【步步高】2015届高考数学总复习 第二章 2.9实际问题的函数建模课件 理 北师大版

§2.9实际问题的函数建模数学北（理）第二章函数概念与基本初等函数Ⅰ基础知识·自主学习知识回顾理清教材要点梳理1．数学建模：用、、解决实际问题的过程叫作数学建模．2．几类函数模型及其增长差异(1)几类函数模型函数模型函数解析式一次函数模型f(x)＝ax＋b(a、b为常数，a≠0)反比例函数模型f(x)＝kx＋b(k，b为常数且k≠0)数学思想方法知识基础知识·自主学习知识回顾理清教材要点梳理二次函数模型f(x)＝ax2＋bx＋c(a，b，c为常数，a≠0)指数函数模型f(x)＝bax＋c(a，b，c为常数，b≠0，a0且a≠1)对数函数模型f(x)＝blogax＋c(a，b，c为常数，b≠0，a0且a≠1)幂函数模型f(x)＝axn＋b(a，b为常数，a≠0)基础知识·自主学习知识回顾理清教材要点梳理(2)三种函数模型的性质函数性质y＝ax(a1)Y＝logax(a1)y＝xn(n0)在(0，＋∞)上的增减性单调单调单调递增增长速度越来越快越来越慢相对平稳图像的变化随x的增大逐渐表现为与平行随x的增大逐渐表现为与平行随n值变化而各有不同值的比较存在一个x0，当xx0时，有logaxxnax递增递增y轴x轴基础知识·自主学习知识回顾理清教材要点梳理3.数学建模的过程题号答案解析12345A基础知识·自主学习A2ln21024(1)×(2)×(3)×(4)×(5)√(6)√夯实基础突破疑难夯基释疑D【例1】某跳水运动员在一次跳水训练时的跳水曲线为如图所示的抛物线的一段，已知跳水板AB长为2m，跳水板距水面CD的高BC为3m，CE＝5m，CF＝6m，为安全和空中姿态优美，训练时跳水曲线应在离起跳点hm(h≥1)时达到距水面最大高度4m，规定：以CD为横轴，CB为纵轴建立直角坐标系．(1)当h＝1时，求跳水曲线所在的抛物线方程；(2)若跳水运动员在区域EF内入水时才能达到压水花的训练要求，求达到压水花的训练要求时h的取值范围．题型分类·深度剖析题型一二次函数模型【例1】某跳水运动员在一次跳水训练时的跳水曲线为如图所示的抛物线的一段，已知跳水板AB长为2m，跳水板距水面CD的高BC为3m，CE＝5m，CF＝6m，为安全和空中姿态优美，训练时跳水曲线应在离起跳点hm(h≥1)时达到距水面最大高度4m，规定：以CD为横轴，CB为纵轴建立直角坐标系．(1)当h＝1时，求跳水曲线所在的抛物线方程；(2)若跳水运动员在区域EF内入水时才能达到压水花的训练要求，求达到压水花的训练要求时h的取值范围．题型分类·深度剖析题型一二次函数模型思维启迪(1)可根据抛物线方程的顶点式求跳水曲线所在的抛物线方程；(2)利用x＝5，x＝6时函数值的符号求h范围．【例1】某跳水运动员在一次跳水训练时的跳水曲线为如图所示的抛物线的一段，已知跳水板AB长为2m，跳水板距水面CD的高BC为3m，CE＝5m，CF＝6m，为安全和空中姿态优美，训练时跳水曲线应在离起跳点hm(h≥1)时达到距水面最大高度4m，规定：以CD为横轴，CB为纵轴建立直角坐标系．(1)当h＝1时，求跳水曲线所在的抛物线方程；(2)若跳水运动员在区域EF内入水时才能达到压水花的训练要求，求达到压水花的训练要求时h的取值范围．题型分类·深度剖析题型一二次函数模型解(1)由题意知最高点为(2＋h,4)，h≥1，设抛物线方程为y＝a[x－(2＋h)]2＋4，当h＝1时，最高点为(3,4)，方程为y＝a(x－3)2＋4，将A(2,3)代入，得3＝a(2－3)2＋4，解得a＝－1.∴当h＝1时，跳水曲线所在的抛物线方程为y＝－(x－3)2＋4.【例1】某跳水运动员在一次跳水训练时的跳水曲线为如图所示的抛物线的一段，已知跳水板AB长为2m，跳水板距水面CD的高BC为3m，CE＝5m，CF＝6m，为安全和空中姿态优美，训练时跳水曲线应在离起跳点hm(h≥1)时达到距水面最大高度4m，规定：以CD为横轴，CB为纵轴建立直角坐标系．(1)当h＝1时，求跳水曲线所在的抛物线方程；(2)若跳水运动员在区域EF内入水时才能达到压水花的训练要求，求达到压水花的训练要求时h的取值范围．题型分类·深度剖析题型一二次函数模型达到压水花的训练要求时h的取值范围为[1，43]．(2)将点A(2,3)代入y＝a[x－(2＋h)]2＋4得ah2＝－1，所以a＝－1h2.由题意，得方程a[x－(2＋h)]2＋4＝0在区间[5,6]内有一解．令f(x)＝a[x－(2＋h)]2＋4＝－1h2[x－(2＋h)]2＋4，则f(5)＝－1h2(3－h)2＋4≥0，且f(6)＝－1h2(4－h)2＋4≤0.解得1≤h≤43.【例1】某跳水运动员在一次跳水训练时的跳水曲线为如图所示的抛物线的一段，已知跳水板AB长为2m，跳水板距水面CD的高BC为3m，CE＝5m，CF＝6m，为安全和空中姿态优美，训练时跳水曲线应在离起跳点hm(h≥1)时达到距水面最大高度4m，规定：以CD为横轴，CB为纵轴建立直角坐标系．(1)当h＝1时，求跳水曲线所在的抛物线方程；(2)若跳水运动员在区域EF内入水时才能达到压水花的训练要求，求达到压水花的训练要求时h的取值范围．题型分类·深度剖析题型一二次函数模型思维升华实际生活中的二次函数问题(如面积、利润、产量等)，可根据已知条件确定二次函数模型，结合二次函数的图像、单调性、零点解决，解题中一定注意函数的定义域．跟踪训练1某产品的总成本y(万元)与产量x(台)之间的函数关系是y＝3000＋20x－0.1x2(0x240，x∈N＋)，若每台产品的售价为25万元，则生产者不亏本时(销售收入不小于总成本)的最低产量是()A．100台B．120台C．150台D．180台题型分类·深度剖析解析设利润为f(x)万元，则f(x)＝25x－(3000＋20x－0.1x2)＝0.1x2＋5x－3000(0x240，x∈N＋)．令f(x)≥0，得x≥150，∴生产者不亏本时的最低产量是150台．C【例2】诺贝尔奖发放方式为每年一发，把奖金总额平均分成6份，奖励给分别在6项(物理、化学、文学、经济学、生理学和医学、和平)为人类作出最有益贡献的人，每年发放奖金的总金额是基金在该年度所获利息的一半，另一半利息作基金总额，以便保证奖金数逐年增加．假设基金平均年利率为r＝6.24%.资料显示：1999年诺贝尔奖金发放后基金总额约为19800万美元．设f(x)表示第x(x∈N＋)年诺贝尔奖发放后的基金总额(1999年记为f(1)，2000年记为f(2)，…，依次类推)．(1)用f(1)表示f(2)与f(3)，并根据所求结果归纳出函数f(x)的表达式；(2)试根据f(x)的表达式判断网上一则新闻“2009年度诺贝尔奖各项奖金高达150万美元”是否为真，并说明理由．(参考数据：1.03129＝1.32)题型分类·深度剖析题型二指数函数模型【例2】诺贝尔奖发放方式为每年一发，把奖金总额平均分成6份，奖励给分别在6项(物理、化学、文学、经济学、生理学和医学、和平)为人类作出最有益贡献的人，每年发放奖金的总金额是基金在该年度所获利息的一半，另一半利息作基金总额，以便保证奖金数逐年增加．假设基金平均年利率为r＝6.24%.资料显示：1999年诺贝尔奖金发放后基金总额约为19800万美元．设f(x)表示第x(x∈N＋)年诺贝尔奖发放后的基金总额(1999年记为f(1)，2000年记为f(2)，…，依次类推)．(1)用f(1)表示f(2)与f(3)，并根据所求结果归纳出函数f(x)的表达式；(2)试根据f(x)的表达式判断网上一则新闻“2009年度诺贝尔奖各项奖金高达150万美元”是否为真，并说明理由．(参考数据：1.03129＝1.32)题型分类·深度剖析题型二指数函数模型思维启迪从所给信息中找出关键词，增长率问题可以建立指数函数模型．【例2】诺贝尔奖发放方式为每年一发，把奖金总额平均分成6份，奖励给分别在6项(物理、化学、文学、经济学、生理学和医学、和平)为人类作出最有益贡献的人，每年发放奖金的总金额是基金在该年度所获利息的一半，另一半利息作基金总额，以便保证奖金数逐年增加．假设基金平均年利率为r＝6.24%.资料显示：1999年诺贝尔奖金发放后基金总额约为19800万美元．设f(x)表示第x(x∈N＋)年诺贝尔奖发放后的基金总额(1999年记为f(1)，2000年记为f(2)，…，依次类推)．(1)用f(1)表示f(2)与f(3)，并根据所求结果归纳出函数f(x)的表达式；(2)试根据f(x)的表达式判断网上一则新闻“2009年度诺贝尔奖各项奖金高达150万美元”是否为真，并说明理由．(参考数据：1.03129＝1.32)题型分类·深度剖析题型二指数函数模型解(1)由题意知，f(2)＝f(1)(1＋6.24%)－12f(1)·6.24%＝f(1)(1＋3.12%)，f(3)＝f(2)(1＋6.24%)－12f(2)·6.24%＝f(2)(1＋3.12%)＝f(1)(1＋3.12%)2，∴f(x)＝19800(1＋3.12%)x－1(x∈N＋)．(2)2008年诺贝尔奖发放后基金总额为f(10)＝19800(1＋3.12%)9＝26136，故2009年度诺贝尔奖各项奖金为16·12f(10)·6.24%≈136(万美元)，与150万美元相比少了约14万美元，是假新闻．【例2】诺贝尔奖发放方式为每年一发，把奖金总额平均分成6份，奖励给分别在6项(物理、化学、文学、经济学、生理学和医学、和平)为人类作出最有益贡献的人，每年发放奖金的总金额是基金在该年度所获利息的一半，另一半利息作基金总额，以便保证奖金数逐年增加．假设基金平均年利率为r＝6.24%.资料显示：1999年诺贝尔奖金发放后基金总额约为19800万美元．设f(x)表示第x(x∈N＋)年诺贝尔奖发放后的基金总额(1999年记为f(1)，2000年记为f(2)，…，依次类推)．(1)用f(1)表示f(2)与f(3)，并根据所求结果归纳出函数f(x)的表达式；(2)试根据f(x)的表达式判断网上一则新闻“2009年度诺贝尔奖各项奖金高达150万美元”是否为真，并说明理由．(参考数据：1.03129＝1.32)题型分类·深度剖析题型二指数函数模型思维升华此类增长率问题，在实际问题中常可以用指数函数模型y＝N(1＋p)x(其中N是基础数，p为增长率，x为时间)和幂函数模型y＝a(1＋x)n(其中a为基础数，x为增长率，n为时间)的形式．解题时，往往用到对数运算，要注意与已知表格中给定的值对应求解．跟踪训练2放射性元素由于不断有原子放射出微粒子而变成其他元素，其含量不断减少，这种现象称为衰变．假设在放射性同位素铯137的衰变过程中，其含量M(单位：太贝克)与时间t(单位：年)满足函数关系：M(t)＝M0，其中M0为t＝0时铯137的含量．已知t＝30时，铯137含量的变化率．．．是－10ln2(太贝克/年)，则M(60)等于()A．5太贝克B．75ln2太贝克C．150ln2太贝克D．150太贝克题型分类·深度剖析解析∵M′(t)＝－130M0·ln2，∴M′(30)＝－130×12M0ln2＝－10ln2，∴M0＝600.∴M(t)＝600×，∴M(60)＝600×2－2＝150(太贝克)．D302t302t302t【例3】某市居民自来水收费标准如下：每户每月用水不超过4吨时，每吨为1.80元，当用水超过4吨时，超过部分每吨3.00元．某月甲、乙两户共交水费y元，已知甲、乙两户该月用水量分别为5x,3x(吨)．(1)求y关于x的函数；(2)若甲、乙两户该月共交水费26.4元，分别求出甲、乙两户该月的用水量和水费．题型分类·深度剖析题型三分段函数模型思维启迪解析思维升华【例3】某市居民自来水收费标准如下：每户每月用水不超过4吨时，每吨为1.80元，当用水超过4吨时，超过部分每吨3.00元．某月甲、乙两户共交水费y元，已知甲、乙两户该月用水量分别为5x,3x(吨)．(1)求y关于x的函数