】（1）4528440xy或4x；（2）27190xy．【分析】（1）先将圆的方程化成标准方程，求出圆心和半径，在根据弦长为4，结合垂径定理得到圆心到直线的距离，则可以利用点到直线的距离公式求出直线的斜率，求得直线方程；（2）利用切线的性质可知，切线长、半径、到圆心的距离满足勾股定理，则切线长可求；求出以为直径的圆，与已知圆的方程，两式相减即可求得CD所在的直线方程．【解析】（1）圆:P22(2)(1)8xy，圆心(2,1)P，半径22r．①若割线斜率存在，设直线AB的方程为8(4)ykx，即480kxyk，设AB的中点为N，则22|2148||27|||11kkkPNkk．由222||||()2ABPNr，解得4528k．故直线AB的方程为4528440xy．②若割线斜率不存在，则直线AB的方程为4x．将其代入圆的方程得2230yy，解得121,3yy，符合题意．综上可知，直线AB的方程为4528440xy或4x．（2）切线长为22||449835PMr．以PM为直径的圆的方程为22953(3)()24xy，即2269160xyxy．又已知圆22:4230Pxyxy，两式相减，得27190xy，所以直线CD的方程为27190xy．【练一练趁热打铁】1.已知圆C过点A（1,3）,B（2,2），并且直线m:320xy平分圆C的面积．（Ⅰ）求圆C的方程；【答案】（Ⅰ）22231xy【解析】2.已知圆O2：22460xyy,求圆心在x-y-4=0,且过圆O1与圆O2交点的圆的方程。【答案】22(3)(1)16xy【解析】方法一：设经过两圆交点的圆系方程为222246(46)0(1)xyxxyy即224422601111+xyxy所以圆心的坐标为（,）又圆心在直线x-y-4=0上，所以24--4=01+1+则22162603xyxy所以所求圆的方程为方法二：2222460460xyxyxxyy由得两圆公共弦所在直线为1222121313+460yxxxyyxyy由解得或所以两圆的交点分别为A（-1，-1），B（3,3），线段AB的垂直平分线所在直线的方程为y-1=-（x-1）1(1)3401yxxxyy由得所以所求圆的圆心为（3，-1），半径为4所以所求圆的方程为22(3)(1)16xy．圆锥曲线【背一背基础知识】1.椭圆(1)椭圆的定义把平面内与两定点12,FF的距离之和等于常数（大于12||FF）的点的轨迹叫做椭圆，这两个定点叫椭圆的焦点，两焦点之间的距离叫焦距，符号表述为：12||||2PFPFa(122||aFF).注意：（1）当122||aFF时，轨迹是线段12FF.(2)当122||aFF时，轨迹不存在.(2)椭圆的标准方程①焦点在x轴上的椭圆的标准方程为22221(0)xyabab；焦点在y轴上的椭圆的标准方程为22221(0)yxabab.给定椭圆22221(0,0)xymnmn，要根据,mn的大小判定焦点在那个坐标轴上，焦点在分母大的那个坐标轴上.②椭圆中,,abc关系为：222abc.（3）椭圆的几何性质焦点在x轴上焦点在y轴上图形标准方程22221(0)xyabab22221(0)yxabab焦点(±c,0)(0，±c)焦距|F1F2|＝2c(c2＝a2－b2)范围|x|≤a；|y|≤b|x|≤b；|y|≤a顶点长轴顶点(±a,0)，短轴顶点(0，±b)长轴顶点(0，±a)，短轴顶点(±b,0)对称性曲线关于x轴、y轴、原点对称曲线关于x轴、y轴、原点对称离心率e＝ca∈(0，1)，其中c＝a2－b2（4）椭圆上一点到椭圆一个焦点的距离的取值范围为[,acac].（5）椭圆的通径（过焦点垂直于焦点所在对称轴的直线被椭圆截得的弦叫通径）长度为22ba，是过椭圆焦点的直线被椭圆所截得弦长的最小值.2．双曲线(1)双曲线椭圆的定义把平面内与两定点12,FF的距离之差的绝对值等于常数（小于12||FF）的点的轨迹叫做双曲线，这两个定点叫双曲线的焦点，两焦点之间的距离叫焦距，符号表述为：12||||2PFPFa(122||aFF).注意：（1）当122||aFF时，轨迹是直线12FF去掉线段12FF.(2)当122||aFF时，轨迹不存在.(2)双曲线的标准方程与双曲线的几何性质焦点在x轴上焦点在y轴上图形标准方程22221(0,0)xyabab22221(0,0)yxabab焦点(±c,0)(0，±c)焦距|F1F2|＝2c(c2＝a2+b2)范围|x|≥a；y∈Rx∈R；|y|≥a顶点实轴顶点(±a,0)，虚轴顶点(0，±b)实轴顶点(0，±a)，虚轴顶点(±b,0)对称性曲线关于x轴、y轴、原点对称曲线关于x轴、y轴、原点对称离心率e＝ca∈(1，+)，其中c＝22ab渐近线byxaayxb3．抛物线（1）抛物线定义平面内与一个定点F和一条定直线l(定点F不在定直线l上)的距离的比等于1的点的轨迹叫做抛物线，点F叫做抛物线的焦点，直线l叫做抛物线的准线.(2)抛物线的标准方程与几何性质焦点在x正半轴上焦点在x负半轴上焦点在y正半轴上焦点在y正半轴上标准方程22ypx（0p）22ypx（0p）22xpy（0p）22xpy（0p）图形性质顶点（0,0）对称轴x轴y轴焦点（2p，0）（-2p，0）（0，2p）（0，-2p）准线x=-2px=2py=-2py=2p范围x≥0，y∈Rx≤0，y∈Ry≥0，x∈Ry≤0，x∈R离心率e=1【讲一讲基本技能】1.必备技能：三个圆锥曲线的定义，标准方程，,,abc的关系，它们的几何性质是我们解有关圆锥曲线问题的基础与关键，大家可列表对照比较并记忆.(1)椭圆定义的应用主要有以下两个方面：一是利用定义求椭圆的标准方程，二是利用椭圆上点P与两焦点的距离的和|PF1|＋|PF2|＝2a解决焦点三角形问题．（2）.求椭圆的标准方程方法①定义法：若某曲线（或轨迹）上任意一点到两定点的距离之和为常数（常数大于两点之间的距离），符合椭圆的定义，该曲线是以这两定点为焦点，定值为长轴长的椭圆，从而求出椭圆方程中的参数，写出椭圆的标准方程.②待定系数法，用待定系数法求椭圆标准方程，一般分三步完成，①定性-确定它是椭圆；②定位判定中心在原点，焦点在哪条坐标轴上；③定量-建立关于基本量,,,abce的关系式，解出参数即可求出椭圆的标准方程.（3）若若椭圆的焦点位置不定，应分焦点在x轴上和焦点在y轴上，也可设椭圆方程为221(0,0)AxByAB，可避免分类讨论和繁琐的计算（4）椭圆的几何性质常涉及一些不等关系，例如对椭圆x2a2＋y2b2＝1，有－a≤x≤a，－b≤y≤b,0e1等，在求与椭圆有关的一些量的范围，或者求这些量的最大值或最小值时，经常用到这些不等关系．（5）求解与椭圆几何性质有关的问题时要结合图形进行分析，即使不画出图形，思考时也要联想到图形．当涉及到顶点、焦点、长轴、短轴等椭圆的基本量时，要理清它们之间的关系，挖掘出它们之间的内在联系．(6)求离心率问题，关键是先根据题中的已知条件构造出,,abc的等式或不等式，结合222abc化出关于,ac的式子，再利用cea，化成关于e的等式或不等式，从而解出e的值或范围.离心率e与,ab的关系为：222222cabeaa=221ba21bea.(7)．求双曲线标准方程的方法①定义法，根据题目的条件，判断是否满足双曲线的定义，若满足，求出相应的a、b、c即可求得方程．②待定系数法，其步骤是：a定位：确定双曲线的焦点在哪个坐标轴上；b设方程：根据焦点的位置设出相应的双曲线方程；c定值：根据题目条件确定相关的系数．（8）几种特殊情况的标准方程的设法a与双曲线x2a2－y2b2＝1共渐近线的双曲线方程为x2a2－y2b2＝λ(λ≠0)．b渐近线为y＝±nmx的双曲线方程为x2m2－y2n2＝λ(λ≠0)．c与双曲线x2a2－y2b2＝1共焦点的双曲线方程为x2a2－λ－y2b2＋λ＝1(－b2λa2)．d与椭圆x2a2＋y2b2＝1(ab0)有共同焦点的双曲线方程为x2a2－λ＋y2b2－λ＝1(b2λa2)．（9）双曲线渐近线的斜率与离心率的互化渐近线的斜率为±ba或±ab，它与离心率可通过以下关系联系起来：e2＝c2a2＝a2＋b2a2＝1＋ba2.(10)对于抛物线的标准方程y2＝±2px(p0)与x2＝±2py(p0)，重点把握以下两点：①p是焦点到准线的距离，p恒为正数；②方程形式有四种，要搞清方程与图形的对应性，其规律是“对称轴看一次项，符号决定开口方向”．（11）抛物线的几何性质以考查焦点与准线为主．根据定义，抛物线上一点到焦点的距离和到准线的距离相等，可得以下规律：①抛物线y2＝2px(p0)上一点M(x0，y0)到焦点F的距离|MF|＝p2＋x0；②抛物线y2＝－2px(p0)上一点M(x0，y0)到焦点F的距离|MF|＝p2－x0；③抛物线x2＝2py(p0)上一点M(x0，y0)到焦点F的距离|MF|＝p2＋y0；④抛物线x2＝－2py(p0)上一点M(x0，y0)到焦点F的距离|MF|＝p2－y0.2.典型例题例1已知椭圆12102:222mymxW的左焦点为0,mF，过点M（-3，0）作一条斜率大于0的直线l与W交于不同的两点A、B，延长BF交W于点C.求椭圆W的离心率；分析：由椭圆方程中,,abc的关系可得0210222mmmm，解得2m，可求离心率.【解析】例2抛物线2:2(0)Cypxp的准线1:2plx过双曲线2212xy的一个焦点．（1）求抛物线C的方程；【答案】（1）24yx；（2